6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.2　排列数 第2课时　排列的综合应用 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1.进一步理解排列的概念,掌握几种有限制条件的排列. 　2.会应用排列知识解决简单的实际问题. 知识点1　特殊元素或特殊位置问题 内容索引 知识点2　相邻和不相邻问题 课时作业 巩固提升 知识点3　定序问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　特殊元素或特殊位置问题 利用排列数解决有关特殊元素或特殊位置问题,一般采用特殊元素(位置)优先的原则. [例1]　六个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端; (2)甲、乙站在两端; (3)六个人按要求站一横排,甲不站左端,乙不站右端,有多少种不同的站法? [分析]　对于“人站队”问题,由于有顺序,所以是排列问题.又由于安排甲、乙时有限制,所以这又是有限制条件的排列问题,应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置(左、右两端),再考虑其他的情况. [解]　(1)法一(位置分析法):因为甲不站左右两端,故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端,有种站法;再让剩下的4个人站在中间的四个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理知,共有·=480种站法. 法二(元素分析法):因为甲不能站左右两端,故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上,有种站法;再让余下的5个人站在其他5个位置上,有种站法.由分步乘法计数原理知,共有·=480种站法. 法三(间接法):在排列时,我们对6个人不考虑甲站的位置全排列,有种站法.但其中包含甲在左端或右端的情况,因此减去甲站左端或右端的排列数2,于是共有-2=480种站法. (2) 首先考虑两端两个位置,由甲、乙去站,有种站法;再考虑中间4个位置,由剩下的4个人去站,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有·=48种站法. (3)法一(间接法):甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,而甲在左端且乙在右端的站法有种,故共有-2+=504种站法. 法二(直接法):从元素甲的位置进行考虑,可分两类:第1类,甲站右端有种站法;第2类,甲站在中间4个位置之一,而乙不站在右端,可先排甲后排乙,再排其余4个人,有··种站法,故共有+··=504种站法. 特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑 1.以元素为主考虑,即先安排特殊元素,再安排其他元素. 2.以位置为主考虑,即先安排特殊位置,再安排其他位置. 3.用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数. 以上三种思路可以简化如下. 思维提升 当限制条件有两个或两个以上时,若互不影响,则直接按分步解决;若相互影响,则先分类,然后在每一类中再分步解决. 1.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数? (2)个位数字不是5的六位数? (3)能组成多少个被5整除的五位数? 跟踪训练 解:(1)法一:从特殊位置入手:第一步,排个位,从1,3,5三个数字中选1个,有种排法; 第二步,排十万位,有种排法; 第三步,排其他位,有种排法. 故组成无重复数字的六位奇数共有=288个. 法二:从特殊元素入手:0不在两端有种排法; 从1,3,5中任选一个排在个位上,有种排法,其他数字全排列有种排法. 故组成无重复数字的六位奇数共有=288个. (2)法一:需分两类:第一类,当个位上排0时,有种排法; 第二类,当个位上不排0时,有··种排法. 故符合题意的六位数有+··=504个. 法二(间接法):6个数字的全排列有个;0在十万位上的排列有个; 5在个位上的排列有个;0在十万位上且5在个位上的排列有个. 故符合题意的六位数共有-2+=504个. (3)个位上的数字必须是0或5. 若个位上是0,则有个;若个位上是5,不含0,则有个; 若含0,但0不作首位,则0的位置有种排法,其余各位有种排法,则有个五位数.故共有++=216个能被5整除的五位数. 知识点2　相邻和不相邻问题 利用排列数解决有关相邻和不相邻问题,一般采用捆绑法和插空法. [例2]　3名男生,4名女生,这7个人站成一排.在下列情况下,各有多少种不同的站法? (1)男、女各站在一起; (2)男生必须排在一起; (3)男生不能排在一起; (4)男生互不相邻,且女生也互不相邻. [分析]　对于“人站队”问题,相邻采用“捆绑法”,不相邻采用“插空法”. [解]　(1)(捆绑法)男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,有种排法,女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有种排法,全体男生、女生各看作一个对象全排列有种排法.由分步乘法计数原理知共有=288种排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象,与4名女生组成5个对象全排列,故有=720种不同的排法. (3)(插空法)先排女生有种排法,把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中,有种排法,故有=1 440种不同的排法. (4)先排男生有种排法,再让女生插空,有=144种不同的排法. 1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列. 2.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 思维提升 2.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏,具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营,将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子,现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列,则下列说法不正确的是(　　) A.共有120种排列方式 B.若两个“将”相邻,则有24种排列方式 C.若两个“将”不相邻,则有72种排列方式 D.若同色棋子不相邻,则有12种排列方式 跟踪训练 B 解析:A选项,由排列知识可得共有=120种排列方式,A正确; B选项,两个“将”捆绑,有=2种情况,再和剩余的3个棋子进行全排列,故共有=48种情况,B错误; C选项,两个“将”不相邻,先将剩余3个棋子进行全排列,共有4个空,再将两个“将”插空,故共有=72种情况,C正确; D选项,将2个黑色的棋子进行全排列,共有3个空,再将3个红色的棋子进行插空,则有=12种排列方式,D正确. 3.