4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　等差数列的前n项和公式 内容索引 知识点2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 知识点3　数列{|an|}的前n项和 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn=     Sn=   　 na1+d 　在公差为d的等差数列{an}中. (1)a1=4,S8=172,求a8和d; [分析]　(1)利用前n项和公式求得a8,再利用通项公式求公差d. 例1 [解]　(1)由已知,得S8==172,解得a8=39. 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (2)已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n; [分析] (2)利用已知条件建立关于a1与n的方程组求解. [解]　(2)由 得 解方程组得 (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,求n. [分析] (3) Sn-Sn-4为末4项和,S4为前4项和,倒序相加可得 4(a1+an). [解]　(3) Sn-Sn-4=an-3+an-2+an-1+an=80,S4=a1+a2+a3+a4=40. 两式相加得4(a1+an)=120, ∴a1+an=30. 又∵Sn==15n=210,∴n=14. 等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 思维提升 1.在等差数列{an}中. (1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10; 跟踪训练 解:(1) ∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85. (2) a3+a15=40,求S17; 解: (2)S17==340. (3) a1=,an=-,Sn=-5,求n和d. 解: (3)由题意得,Sn==-5,解得n=15. 又因为a15=+(15-1)d=-,解得d=-,所以n=15,d=-. 知识点2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由. [分析]　利用an=求通项公式.利用等差数列的定义判断. 例2 [解]　当n=1时,a1=S1=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5, 经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5. 数列{an}是等差数列,证明如下: 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4, 所以数列{an}是等差数列. [变条件]　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由. 解:∵Sn=2n2-3n-1,① 当n=1时,a1=S1=2-3-1=-2; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,② ①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5, 经检验当n=1时,an=4n-5不成立,故an= 故数列{an}不是等差数列,数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.   由Sn求得通项公式an的特点,若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,可知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列. 思维提升 2.已知等差数列的公差为d,它的前n项和Sn=n2,那么(　　) A.an=2n-1,d=-2　　　　 B.an=2n-1,d=2 C.an=-2n+1,d=-2 D.an=-2n+1,d=2 跟踪训练 B 因为Sn=n2,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又因为n=1时,a1=S1=12=1,符合上式,故an=2n-1,所以公差d=a2-a1=3-1=2. 3.已知数列的前n项和Sn=(a-2)n2+n+a,n∈N*.若是等差数列,则的通项公式为　　　　　　.  an=-4n+3 由Sn=(a-2)n2+n+a知, 当n=1时,a1=S1=2a-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2(a-2)n+(3-a), 此时,当n=2时,a2=4(a-2)+(3-a)=3a-5, 当n≥2时,an+1-an=2(a-2),而a2-a1=3a-5-(2a-1)=a-4,若数列是等差数列,则2(a-2)=a-4,所以a=0,则an=-4n+3. 知识点3　数列{|an|}的前n项和 　已知等差数列 的前 n 项和为Sn,且S7=35,a2a4=45. (1)求数列的通项公式; 例3 [解]　(1)设数列的公差为d,由 S7=35,a2a4=45, 得 ∴an=11+(n-1)×(-2)=13-2n. (2)记 bn=,求数列的前 n 项和Tn. [解]　(2)由 an=13-2n>0,得 n<, ∴当 n≤6 时,an>0, 此时 Tn=+…+=a1+a2+…+an==12n-n2, 当n>6 时,an<0, 此时 Tn=+…+=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an) =2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72, 所以Tn= 求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步,解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点; 第二步,求和:①若{an}各项均为正数(或均为负数),则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数);②若a1>0,d<0(或a1<0,d>0),这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数),可分段求和再相加. 思维提升 4.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=n2-15n. (1)求的通项公式; 跟踪训练 解:(1)由Sn=n2-15n, 当n≥2时,可得an=Sn-Sn-1=n2-15n-(n-1)2+15(n-1)=2n-16, 当n=1时,a1=S1=1-15=-14,适合上式, 所以数列的通项公式为an=2n-16. (2)若cn=,求的前n项和Tn. 解: (2)由an=2n-16,可得cn=,则Tn=+…+, 令an≤0,可得n≤8, 当n≤8时,可得Tn=+…+=-a1-a2-…-an=15n-n2, 当n>8时,可得Tn=+…+=-a1-a2-…-a8+a9+a10+…+an =-(a1+a2+…+a8)+(a9+a10+…+an)=-S8+Sn-S8=Sn-2S8, 因为S8=-56,所以Tn=n2-15n+112, 所以Tn= 〈课堂达标·素养提升〉 1.在等差数列中,已知a1=2,a3=4,则S5=(　　) A.15　　　　　　　　　　 B.20 C.25 D.30 B 设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d=2+2d=4,d=1, 所以S5=5a1+10d=10+10=20. 2.在等差数列中,Sn为其前n项和,2a6=a7+5,则S9=(　　) A.40 B.45 C.50 D.55 B 因为数列是等差数列,所以2a6=a5+a7=a7+5,所以a5=5, 所以S9==9a5=9×5=45. 3.在数列中,Sn是其前n项和,a1=3,an+1=an+3(n∈N*),则=(　　) A. B.n C. D.n+1 C 在数列中,a1=3,an+1=an+3,所以是首项为3、公差为3的等差数列, 则an=3n,Sn=3n+,. 4.数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则它的通项公式an=　　　 　　.  -2n+2(n∈N*) 当n=1时,a1=S1=-1+1=0; 当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-2n+2,经检验,n=1也适合该式.故an=-2n+2(n∈N*). 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列{an}为等差数列,若a1=7,a50=101,则S50=(　　) A.5 400　　　　　　　　 B.3 600 C.2 700 D.1 080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 因为a1=7,a50=101,根据公式Sn=,可得S50==2 700. 2.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,Sn=580,则n等于(　　) A.10 B.15 C.20 D.30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 因为Sn=na1+n(n-1)d=10n+n(n-1)×2=n2+9n,所以n2+9n=580, 解得n=20或n=-29(舍去). 3.已知等差数列的前5项和S5=120,且a1+a2+a3=4(a4+a5),则公差d=(　　) A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由a1+a2+a3=4(a4+a5)可得S5=a1+a2+a3+a4+a5=5(a4+a5)=120⇒a4+a5=24,a1+a2+a3=3a2=96⇒a2=32,故a2+a7=a4+a5⇒a7=-8=a2+5d⇒d=-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)在等差数列中,已知a4=8,a12=-8,Sn是其前n项和,则下列选项正确的是(　　) A.d=-2 B.a8=0 C.S15=54 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 在等差数列中,由a4=8,a12=-8,得公差d==-2,A正确; a8=a4+(8-4)d=0,B正确; S15==15a8=0,C错误; 由Sn=,得, 因此(a3-a4)=-d=1>0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 13 14 因为Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d= 2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以k=5. 6.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 14 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,∴λ=-1. 7.记Sn为等差数列的前n项和,已知a5=-9,S10=-80. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为数列为等差数列,所以S10==-80⇒a1+a10=-16⇒a5+a6=-16, 由所以公差d=a6-a5=2, 所以an=a5+(n-5)d=-9+(n-5)×2=2n-19. (2)求S20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由(1)得:a1=2-19=-17,a20=40-19=21,所以S20== 10×(-17+21)=40. 8.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,a3=6. (1)求Sn的表达式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设Sn=an2+bn+c(a≠0). ∵a1=-2,a2=2,a3=6, (2)判断{an}是否为等差数列,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2){an}是等差数列,理由如下: 法一:∵等差数列的前n项和Sn=na1+n, 当d≠0时,其是不含常数项的二次函数, ∴Sn=2n2-4n符合等差数列前n项和的形式,∴{an}是等差数列. 法二:当n=1时,∵a1=S1=2-4=-2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6; 当n=1时,a1=-2符合上式, ∴an=4n-6(n∈N*),∴符合等差数列通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)的形式,∴{an}是等差数列. [B组　关键能力练] 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若am+1+am+am-1=18,且Sm=28,则m的值为(　　) A.7 B.8 C.14 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 ∵在等差数列{an}中,am+1+am+am-1=18, ∴3am=18,∴am=6, ∵a1=1,Sm=28,∴28=,∴m=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知等差数列的前n项和Sn,公差为d(d≠0),,且,则S2 024=(　　) A.0 B.1 011 C.1 012 D.2 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 因为,,所以A,B,C三点共线, 且a4+a2 021=1, 故S2 024==1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.等差数列的前n项和为Sn,已知3S3=S2+2S4,且a4=1,则公差d=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 14 由3S3=S2+2S4可得,S3-S2=2(S4-S3),即a3=2a4,又a4=1, 所以a3=2,d=a4-a3=-1. 12.若数列是公差为2的等差数列,S5<3a4,写出满足题意的一个通项公式an=　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2n-4(答案不唯一) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设等差数列的首项为a1,且公差d=2,则S5<3a4⇔5a1+10d<3a1+9d, 即a1<-1,所以an=a1+(n-1)d=2n-2+a1,令k=-2+a1<-3,所以an=2n+k(k<-3),所以可取an=2n-4.(答案不唯一) 13 14 13.已知Sn为等差数列的前n项和,若a3=11,S8=64. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设的公差为d, 则: ∴an=17-2n. (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)Sn==-n2+16n,令an=17-2n>0⇒n≤8, 当n≤8时,an>0, Tn=+…+=a1+a2+…+an=Sn=-n2+16n, 当n≥9时,an<0, Tn=+…+=a1+a2+…+a8-(a9+…+an)=S8-(Sn-S8)=2S8-Sn =2(-82+16×8)-(-n2+16n)=n2-16n+128. 综上所述:Tn= [C组　素养培优练] 14.已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为d,则能使得anan+1为某一个等差数列的前n项和(n=1,2,…)的一组a1,d的值为a1=　　, d=　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1　 1(答案不唯一) 设等差数列的前n项和为Sn,则Sn=anan+1,∴S1=a1a2,S2=a2a3,S3=a3a4. 又∵是公差为d的等差数列, ∴b1=S1=a1a2,b2=S2-S1=a2a3-a1a2=2da2,b3=S3-S2=a3a4-a2a3=2da3, ∵2b2=b1+b3,即2×2da2=a1a2+2da3,∴4d(a1+d)=a1(a1+d)+2d(a1+2d), 整理得a1(a1-d)=0,由题知a1>0,∴a1=d. 故满足题意的一组a1,d的值为a1=1,d=1.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴∴Sn=2n2-4n. $$