6.2.1 排列-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.1　排列 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1.通过具体实例,理解排列的概念.　2.能用列举法、“树状图”法列出简单的排列.　3.能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 知识点1　排列的概念 内容索引 知识点2　简单的排列问题 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　排列的概念 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 　　　 　　　排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  2.根据排列的定义,两个排列相同的充要条件:(1)两个排列的元素 　 　　　;  (2)元素的排列　　　　也相同.  一定的顺序 完全相同 顺序 微提醒: 1.要求m≤n. 2.按照一定顺序排列,顺序不同,排列不同. [例1]　判断下列问题是否为排列问题: (1)某班共有50名学生,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果? (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数,共有多少个不同的对数值? (3)有12个车站,共需准备多少种车票? (4)某会场有50个座位,从中任选出3个座位,共有多少种不同的选法? [分析]　理解排列的定义,利用定义解决问题. [解]　(1)是.选出的2人,担任正、副班长人选,与顺序有关,所以是排列问题. (2)是.对数值与底数和真数的取值有关系,与顺序有关. (3)是.起点站或终点站不同,则车票不同,与顺序有关. (4)不是.只是选出3个座位,与顺序无关. 判断一个问题是否为排列问题,主要从“取”与“排”两方面考虑 1.“取”,检验取出的m个元素是否重复. 2.“排”,检验取出的m个元素是否有顺序性,其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序. 思维提升 1.下列问题是排列问题的是(　　) A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法 B.10个人互相通信一次,共写了多少封信 C.平面上有5个点,任意三点不共线,这5个点最多可确定多少条直线 D.从1,2,3,4四个数字中,任选两个相乘,其结果共有多少种 跟踪训练 B 解析:对于A,8名同学中选取2名,不涉及顺序问题,不是排列问题,A错误; 对于B,10个人互相通信,涉及顺序问题,是排列问题,B正确; 对于C,5个点中任取2点,不涉及顺序问题,不是排列问题,C错误; 对于D,4个数字中任取2个,根据乘法交换律知,结果不涉及顺序,不是排列问题,D错误. 知识点2　简单的排列问题 [例2]　沪宁高铁线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　) A.15　　　　　　　　　　 B.30 C.12 D.36 [分析]　根据排列的定义即可. B [解析]　因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,对于两站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因此,每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列,故不同的火车票有6×5=30(种). [例3]　写出下列问题的所有排列: (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数? (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数,试全部列出. [分析]　利用树状图将元素按一定顺序排出,写出排列. [解]　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数. (2)画出树状图,如图所示. 由上面的树状图可知,所有的四位数分别为:1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143,2 314,2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321,共24个没有重复数字的四位数. 1.利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题. 2.利用树状图或计数原理求出排列总数. 思维提升 2.(1)若直线Ax+By=0的系数A,B可以从2,3,5,7中取不同的数值,则可以构成的不同直线的条数是(　　) A.12 B.9 C.8 D.4 (2)从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 跟踪训练 A D 解析:(1)画树状图如下: 故共有12条. (2)记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法有: ①不选甲: ②选甲: 所以共有48种不同的排法. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)下列问题是排列问题的为(　　 ) A.高二(1)班选2名班干部去学校礼堂听团课 B.某班40名同学在假期互发消息 C.从1,2,3,4,5中任取两个数字相除 D.10个车站,站与站间的车票 BCD 解析:对于A,不存在顺序问题,不是排列问题; 对于B,存在顺序问题,是排列问题; 对于C,两个数相除与这两个数的顺序有关,是排列问题; 对于D,车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题. 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B.甲乙丙、乙丙甲 C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D.甲乙、甲丙、乙丙 C 解析:从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下6种站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙. 3.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,送给A,B两人,则共有 　　　　种不同的送法.  解析:从3幅不同的画中选出2幅,送给A,B两人,不同的选法种数为3×2=6种. 6 4.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有　　　　个.  12 解析:要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字,用树状图表示为 由此可知共有12个满足条件的四位数. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.从集合中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和? ②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆+=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线-= 1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? 上面四个问题属于排列问题的是(　　) A.①②③④　　　　　　 B.②④ C.②③ D.