6.2.2 第1课时 排列数公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.2　排列数 第1课时　排列数公式 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1.理解排列数的概念,能利用计数原理推导排列数公式.　2.能利用排列数公式解决一些有关排列的实际问题. 知识点1　排列数 内容索引 知识点2　利用排列数公式化简与证明 课时作业 巩固提升 知识点3　排列数公式的简单应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　排列数 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数  排列数表示法 排列数 公式 乘积式 =　　　　　　　　　　　  阶乘式 = 不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用　　　　表示,于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定:0!=1  备注 n,m∈N*,m≤n n! [例1]　(1) 计算:;(2)解方程:=140. [分析]　利用排列数公式直接计算. [解]　(1) = ===. (2)因为所以x≥3,x∈N*.由=140得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).化简得4x2-35x+69=0, 解得x1=3,x2=(舍去).所以原方程的解为x=3. 排列数的计算方法 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用. 思维提升 1.若M=+++…+,则M的个位数字是(　　) A.3　　　　　　　　　　 B.8 C.0 D.5 解析:∵当n≥5时,=1×2×3×4×5×…×n=120×…×n, ∴当n≥5时,的个位数字为0,又∵+++=1+2+6+24=33, ∴M的个位数字为3. 跟踪训练 A 2.若=10,则正整数n=　　　　.  解析:因为=10,所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),且n≥3,n∈N*, 整理得到4n-2=5(n-2),解得n=8. 8 知识点2　利用排列数公式化简与证明 [例2]　(多选)下列等式成立的是(　 　) A.=　　　　　　　　 B.(n+1)= C.-=n2 D.n=n! [分析]　排列数公式化简与证明一般用阶乘的形式可以简化计算. BCD [解析]　=,故A错误; (n+1)=(n+1)=,==,故B正确; -=(n+1)!-n!=n!(n+1-1)=n·n!,n2=n2(n-1)!=n·n!,故C正确; n=n(n-1)!=n!,故D正确. [例3]　证明:-=m. [证明]　因为-=- ==· =m·=m,所以-=m. 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算. 思维提升 3.不等式<6的解集为(　　) A.[2,8]　　　　　　　　 B.[2,6] C.(7,12) D.{8} 跟踪训练 D 解析:由<6,得<6×,化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12,① 又 所以2<x≤8,② 由①②及x∈N*,得x=8. 4.(多选)下列各式中,等于n!的等式正确的是(　 　) A. B. C. D.n ABD 解析:对于选项A,因为=n!,所以选项A正确, 对于选项B,因为=·(n+1)==n!,所以选项B正确, 对于选项C,因为=(n+1)!,所以选项C错误, 对于选项D,因为n=n·(n-1)!=n!,所以选项D正确. 知识点3　排列数公式的简单应用 [例4]　用0~9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? [解]　法一:分两步完成: (1)从1到9这九个数中任选一个占据百位,有种方法. (2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位,个位,有种方法. 由分步乘法计数原理可得,所求的三位数的个数为=9×9×8=648. 法二:符合条件的三位数可以分三类: (1)每一位数字都不是0的三位数有个; (2)个位数字是0的三位数有个; (3)十位数字是0的三位数有个. 由分类加法计数原理可得,所求的三位数的个数为++=648. 法三:不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数,再减去不符合条件的三位数的个数,即-=648. 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树状图法.对于情况较多的情形,可以先进行分类讨论再计算. 思维提升 5.已知有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有(　　) A.种　　　　　　　　 B.种 C.种 D.2种 解析:司机、售票员各有种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有种不同的分配方法. 跟踪训练 C 6.北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带,是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵,现从4名老师中选3名老师,每人讲述一条文化带,每条文化带由一名老师讲述,则不同的分配方案种数为　　　　.  24 解析:从4名老师中选3名老师,每人讲述一条文化带,每条文化带由一名老师讲述, 相当于从4个不同元素中选3个元素的排列问题, 则不同的分配方案种数为=4×3×2=24. 〈课堂达标·素养提升〉 1.求+的值为(　　) A.12　　　　　　　　　 B.18 C.24 D.30 解析:+=3×2+4×3=18. B 2.为贯彻文明校园,某中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作,若每周只值3天班,每班1人,每人每周最多值一班,则不同的排班种类为(　　) A.12 B.45 C.60 D.90 C 解析:5名志愿者参加文明监督岗工作,每周只值3天班,每班1人,每人每周最多值一班,则不同的排班种类为:=5×4×3=60. 3.不等式-5n<5的解集为(　　) A.{n|-1<n<5} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{4} 解析:由-5n<5得(n+1)n-5n<5,即n2-4n-5<0,解得-1<n<5,又n+1≥2,n∈N,所以不等式-5n<5的解集为{1,2,3,4}. B 4.已知数集A中有n个元素,其中有一个为0.现从A中任取两个元素x,y组成有序实数对(x,y).在平面直角坐标系中,若(x,y)对应的点中不在坐标轴上的共有56个,则n的值为　　　　.  解析:因为点(x,y)不在坐标轴上,所以x≠0且y≠0.因此=56,则(n-1)(n-2)=56.又n>0,解得n=9 9 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.=(　　) A.　　 　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.从集合中选取两个不同的元素,组成平面直角坐标系中点的坐标,则可确定的点的个数为(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:从集合中选取两个不同的元素,组成平面直角坐标系中点的坐标, 则可确定的点的个数为=20个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(多选)下列各式中与排列数相等的是(　　) A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D.