4.2.1 第3课时 等差数列概念的综合问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第3课时　等差数列概念的综合问题 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　等差数列中对称设项法的应用 内容索引 知识点2　等差数列的实际应用 知识点3　等差数列性质的综合应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等差数列中对称设项法的应用 等差数列的设项方法和技巧 1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程(组)求出a1和d,即可确定此等差数列的通项公式. 2.当已知数列有3项时,可设为a-d,a,a+d,此时公差为___.若有5项、7项……时,可同理设出. 3.当已知数列有4项时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,此时公差为___.若有6项、8项……时,可同理设出. d 2d (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数; 例1 [解]　(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则 解得所以这三个数为4,3,2. (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解]　(2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, 所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, 所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 巧妙设出等差数列中的对称项,可减少未知数的个数和计算量. 思维提升 1.设数列是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.2 C.4 D.8 跟踪训练 B 由题意设前三项为a-d,a,a+d,所以得 解得a=4,d=±2,又因为是递增的等差数列,所以d=2, 所以首项a1=4-2=2.故B项正确. 知识点2　等差数列的实际应用 　(多选)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”.关于这个问题,下列说法正确的是(　　) A.戊得钱是甲得钱的一半 B.乙得钱比丁得钱多 钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱 [分析]　由等差数列的性质,可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,结合已知求a,d,即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱,进而判断选项的正误. 例2 AD 依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,且a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又∵a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5, ∴a=1,d=-,即a-2d=1-2×,a-d=1-,a+d=1+,a+2d=1+2×, ∴甲得 钱,乙得 钱,丙得1钱,丁得 钱,戊得 钱,则有如下结论: 戊得钱是甲得钱的一半,故A正确; 乙得钱比丁得钱多 钱,故B错误; 甲、丙得钱的和是乙得钱的=2倍,故C错误; 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱,故D正确. 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 1.解决数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题; (3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中. 2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题. 思维提升 2.(多选)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则(　　 ) A.冬至的日影子长最长,为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 跟踪训练 ACD 依题意,从冬至起,日影长依次记为a1,a2,…,a12,则数列{an}(n∈N*,n≤12)是等差数列, 因此,a1+a4+a7=37.5,而a1+a7=2a4,解得a4=12.5,又因为a12=4.5, 设数列的公差为d,于是得:解得a1=15.5,d=-1,A正确; a10-a9=-1,立夏比谷雨的日影子长少1尺,B不正确; 而a3,a5,a7成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列,C正确; a8=a1+(8-1)d=8.5,即清明的日影子长为8.5尺,D正确. 知识点3　等差数列性质的综合应用 若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R,且m≠n)的四个根组 成首项为的等差数列,则数列的公差d=　　,m+n的值为　　　　　.  例3 设x2-x+m=0,x2-x+n=0的根分别为x1,x2,x3,x4,则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0,1-4n>0). 设数列的首项为x1,则根据等差数列的性质,数列的第4项为x2.由题意知x1=, ∴x2=,数列的公差d=,∴数列的中间两项分别为,. ∴x1·x2=m=,x3·x4=n=. 解决数列综合问题的方法策略 1.结合等差数列的性质或利用等差中项. 2.利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. 3.利用函数或不等式的有关方法解决. 思维提升 3.已知五个矩形的长a1,a2,a3,a4,a5成等差数列,对应的宽分别为b1,b2,b3,b4,b5,且每个矩形的长与宽之比都相等.若a3=b1=3b5=192,则a2+a5=(　　) A.384　　　　　　　　　 B.336 C.288 D.224 跟踪训练 B 因为a3=b1=192,b5=64,所以b3==128,, 则a5=96,d==-48,a2=a3-d=192-(-48)=240, 故a2+a5=240+96=336. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知数列为等差数列,a1+a2+a3=7,a7+a8+a9=13,则a13+a14+a15=(　　) A.19　　　　　　　　　　 B.22 C.25 D.27 A 根据等差数列性质,由a1+a2+a3=7,a7+a8+a9=13可得3a2=7,3a8=13, 所以可得a2=,a8=,又因为a2+a14=2a8可得a14=,所以a13+a14+a15=3a14=19. 2.已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼,其中甲每隔1天去一次,乙每隔2天去一次,丙每隔3天去一次.若3月14日三人都去锻炼,则下一次三人都去锻炼的日期是(　　) A.3月28日 B.3月27日 C.3月26日 D.3月25日 C 由题意,三人各自去锻炼的日期分别是等差数列,公差分别为2,3,4,最小公倍数为12,所以下一次三人都去锻炼的日期是3月26日. 3.