4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质与应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的性质与应用 知识点1　等差数列前n项和的性质 内容索引 知识点2　等差数列前n项和公式的实际应用 知识点3　等差数列前n项和的最值问题 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等差数列前n项和的性质 1.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为　　　　.  2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差 为　　　　.  3.在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n). m2d 4.项的个数的“奇偶”性质: (1)若非零等差数列的项数为2n,则S偶-S奇=　　　　,.  (2)若非零等差数列的项数为2n-1,则S奇-S偶=　　　　　, (S奇=nan,S偶=(n-1)an).  5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, 则,.  nd an 　已知Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且(n=1,2,…),则=(　　) A. C. 例1 B 因为数列{bn}是等差数列,所以b3+b18=b6+b15,所以, 又因为Sn,Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,且(n=1,2,…), 所以. 　已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. 例2 [解]　法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ∵S10=100,S100=10, ∴ ∴S110=110a1+=-110. 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d, ∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22, ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 法三:由于也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,b10=, 则d=(b10-b1)=,所以b11==-1, 所以S110=-110. 法四:直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可知S110=-110. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1.在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些. 2.等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 3.设而不求,整体代换也是很好的解题方法. 思维提升 1.已知数列是等差数列,Sn是它的前n项和,a1=2,=11,则=(　　) A.100 B.101 C.110 D.120 跟踪训练 B 设等差数列的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,即有(n-1)d, 由a1=2,=11,得d=11,解得d=2,因此=n+1,所以=101. 2.已知数列{an}是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是　　　　　.  -4 设等差数列{an}的项数为2m, ∵末项与首项的差为-28, ∴a2m-a1=(2m-1)d=-28,① ∵S奇=50,S偶=34,∴S偶-S奇=34-50=-16=md,② 由①②得d=-4. 知识点2　等差数列前n项和公式的实际应用 　某优秀大学生毕业团队响应国家号召,毕业后自主创业,通过银行贷款等方式筹措资金,投资72万元生产并经营共享单车,第一年维护费用为12万元,以后每年都增加4万元,每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用,则从第几年开始获取纯利润? 例3 [解]　(1)设第n年获取的利润为y万元,则n年共收入租金50n万元,维护费构成一个以12为首项,4为公差的等差数列,共12n+4×=(2n2+10n)万元, 因此利润y=50n-(72+2n2+10n)=-2n2+40n-72, 令y>0,解得2<n<18,因为n∈N*, 所以从第3年起开始获取纯利润. (2)若年平均获利最大时,该团队计划投资其他项目,问应在第几年转投其他项目? [解]　(2)年平均获利为+40, 因为2n+=24,所以-+40≤-24+40=16, 当且仅当2n=,即n=6时,取等号,所以应在第6年转投其他项目. 1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体现. 思维提升 3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A.3 699块　　　　　　　 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 跟踪训练 C 设每一层有n环,由题可知从内到外每环之间构成公差d=9,a1=9的等差数列. 由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d, 则9n2=729,得n=9,则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+×9= 3 402(块). 知识点3　等差数列前n项和的最值问题 1.在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最　　　　值,使Sn取得最值的n可由不等式组确定;  当a1<0,d>0时,Sn有最　　　　值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定.  大　 小 2.Sn=n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最 　　　　值;当d<0时,Sn有最　　　　值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.  小　 大 在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n项和Sn的最大值. [分析]　解答本题可用多种方法,可以根据S8=S18,找出a1与d的关系,转化为Sn关于n的二次函数求值的问题,也可以利用通项公式找到项的正负的转折点,再求解. 例4 [解]　法一:(求Sn的关系式)因为S8=S18,a1=25, 所以8×25+d, 解得d=-2.所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169. 所以当n=13时,Sn有最大值为169. 法二:(利用通项公式找转折项)同法一,求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因为a1=25>0, 又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值为169. 法三:(利用等差数列的性质找转折项)因为S8=S18,所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质,得a13+a14=0.因为a1>0,所以d<0,所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时,Sn有最大值.由a13+a14=0,得a1+12d+a1+13d=0, 解得d=-2,所以S13=13×25+×(-2)=169, 所以Sn的最大值为169. 法四:(利用待定系数求解析式)设Sn=An2+Bn.因为S8=S18,a1=25, 所以二次函数图象的对称轴为x==13,且开口方向向下, 所以当n=13时,Sn取得最大值. 所以Sn=-n2+26n,所以S13=169,即Sn的最大值为169. 求等差数列前n项和Sn最值的方法 1.寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用来寻找. 2.运用二次函数求最值. 思维提升 4.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式; 跟踪训练 解:(1)设等差数列的公差为d, 因为在等差数列{an}中,a10=18,S5=-15, 所以an=3n-12,n∈N*. (2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值. 解: (2)因为a1=-9,d=3,an=3n-12, 所以Sn=(3n2-21n)=,所以当n=3或4时, 前n项的和Sn取得最小值S3=S4=-18. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列通项公式为an=3n-27,则其前n项和Sn的最小值为(　　) A.-105　　　　　　　　 B.-108 C.-115 D.-118 B 由题意知an=3n-27,则数列为等差数列,且为单调递增数列,当数列解得:8≤n≤9,又因为n为正整数,所以n=8或n=9,所以由等差数列前n项和可得S8=S9==-108. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则=(　　) A. C. C 由等差数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, 设S3=k,S6=4k(k≠0),则S9=3S6-3S3=9k,S12=3S9-3S6+S3=16k, 所以. 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,=2,则=　　　　　.  2 021 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和, ∴是等差数列,设其公差为d. ∵=2,∴2d=2,d=1. ∵a1=-2,∴=-2, ∴=-2+(n-1)×1=n-3, ∴=2 024-3=2 021. