第七章 随即变量及其分布 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第七章　随机变量及其分布 章末综合提升 考点1　条件概率 1.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. D 解析:记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P==. 2.(2022·新课标Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图: (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率; (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1) 解:(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,则P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89. (3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得P(C|B)====0.001 437 5≈0.001 4. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P=1-P=qi,i=1,2,…,n,则E=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E. 解:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 所以P=P+P =PP+PP =0.5×+0.5×0.8=0.6. (2)设P=pi,依题可知,P=1-pi, 则P=P+P =PP+PP, 即pi+1=0.6pi+×=0.4pi+0.2=pi+, 构造等比数列, 设pi+1+λ=, 解得λ=-, 则pi+1-=. 又p1=,p1-=,所以是首项为,公比为的等比数列, 即pi-=×,pi=×+. (3)因为pi=×+,i=1,2,…,n, 所以当n∈N*时,E=p1+p2+…+pn=+×=×+=+, 故E(Y)=+. 考点2　离散型随机变量的分布列与期望 4.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则 P(ξ=2)=　　　　,E(ξ)=　　　　.  　 解析:由题意知P(ξ=2)==. ξ的可能取值为1,2,3,4, P(ξ=1)===,P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, 所以ξ的分布列为 E(ξ)=1×+2×+3×+4×=. ξ 1 2 3 4 P 5.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 解:(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E. 则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××+××=. ∴甲学校获得冠军的概率为. (2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30. 则P(X=0)=P( )=××=, P(X=10)=P(B1 )+P(B2)+P( B3)=××+××+××=, P(X=20)=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3)=××+××+××=, P(X=30)=P(B1B2B3)=××=. ∴X的分布列为 ∴E(X)=0×+10×+20×+30×=13. X 0 10 20 30 P 6.(2022·北京卷)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m): 甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25; 乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23; 丙:9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率. (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X). (3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明) 解:(1)设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A. 因为比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖,甲以往的比赛成绩中达到9.50 m以上(含9.50 m)的有9.80 m,9.70 m,9.55 m, 9.54 m,共4个, 所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. 由(1)知,甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4. 设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B,C, 则P(B)=0.5,P(C)=0.5. P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.5)=0.15, P(X=1)=0.4×(1-0.5)×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5×(1-0.5)+(1-0.4)×(1-0.5)×0.5=0.4, P(X=2)=0.4×0.5×(1-0.5)+0.4×(1-0.5)×0.5+(1-0.4)×0.5×0.5=0.35, P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1, 所以E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4. (3)在校运动会铅球比赛中,按以往比赛成绩的平均数、方差来看,甲获得冠军的概率估计值最大;按以往比赛的最好成绩来看,丙获得冠军的概率估计值最大. 考点3　正态分布 7.(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　.  解析:由正态分布的性质可知P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)= 0.5-0.36=0.14. 0.14 $$