①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题; ∵除法不满足交换律,∴②是排列问题; 若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题; 在双曲线-=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故④是排列问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本,不同的选法种数为(　　) A.3 B.24 C.34 D.43 解析:3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本,相当于从4个不同元素中选3个的排列,其选法种数为4×3×2=24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 3.甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A.6 B.4 C.8 D.10 解析:甲、乙、丙排成一排的方法有3×2=6(种).甲在排头的方法有2种,所以6-2=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 4.世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为(　　) A.12种 B.10种 C.8种 D.6种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:因为甲、乙两人被分配到同一展台,所以甲与乙捆在一起,看成一个人.然后将3个人分到3个展台进行排列,即有3×2×1=6(种),所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.现从8名学生中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动,则不同的选派方案的种数是　　　　.  解析:从8名学生中选出3名同学排列的种数为8×7×6=336,故共有336种不同的选派方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 336 14 6.学校安排甲、乙、丙、丁4名运动员参加4×100米接力赛,其中甲不跑第一棒,则共有　　　　种不同的接力方式.  解析:甲先在第二、三、四棒中选一棒,有3种选法,乙、丙、丁三人选择除甲选择之外的三棒,有3×2×1=6种选法,所以一共有3×6=18种接力方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 14 7.写出下列问题的所有排列: (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票? (2)两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示. 故符合题意的机票种类有:北京-广州,北京-南京,北京-天津,广州-南京,广州-天津,广州-北京,南京-天津,南京-北京,南京-广州,天津-北京,天津-广州,天津-南京,共12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由于老师不站左端,故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A,B,两名老师分别为M,N,此问题可分两类: 由此可知,所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺序排成一个三位数,此时: (1)各位数字互不相同的三位数有多少个? (2)可以排出多少个不同的三位数? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一. 第一步,得首位数字,有6种不同结果; 第二步,得十位数字,有5种不同结果; 第三步,得个位数字,有4种不同结果. 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个). (2)三位数,每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个,共有不同的三位数6×6×6=216(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有(　　) A.24种 B.23种 C.12种 D.11种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:w,o,r,d的排列共有4×3×2×1=24(种),其中排列“word”是正确的,其余均错,故错误的有24-1=23(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”,现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中“伞数”共有(　　) A.60个 B.53个 C.20个 D.35个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由题意得:十位数只能是3,4,5, 当十位数是3时,个位和百位只能是1,2,“伞数”共有2个; 当十位数是4时,个位和百位只能是1,2,3,“伞数”共有3×2=6个; 当十位数是5时,个位和百位只能是1,2,3,4,“伞数”共有4×3=12个; 所以“伞数”共有20个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中,满足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列个数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 解析:首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树状图进行筛选.满足a1>a2的树状图是 其次满足a3>a2的树状图是 再满足a3>a4的排列有2143,3142,3241,4132,4231,共5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.将1到9这九个数字,填在如图所示的九宫格中,九宫格的中间填5,四个角填偶数,其余位置填奇数,则每一横行,每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:九宫格的中间填5,①③⑤⑦位置填偶数2,4,6,8,②④⑥⑧位置填奇数1,3,7,9, 因为每一横行,每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15, 所以①⑤,③⑦位置填2,8或4,6; 13 ① ⑧ ⑦ ② 5 ⑥ ③ ④ ⑤ 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 先从2,4,6,8中选出一个数填入①位置,则有4个结果;若①填2,则⑤填8,③填6,⑦填4,②填7,④填1,⑥填3,⑧填9; 或若①填2,则⑤填8,③填4,⑦填6,②填9,④填3,⑥填1,⑧填7,共包含2个结果. 因此,总的结果个数为4×2=8. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4.现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:如图,由树状图可写出所有不同试验方法如下: a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. (1)写出这个数列的前8项; (2)这个数列共有少项? (3)若an=341,求n. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)该数列的前8项为: 111,112,113,114,121,122,123,124. (2)因为用1,2,3,4排成三位数,每个位上都有4种排法, 所以,根据分步乘法计数原理,共有4×4×4=64项. (3)比an=341小的数有两类:①百位上是1或2的,共有2×4×4=32(个); ②百位上是3且十位上是1或2或3的,共有1×3×4=12(个). 再根据分类加法计数原理可得,比an=341小的数有32+12=44(个). 所以所求的n=44+1=45. 13 14 $$