6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1. 通过实例,理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.　2.能利用两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 知识点1　分类加法计数原理 内容索引 知识点2　分步乘法计数原理 课时作业 巩固提升 知识点3　两个计数原理的简单应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　分类加法计数原理 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有 　　　　　　种不同的方法.  N=m+n 微提醒: 1.分类加法计数原理中两类方案相互独立,各类方案中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. [例1]　(1)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　) A.6个　　　　　　　　　 B.8个 C.12个 D.16个 (2)某校高三共有三个班,各班人数如表.   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 ①从三个班中选1名学生担任学生会主席,不同的选法有　　　　种;  ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同的选法有　　　　种.  [分析]　(1)要完成的事情是“焦点位于x轴上的椭圆”,所以m>n,需要分类求出m,n的值. (2)①从三个班中选1名学生担任学生会主席,②高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,故符合分类加法计数原理的条件. [答案]　(1)A　(2)①165　②80 [解析]　(1)因为椭圆的焦点位于x轴上,所以m>n.当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个). (2)①从三个班中选1名学生担任学生会主席,共有3类不同的方案: 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165(种)不同的选法. ②从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有3类不同的方案: 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法. [变结论]　本例(1)条件不变,结论变为“则方程-=1表示焦点位于x轴上的双曲线”有(　　) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 D 解析:因为双曲线的焦点在x轴上,所以m>0,n>0,当m=1时,n=1,2,3,4;当m=2时,n=1,2,3,4;当m=3时,n=1,2,3,4;当m=4时,n=1,2,3,4,即所求的双曲线共有4+4+4+4=16(个). 1.分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下分类,要做到分类“不重不漏”. 2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程 思维提升 1.如果x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对有(　　) A.4个　　　B.5个　　　C.12个　　　D.15个 解析:当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,共有6种可能;当x=2时,y=0,1,2,3,4,共有5种可能; 当x=3时,y=0,1,2,3,共有4种可能,利用分类加法计数原理,得共有6+5+4=15(种)可能,故满足条件的不同的有序自然数对有15个. 跟踪训练 D 2.一个科技小组有3名男同学,5名女同学,从中任选1名同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有　　　　种.  解析:任选1名同学参加学科竞赛,有两类方案: 第一类,从男同学中选取1名参加学科竞赛,有3种不同的选法; 第二类,从女同学中选取1名参加学科竞赛,有5种不同的选法. 由分类加法计数原理,不同的选派方法有3+5=8(种). 8 知识点2　分步乘法计数原理 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有　　　　　　种不同的方法.  N=m×n 微提醒: 1.完成一件事的两个步骤,缺一不可,其中的每一步都不能独立完成这件事. 2.如果完成一件事情需要n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. [例2]　在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”(即学科知识竞答活动),某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加,则不同的选法共有(　　) A.9种　　　　　　　　　 B.11种 C.20种 D.99种 [分析]　要完成的一件事是“从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科”,可以分两个步骤:第1步从11个学科素养展中选;第2步从9个学科素养展中选. D [解析]　由题意可得:先从高一年级11个学科素养展中任选一个学科,不同的选法有11种;再从高二年级的9个学科素养展中任选一个学科,不同的选法有9种,根据分步乘法计数原理可得:不同的选法共11×9=99种. 1.应用分步乘法计数原理时,要先确定完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可. 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步:将完成这件事的过程分成若干步; (2)计数:求出每一步中的方法数; (3)结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果. 思维提升 3.(多选)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,现要从一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则下列结论正确的是(　　) A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法 C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法 跟踪训练 ABD 解析:若从东面上山,则上山走法有2种,下山走法有10种,由分步计数原理可得共有20种走法; 若从西面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步计数原理可得共有27种走法; 若从南面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步计数原理可得共有27种走法; 若从北面上山,则上山走法有4种,下山走法有8种,由分步计数原理可得共有32种走法. 4.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成的不同的二次函数共　　　　个,其中不同的偶函数共　 个. (用数字作答)  18 6 解析:一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知,共有不同的二次函数3×3×2=18(个). 