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20,前3m项的和S3m为90,则它的前2m项的和S2m为(　　) A.30　　　　　　　　　 B.70 C.50 D.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 ∵在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列, ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,∴2(S2m-20)=20+90-S2m,∴S2m=50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 ∵an=26-2n,∴an-an-1=-2(n≥2,n∈N*),∴数列{an}为等差数列.又∵a1=24,d=-2, ∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-. ∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(多选)设{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论正确的是(　　 ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 ∵S5<S6=S7>S8,∴a6>0,a7=0,a8<0,∴d<0,∴S6与S7均为Sn的最大值. S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0.∴S9<S5,故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体,后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层10个…,则第二十层球的个数为(　　)   A.210 B.220 C.230 D.240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 设第n层的小球个数为依次构成数列,由题:a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…, 从而有规律:an-an-1=n(n≥2,n∈N*), 所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= 1+2+3+…+n=(n≥2,n∈N*), 所以a20==210.即第二十层有210个小球. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 13 14 ∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=an+1,∴an+1=15. 又∵S2n+1=(2n+1)an+1,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10. 6.蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 80π 13 14 由题意每段圆弧的中心角都是,每段圆弧的半径依次增加1,则第n段圆弧的半径为n,弧长记为an,则an=·n,所以S15=(1+2+3+…+15)=80π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知是等差数列,其中a2=22,a6=10. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设等差数列的公差为d,因为a6=a2+4d, 所以10=22+4d, 所以d=-3,a1=a2-d=25,所以an=28-3n(n∈N*). (2)求a2+a4+a6+…+a20的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)因为是等差数列, 所以a2,a4,a6,…,a20是首项为a2=22,公差为-6的等差数列,共有10项,a2+a4+a6+…+a20=10×22+×(-6)=-50. 8.设是等差数列,若a1=18,a2+a5=26. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设公差为d,由a1=18,a2+a5=26, 得2a1+5d=36+5d=26,解得d=-2,所以an=-2n+20. (2)求数列的前n项和的最值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)设数列的前n项和为Sn, 则Sn==-n2+19n,函数y=-n2+19n的对称轴为n=, 所以(Sn)max=S9=S10=90,无最小值. [B组　关键能力练] 9.(多选)数列的前n项和为Sn,已知Sn=-2n2+15n,则下列说法正确的是(　 　) A.是递减数列 B.a10=-23 C.当n>3时,an<0 D.当n=4时,Sn取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 当n=1时,a1=S1=-2×12+15×1=13;当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+15(n-1), 则an=Sn-Sn-1=-4n+17,n≥2,则n=1满足上式,故an=-4n+17,故选项A正确; a10=-4×10+17=-23,故选项B正确; 当n=4时,a4=1>0,故选项C错误; Sn=-2n2+15n=-2, 当n=时,Sn取最大值,但是n∈N*,所以当n=4时,Sn取得最大值,故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)设等差数列的前n项和为Sn,且a9+a10>0,a10<0,则下列结论正确的是(　 　) A.S19>0 B.S18>0 C.数列是等差数列 D.对任意n∈N*,都有Sn≤S9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 14 由题意等差数列的前n项和为Sn,且a9+a10>0,a10<0, 所以a9>0,a10<0,d<0, S19==19a10<0,S18==9(a10+a9)>0,故A错误,B正确; 由题意得=a1+(n-1)(a1,d分别为首项、公差),所以,所以数列是分别以a1,为首项、公差的等差数列,故C正确; 因为a9>0,a10<0,d<0,所以a1>…>a9>0>a10>…,所以对任意n∈N*,都有Sn≤S9,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知等差数列的项数为2m+1(m∈N*),其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则数列的项数是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 14 设等差数列的公差为d, 因为等差数列的奇数项之和为140,偶数项之和为120, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.《九章算术》中有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,四日织24尺,且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为?译为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,前4天织了24尺布,且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题知每天织布尺数为等差数列,设为,公差为d,则an>0, 因为S4=24,a7=a1a2,所以所以a10=a1+9d=21. 13 14 13.已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,a8=4,　　　　　.  (1)判断2 024是否为数列{an}中的项,并说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求Sn的最小值. 从①S11=-22,②S5=S6中任选一个,补充在上面的问题中并作答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:若选①, (1)设数列{an}的公差为d,则   所以an=a1+(n-1)d=3n-20.令3n-20=2 024,得n=∉N*, 所以2 024不是数列{an}中的项. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)令an=3n-20>0,解得n>,所以当n≤6时,an<0. 故当n=6时,Sn取到最小值为S6=6a1+15d=-57. 若选②, (1)设数列{an}的公差为d,则   所以an=2n-12.令2n-12=2 024,解得n=1 018∈N*, 所以2 024是数列{an}中的第1 018项. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)令2n-12>0,得n>6,所以当n≤6时,an≤0. 故当n=6或n=5时,Sn取到最小值为S5=S6=-30. 13 14 [C组　素养培优练] 14.已知数列满足a1=1,a2=2,an+2-an=3. (1)求a2n; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为an+2-an=3,所以数列a2,a4,…,a2n构成首项为a2=2,公差为3的等差数列,所以a2n=a2+(n-1)·3=3n-1. (2)当n为奇数时,求数列的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由an+2-an=3,所以数列a1,a3,…,a2n-1构成首项为a1=1,公差为3的等差数列,得到a2n-1=a1+(n-1)·3=3n-2,设n=2k-1, 则S2k-1=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k-2)=(1+4+7+…+3k-2)+(2+5+8+…+3k-4)==3k2-3k+1, 又因为k=,所以n为奇数时,Sn=3. 由 由题意得 所以解得a1=-9,d=3, 所以有⇒2m+1=13. $$