第六章 计数原理 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第六章　计数原理 章末综合提升 考点1　排列与组合 1.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　) A.·种　　　　　 B.·种 C.·种 D.·种 D 解析:根据比例分配的分层随机抽样的定义知,初中部共抽取60×=40(人),高中部共抽取60×=20(人),所以不同的抽样结果共有·种. 2.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 C 解析:首先甲、乙两人先选1种相同的课外读物,共有种情况, 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里,选出两种进行排列,共有种, 根据分步乘法计数原理,则共有·=120(种). 3.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　) A. B. C. D. A 解析:甲有6种选择,乙也有6种选择,故总数共有6×6=36(种), 若甲、乙抽到的主题不同,则共有=30(种), 则其概率为=. 4.(2022·新课标Ⅰ卷) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. D 解析:法一(直接法):从7个整数中随机取2个不同的数共有=21种取法. 如图,所取的2个数互质的取法有3+4+2+3+1+1=14(种),所以这2个数互质的概率为=. 法二(间接法):从7个数中任取2个数共有=21种取法,2个数不互质的情况有两种:①从4个偶数中任取2个,有=6种取法;②从偶数和奇数中各取一个,有1种取法,所以2个数不互质的取法有7种,所以取2个数互质的概率为1-=. 5.(2022·新课标Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析:丙和丁相邻共有·种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有··种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有·-··=24种站法. B 6.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 C 解析:先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有=10种分法,然后将4个项目全排列,共有=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有·=240(种). 7.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种.(用数字作答)  64 解析:若学生从这8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16(种); 若学生从这8门课中选修3门, ①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有=24(种); ②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有=24(种). 综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种). 8.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个 平面的概率为　　　　.  解析:从正方体的8个顶点中任选4个顶点,共有=70(种)选法,其中4个点在同一平面的选法共有12种,即选正方体的6个表面和6个对角面的4个顶点,根据古典概型概率公式知所求概率P==. 考点2　二项式定理 9.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　) A.40 B.41 C.-40 D.-41 B 解析:法一(赋值法):依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41. 法二(通项公式法):二项式(2x-1)4的通项为Tr+1=(2x)4-r(-1)r,分别令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41. 10.(2020·全国Ⅰ卷)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 C 解析:法一:∵(x+y)5= (x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5),∴x3y3的系数为10+5=15. 法二:当x+中取x时,x3y3的系数为, 当x+中取时,x3y3的系数为, ∴x3y3的系数为+=10+5=15. 11.(2023·天津卷) 在的展开式中,x2项的系数为　　　　.  解析:展开式的通项为Tk+1==26-kx18-4k. 令18-4k=2,可得k=4, 则x2项的系数为×26-4×=4×15=60. 60 12.(2022·浙江卷)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.  8 -2 解析:由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=(-1)3+2(-1)2=8. 对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=0,得a0=2×(-1)4=2; 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-2. 13.(2022·新课标Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　. (用数字作答)  解析:(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=28,x3y5的系数为=56,因此(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. -28 $$