某单位为春节联欢会选送了甲、乙两个节目,节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下添加甲、乙两个节目,若甲、乙演出顺序不能相邻,那么不同的演出顺序的种数为　　　　.(用数字作答)  解析:由已知甲、乙2个节目不相邻,排好的6个节目相对顺序不变,即把2个节目插入6个节目形成的7个空中,共有=7×6=42种. 42 知识点3　定序问题 利用排列数解决有关定序问题,一般先　　　　,再除以定序元素的全排列即可.  全排列 [例3]　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种? (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场,顺序有多少种? [解]　(1)法一(整体法):5位嘉宾无约束条件的全排列有种,其中3位老者不考虑年龄的顺序有种. 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有=20种. 法二(插空法):记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A,B,C”.则三人形成四个空档(含两端). ①若2个年轻人出场顺序相邻,有·种顺序,②若2个年轻人出场顺序不相邻,有种顺序.因此满足条件的出场顺序有·+=20种. (2)设符合条件的排法共有x种,用(1)的方法可得x··=,解得x==10. 定序问题的常用解法 1.整体法:若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,在种排法中,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种. 2.插空法:若m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素插入由以上m个元素形成的空中. 思维提升 4.在某研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F,6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为(　　) A.100　　　　　　　　 B.120 C.300 D.600 跟踪训练 A 解析:先排B成果,有5种排法,再排(除成果B外)剩余的5个成果,有种排法.由于A,C,D顺序确定,所以不同的汇报安排共有=100(种). 5.在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴,这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料,烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅,茄子净肉在鸡脯肉后下锅,最后还需加入精心熬制的鸡汤,则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有(　　) A.72种 B.36 种 C.12种 D.6种 C 解析:由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种,即有种放法, 又茄子净肉放在鸡脯肉后,则有=12种放法. 〈课堂达标·素养提升〉 1.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生甲必须参加且不担任四辩,则不同的安排方法种数为(　　) A.180　　　　　　　　 B.120 C.90 D.240 A 解析:分步完成:甲不担任四辩,共有3种方法;剩下5名同学任选3人,且任意排序,共有=60种,所以一共有60×3=180种. 2.有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有(　　) A.66种 B.60种 C.36种 D.24种 B 解析:五名学生进行全排列共有种站法,而甲站在乙的左边,或乙的右边,故甲不排在乙的左边的情况共有=60(种). 3.永定土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则不同的排法共有(　　) A.480种 B.240种 C.384种 D.1 440种 A 解析:当圆形排在第一个时,因为方形、五角形相邻,所以捆在一起与其他图形全排列,且方形、五角形内部排列,有=240种不同的排法, 同理当圆形排在最后一个时,有=240种不同的排法. 综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法. 4.甲、乙等 5 个人排成一列,则甲不在排头的排法种数是　　　　.(用数字作答)  解析:第一步,甲不在排头的排法有4种,第二步,安排其余四人的排法有种,故由分步乘法可得甲不在排头的排法有4×=96种. 96 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.司机要为5名游客和2名导游拍照留念,要求排成一排,且2位导游相邻,不同的排法共有(　　) A.1 440种　　　　　　　　 B.960种 C.720种 D.240种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为两位导游要相邻,因此将两位导游看作一个整体,内部排列有种排法,将两位导游看作一个整体和其他人全排列有种排法,因此根据分步乘法计数原理,共有=1 440种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.周一到周五某公司需要安排甲、乙、丙、丁、戊各值班一天,则甲值完班以后正好轮到乙值班的方法数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由于甲值完班以后正好轮到乙值班,故可将甲、乙看作一个整体, 且甲、乙值班的顺序是确定的,故只需将甲、乙看作一个元素与丙、丁、戊排列即可, 故共有=24种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.4名学生和3名教师站成一排照相,任何两名教师都不相邻的不同排法的种数是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:依题意,排4名学生,有种方法,再把教师插入4名学生的每个排列形成的5个间隙中,有种方法,所以不同排法种数是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.现有4名男生和4名女生排成一排,且男生和女生逐一相间的排法共有 　　　　种.  解析:4名男生和4名女生排成一排,且男生和女生逐一相间的排法分两类: 第一类:男女男女男女男女,共有种不同方法; 第二类:女男女男女男女男,共有种不同方法; 由分类加法计数原理得共有+=2=2×24×24=1 152(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 152 5.小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上,若要求《大学》《中庸》两本书相邻,则不同的摆放种数为　　　　.