若二次函数为偶函数,则b=0.a的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知,共有不同的偶函数3×2=6(个). 知识点3　两个计数原理的简单应用 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同点 (1)相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题. (2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤互相依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 2.如何区分一个问题是“分类”还是“分步”? 如果完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;如果从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步. [例3]　书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书. (1)从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)从这些书中取不同科目的书共两本,有多少种不同的取法? [分析]　(1)根据分类加法计数原理求解即可; (2)根据分步乘法计数原理求解即可; (3)分三种情况讨论求解即可. [解]　(1)由于书架上有3+5+6=14本书, 则从中任取一本,共有14种不同的取法. (2)由题意分步完成, 第一步:任取一本数学书,有3种取法; 第二步:任取一本语文书,有5种取法; 第三步:任取一本英语书,有6种取法. 由分步乘法计数原理得共有3×5×6=90种不同的取法. (3)取两本不同科目的书,可以分三种情况: ①一本数学书和一本语文书,有3×5=15种情况; ②一本数学书和一本英语书,有3×6=18种情况; ③一本语文书和一本英语书,有5×6=30种情况. 根据分类加法计数原理,共有15+18+30=63种情况. 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题. 思维提升 5.高二(1)班、(48)班、(62)班分别有7,5,9人参加创新技能大赛笔试. (1)如果选一人当组长,那么有多少种不同的选法? (2)如果老师任组长,每班选一名副组长,那么有多少种不同的选法? (3)如果推选两名学生参赛,要求这两人来自不同的班级,那么有多少种不同的选法? 跟踪训练 解:(1)事件选一人当组长可分三类方案完成, 第一类,组长从(1)班选出,有7种选法, 第二类,组长从(48)班选出,有5种选法, 第三类,组长从(62)班选出,有9种选法, 根据分类加法计数原理,选一人当组长有7+5+9=21种选法. (2)如果老师任组长,每班选一名副组长,则需要分三步, 第一步,从(1)班选一名同学担任副组长,有7种选法, 第二步,从(48)班选一名同学担任副组长,有5种选法, 第三步,从(62)班选一名同学担任副组长,有9种选法, 根据分步乘法计数原理,每班选一名副组长共有7×5×9=315种选法. (3)事件推选两名学生参赛,要求这两人来自不同的班级,可分为三类方案, 第一类,若两人来自(1)班和(48)班,有7×5=35种选法, 第二类,若两人来自(1)班和(62)班,有7×9=63种选法, 第三类,若两人来自(48)班和(62)班,有5×9=45种选法, 综上可知,这两人来自不同的班级的不同的选法有35+63+45=143种. 〈课堂达标·素养提升〉 1.每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有(　　) A.22种　　　　　　　　 B.33种 C.300种 D.3 600种 解析:从甲地到乙地不同的方案数为5+10+6+12=33. B 2.从3名老师和7名学生中各选1人组成一个小组,则不同的选法共有(　　) A.4种 B.10种 C.21种 D.45种 解析:不同的选法共有3×7=21种. C 3.(多选)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,下列说法错误的有(　　 ) A.其中虚数有30个 B.其中虚数有42个 C.其中虚数有36个 D.其中虚数有35个 解析:根据选项,可知本题只考虑a+bi为虚数,则虚数虚部不能为0,第一步选虚部,有6种选择;第二步,选择实部,有6种选择.根据分步乘法计数原理可得,虚数有36个,故A,B,D错误,C正确. ABD 4.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有　　　　种.   96 解析:完成承建任务可分五步: 第一步,安排1号有4种; 第二步,安排2号有4种; 第三步,安排3号有3种; 第四步,安排4号有2种; 第五步,安排5号有1种. 由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96(种). 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则的不同值的个数是(　　) A.2　　　　　　　　　　 B.6 C.9 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:求需分两步取值:第1步,x的取值有3种情况;第2步,y的取值有3种情况,故有3×3=9个不同的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.某同学有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半裙,另有2套不同样式的连衣裙.参加学校活动需选择一套服装参加歌舞演出,则该同学不同的穿衣服的方式有(　　) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:其穿衣方式分两类,第一类,不选连衣裙有4×3=12(种)方式, 第二类,选连衣裙有2种方式,由分类加法计数原理知,共有12+2=14(种)不同的穿衣服的方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成通路的条数为(　　) A.8条 B.6条 C.5条 D.3条 解析:依题意,可构成通路的条数为2×3=6(条). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 4.(多选)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画,下列说法正确的有(　　 ) A.从中任选一幅画布置房间,有14种不同的选法 B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有70种不同的选法 C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有59种不同的选法 D.