· 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 解析:∵=,A正确;而·=n·=, ∴=·,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)9人身高各不相同,排成两排,前排4人,后排5人的所有排列个数为(　 　) A. B.× C.× D.× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:法一:①先排前排;②再排后排,共有·种排法; 法二:①先排后排;②再排前排,共有·种排法; 法三:实质上就是9个人的全排列种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.用含(n>m,n∈N*,m∈N*)的式子表示:9×8×7×3=　　 　　.  解析:因为=9×8×7,=3,所以9×8×7×3=×. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 × 6.某组委会要在原定排好的10个节目中增加2个节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为　　　　.  解析:添加节目后,共有12个节目,因为保持原来10个节目的相对顺序不变, 则只需排好增加的2个节目即可,所以,不同的排法种数为=12×11=132. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 132 7.(1)解不等式:3≤2+6; (2)求证:=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:由题意可知,x∈N*且x≥3, 因为=x(x-1)(x-2),=(x+1)x,=x(x-1), 所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),整理得(3x-2)(x-5)≤0, 所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}. (2)证明:左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!, 右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n!, 所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知一条铁路有8个车站,假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客,记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B). (1)该铁路的客运车票有多少种? (2)为满足客运需要,在该铁路上新增了n个车站,客运车票增加了54种,求n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)铁路的客运车票有=8×7=56(种). (2)在新增了n个车站后,共有(n+8)个车站,因为客运车票增加了54种,则-56=54, 所以=(n+8)(n+7)=110,解得n=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.小明申请了一个电子邮箱,他打算设计密码,准备用三个数字和三个字母组成密码,数字是从1,2,3,4,5中选三个,字母是用x,y,z,而且字母安排在前面,数字放在后面,则他可选用的密码个数共有(　　) A. B. C.+ D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:由题知,先排后三个数字的位置,即从5个数字中选取3个进行排列,有种, 再把3个字母安排在前三个位置,有种,因为是分步进行的,所以共有个可选用的密码. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)用0到6这7个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为(　　 ) A.+2 B. C.- D.+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:用0到6这7个数字组成没有重复数字的三位数,若不考虑最高位是否为0,则有个,又最高位不能为0,故当最高位为0时有个,故可以组成没有重复数字的三位数的-个,故C正确; 首先排最高位,有种,再排十位、个位,有种,故共有个没有重复数字的三位数,故B正确; 若选到的数字没有0,则有个,若选到的数字有0,先排0,有2种方法,再从其余6个数字选2个排到其余位置,故有2个,综上可得共有+2个没有重复数字的三位数,故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘1名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有 　　　　种不同的招聘方案.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 解析:将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学毕业生, 即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数. (1)若x=9,则其中能被3整除的共有多少个? (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求实数x的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时,该数就能被3整除, 所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,所以共有2×=12(个). (2)显然x≠0,因为1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现·次, 所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··,即(1+2+4+x)··=252,所以7+x=14,解得x=7. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.有0,1,2,3,4,5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类: 第一类:0在个位时,有种方法; 第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选1个有个, 十位和百位从余下的数字中选有个,共有个; 第三类:4在个位时,与第二类同理,共有个; 由分类加法计数原理,知四位偶数共有++=156个. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)符合要求的四位数可分为两类: 第一类:十位和个位分别为2和5时,需要从余下的非0数字中选1个放在千位, 剩下的3个数字选1个放在百位,共有个; 第二类:十位和个位分别为5和0时,共有个; 由分类加法计数原理,知符合题意的四位数共有+=21个. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)符合要求的四位数可分为三类: 第一类:千位是2,3,4,5中任意1个,余下的三位任意排,有4个; 第二类:千位是1,且百位是4,5中任意1个,余下的两位任意排,有2个; 第三类:千位是1,且百位是3,十位是4,5中任意1个,个位任意排,有2×3=6个; 由分类加法计数原理,知符合题意的四位数共有4+2+6=270个. 13 $$