(用数字作答)  解析:先将《大学》《中庸》两书捆绑看作一个整体,则可以看作共5个位置的全排列, 排法种数为;最后排好《大学》《中庸》,两书的排法种数为, 故不同的摆放方法有·=120×2=240种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 240 6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数. (1)组成的六位数是偶数,则不同的六位数有多少个?(结果用数字表示) (2)若组成的六位数各个位置上奇偶相间,则不同的六位数有多少个?(结果用数字表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)若个位是0,则可组成=120个偶数, 若个位是2或4,则2=192个偶数, 所以不同的六位数个数为120+192=312个. (2)情况一:组成的六位数按奇偶奇偶奇偶排列有=36个, 情况二:组成的六位数按偶奇偶奇偶奇排列有=24个, 所以不同的六位数个数为+=60个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.身高各不相同的六位同学A,B,C,D,E,F站成一排照相,A,C,D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有多少种站法. 解:依题意6个人全排列有种方法,其中A,C,D 全排列有种方法, 则A,C,D从左到右按照由高到矮的排列有=120种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛,比赛结束后,这5名同学排成一排合影留念,则下列说法正确的是(　 　) A.若要求2名女生相邻,则这5名同学共有48种不同的排法 B.若要求女生与男生相间排列,则这5名同学共有24种排法 C.若要求2名女生互不相邻,则这5名同学共有72种排法 D.若要求男生甲不在排头也不在排尾,则这5名同学共有72种排法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析:选项A,将2名女生捆绑在一起,再与3名男生进行全排列, 则有=48(种),故A正确; 选项B,要求女生与男生相间排列,采用插空法,先将3名男生进行全排列,再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中,则有=12(种),故B错误; 选项C,先将3名男生进行全排列,再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中, 则有=72(种),故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选项D,将5名同学排成一排,相当于将他们放到排成一排的5个空位中,先将男生甲排在中间的3个空位中,再将剩下4名同学进行全排列,则有=72(种),故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)已知某种产品的加工需要经过5道工序,则下列说法正确的是(　　) A.若其中某1道工序不能放在最后,有96种加工顺序 B.若其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,有72种加工顺序 C.若其中某2道工序必须相邻,有48种加工顺序 D.若其中某2道工序不能相邻,有36种加工顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:假设有甲乙丙丁戊,这5道工序. 对A:假设甲工序不能放到最后,则甲有4种安排方式,根据分步计数原理, 所有的安排顺序有:4×4×3×2×1=96种,故A正确; 对B:假设甲乙2道工序不能放到最前,也不能放到最后, 先安排甲乙,则共有3×2=6种安排方式;再安排剩余3道工序,共有3×2×1=6种; 根据分步计数原理,则所有的安排顺序有:6×6=36种,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对C:假设甲乙工序相邻,将甲和乙捆绑为一道工序,和剩余3道工序放在一起排序, 则共有4×3×2×1×2=48种加工顺序,故C正确; 对D:假设甲乙工序不能相邻,则先安排剩余3道工序,在形成的4个空中,安排甲乙, 故共有:3×2×1×4×3=72种加工顺序,故D错误.· 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中3盆兰花不能摆放在一条直线上,则不同的摆放方法有 　　　　种.  解析:先将7盆花全排列,共有种排法,其中3盆兰花摆放在一条直线上的方法有5种,故所求摆放方法有-5=4 320(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 320 11.如图,在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有 　　　　种.(用数字作答)  解析:把2,3和1,4分别看作一个组合,从这两个组合中选出一个,排在中间一列有2=4种方法,再把另一个组合排好,有4=8种方法,最后安排5和6,有=2种方法,共有64种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13             64 12.5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下,有多少种站法? (1)女生不站在两端;(2)女生不相邻. 解:(1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满足条件的站法有=2 400(种). (2)分两步:第一步,先排男生,有种站法, 第二步,将2名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有种站法, 由分步乘法计数原理知,满足条件的站法有=3 600(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某中学举行中学艺术展演,已知初三、高一、高二分别选送了3,5,7个节目,现回答以下问题:(用排列数表示,不需要合并化简) (1)若初三的节目彼此都不相邻,共计有多少种出场顺序; (2)若初三的节目按照B1,B2,B3的顺序出场(可以不相邻),共计有多少种出场顺序; (3)高一的节目A1不能排最先出场且初三的节目B1不能最后出场,共计有多少种出场顺序. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)根据题意先把高一、高二的12个节目排好共有种排列方式,再把初三的3个节目插入插空进行排列,所以共有·. (2)法一:初三的节目按照B1,B2,B3的顺序出场,即只需把其他12个节目排好,空3个位置给B1,B2,B3即可,所以共有的不同排法有种. 法二:把15个节目全排有种情况,因为有种重复,所以共有的不同排法有或种. (3)先考虑全部,则共有种排列方式,其中A1排在最先出场共有种,B1排在最后出场也共有种,A1排在最先出场同时B1排在最后出场共有种,根据题意减去不满足题意的情况共有-2+种. 13 $$