要从5幅不同的国画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有9种不同的挂法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:对于A中,从国画中选一副有5种不同的选法;从油画中选一副有2种不同的选法;从水彩画中选一副有7种不同的选法, 由分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法,所以A正确; 对于B中,从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法, 根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法,所以B正确; 对于C中,若其中一幅选自国画,一幅选自油画,则有5×2=10种不同的选法; 若一幅选自国画,一幅选自水彩画,则有5×7=35种不同的选法; 若一幅选自油画,一幅选自水彩画,则有2×7=14种不同的选法, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由分类计数原理,可得共有10+35+14=59种不同的选法,所以C正确; 对于D中,从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成: 第一步,从5幅画中选1幅挂在左边墙上,有5种选法; 第二步,从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上,有4种选法, 根据分步计数原理,不同挂法的种数是5×4=20种不同的选法,所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤8,n≤7)可以任意选取,则不同的选取种数为　　　　.  解析:m取小于等于8的正整数,n取小于等于7的正整数,共有8×7=56种取法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 6.已知直线方程Ax+By=0.若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示不同的直线　　　　条.   解析:当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当A，B≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 7.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数. 解:分三类: 第一类,千位数字为3时,“渐降数”只有3 210,共1个; 第二类,千位数字为4时,“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210,共4个; 第三类,千位数字为5时,“渐降数”有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210,共10个. 由分类加法计数原理,共有1+4+10=15(个)“渐降数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　) A.48 B.18 C.24 D.36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:分类讨论:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个,所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表,现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下地铁的可能性相同,则下列结论正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 A.若小明、小华两人共花费5元,则小明、小华下地铁的方案共有9种 B.若小明、小华两人共花费5元,则小明、小华下地铁的方案共有18种 C.若小明、小华两人共花费6元,则小明、小华下地铁的方案共有27种 D.若小明、小华两人共花费6元,则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后) 答案:BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:两人共花费5元分为两类:小明花费2元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种, 同理小明花费3元,小华花费2元时,两人下地铁的方案也是9种,所以共有18种,A不正确,B正确. 两人共花费6元分为三类:小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种; 小明花费3元,小华花费3元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种; 小明花费4元,小华花费2元,此时两人下地铁的方案有3×3=9种, 共有27种,C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小明比小华先下地铁有两类:小明花费2元,小华花费4元,此时两人下地铁的方案有9种; 小明和小华均花费3元,小明比小华先下地铁仅有3种方案,所以共有12种方案,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.某小组共有4名男生a,b,c,d和3名女生A,B,C.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事,共有　　　　种不同的结果.  解析:因为4名男生a,b,c,d选一名男生共有4种不同的结果; 3名女生A,B,C选一名女生共有3种不同的结果; 一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法, 根据分步乘法计数原理可知:共有3×4×2=24种不同的结果. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 11.《九章算术》《数书九章》《周髀算经》是中国古代数学著作,甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读,若三人选择的书不全相同,则不同的选法有　　　　种.  解析:若三人选书没有要求,则有33=27种,若三人选择的书完全相同,则有3种, 所以三人选择的书不全相同,不同的选法有27-3=24种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 12.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的有28人,A型血的有7人,B型血的有9人,AB型血的有3人. (1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法; 从A型血的人中选1人有7种不同的选法; 从B型血的人中选1人有9种不同的选法; 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法. (1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,故用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,故用分步乘法计数原理,有28×7×9×3=5 292种不同的选法. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某节目中准备了两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有　 　　　种不同的结果.  13 28 800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:抽奖过程分三步完成,考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中,故可分两种情形考虑,分两大类: (1)幸运之星在甲信箱中抽,先定幸运之星,再在两信箱中各确定一名幸运伙伴有 30×29×20=17 400(种)结果. (2)幸运之星在乙信箱中抽,同理有20×19×30=11 400(种)结果. 所以共有17 400+11 400=28 800(种)不同的结果. 13 $$