在等差数列中,a2=3,a6=11,直线l过点M(m,am),N(n,an)(m≠n,m,n∈N*),则直线l的斜率为(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 A 因为是等差数列,a2=3,a6=11,令数列的公差为d, 所以a6-a2=4d=8,d=2,则an=a2+(n-2)d=2n-1,所以M(m,2m-1),N(n,2n-1),则直线l的斜率为=2. 4.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费　　　　　元.  23.2 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14 km处时,n=11, 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列为等差数列,a1+a2+a3=6,a4+a6=-20,则a8=(　　) A.-12　　　　　　　　　 B.-13 C.-22 D.-23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 由题意得a1+a2+a3=3a2=6,解得a2=2,a4+a6=2a5=-20,解得a5=-10, 故等差数列的公差为d==-4,故a8=a2+6d=2-6×4=-22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.国际足联世界杯,简称“世界杯”,每四年举办一次,第23届世界杯足球赛将于2026年6月在美国、加拿大、墨西哥三国联合举办.根据世界杯足球赛的规则,第一阶段是小组循环赛,每小组有四支球队,其中任意两支球队比赛1场,每场比赛,若分出胜负,则胜队得3分,负队得0分,若双方打平,则各得1分.小组赛结束后每支球队的积分为该队参加的所有比赛的累计得分,已知某小组在小组循环赛中,4场分出胜负,2场打平,且四支球队的积分成公差不为0的等差数列,则积分最高的球队的积分为(　　) A.9 B.7 C.6 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 由题意可知,总得分为16分,得分为等差数列,设四个积分为a,a+d,a+2d,a+3d,可得4a+6d=16,即2a+3d=8,并且a,d∈N*,可得d=2,a=1, 所以积分最高的球队的积分为1+3×2=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在等差数列{an}中,a1≠0,若存在正整数m,n,p,q满足m+n<p+q时,有am+an=ap+aq成立,则等于(　　) A.4 B.1 C. D.由等差数列的首项a1的值决定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 设{an}的公差为d,由am+an=ap+aq得(m+n-p-q)d=0.因为存在正整数m,n,p,q满足m+n<p+q,所以d=0,又因为a1≠0,所以a2 024=a2 023≠0,所以=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -21 设这三个数为a-d,a,a+d,则 解得∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1,∴它们的积为-21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若一个等差数列至少存在两项为质数,则称该数列为K数列.已知等差数列的公差为4,且为K数列,写出满足题意的a1的一个值: 　　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7(答案不唯一) 同为等差数列及K数列,公差为4,由K数列的定义可得,数列有至少两质数项,差值为4的整数倍,如可取质数7,11作为其中两项,此时该数列取a1=7即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.四个数成递减等差数列,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40.求这四个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,得 解得 又因为四个数成递减等差数列,所以d<0, 所以d=-,故所求的四个数为11,8,5,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设从第一年起,第n年的利润为an万元, 则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*), ∴每年的利润构成一个等差数列{an},其公差为d, 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an=220-20n<0,得n>11, 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为(　　) A. 升 C. 升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 设此等差数列为,公差为d, 由题意可得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 则4a1+6d=3,3a1+21d=4,联立解得a1=,d=. 所以a5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知数列为等差数列,且a1=1,a4=-,则a2 024=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 因为数列为等差数列,且a1=1,a4=-,设数列的公差为d,首项为=1,所以3d=-1=3,则d=1, 所以=1+(n-1)×1=n,所以an=-1,所以a2 024=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.若m≠n,两个等差数列m,a1,a2,n与m,b1,b2,b3,n的公差分别为d1和d2, 则的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n-m=3d1,d1=(n-m).又n-m=4d2,d2=(n-m),∴. 11.已知数列{an}满足an+1=(n∈N*),且a1=0. (1)求a2,a3; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为a1=0,an+1=(n∈N*), 所以a2=,a3=. (2)是否存在一个实数λ,使得数列为等差数列,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)假设存在一个实数λ,使得数列为等差数列,所以, 即,解得λ=1. 因为,且=-1, 所以存在一个实数λ=1,使得数列是首项为-1,公差为-的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.单分数(分子为1,分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色,埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和.例如,,…,现已知可以表示成4个单分数的和,记,其中x,y,z是以101为首项的等差数列,则y+z的值为(　　) A.505 B.404 C.303 D.202 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意,拆分后的分数,分子都是1,分母依次变大, 又因为, 故可分解如下:, 又因为x,y,z是以101为首项的等差数列,故x=101,y=202,z=303. 故y+z=202+303=505. $$