4.2.1 第2课时 等差数列的判定与性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的判定与性质 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　等差数列的判定与证明 内容索引 知识点2　等差数列的性质 知识点3　由等差数列构造新数列 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等差数列的判定与证明 证明或判定等差数列的方法 1.定义法:an+1-an=d(n∈N*). 2.等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2). 3.通项公式法:an=a1+(n-1)d=pn+q(p,q为常数). 　已知数列{an}满足a1=2,an+1=. (1)数列是否为等差数列?若是,请说明理由. [分析]　要判断数列是否为等差数列,关键看是否为常数. 例1 [解]　(1)数列是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=, 所以, 所以,即,公差为d=的等差数列. (2)求an. [分析]　要判断数列是否为等差数列,关键看是否为常数. [解]　(2)由(1)可知+(n-1)d=,所以an=. [变条件]　将本例中的条件“a1=2,an+1=”换为“a1=4,an=4-(n>1),记bn=”. (1)试证明数列{bn}为等差数列; (1)证明:bn+1-bn=. 又∵b1=,∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. (2)解:由(1)知bn=+(n-1)×. ∵bn=,∴an=+2, ∴数列{an}的通项公式为an=+2,n∈N*. 1.通项公式法不能作为证明方法. 2.若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an= an-an-1(n≥2,n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差. 3.若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 思维提升 1.已知数列的前n项和为Sn=n2+2n. (1)求数列的通项公式; 跟踪训练 (1)解:由n∈N*,Sn=n2+2n,得当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1), 于是an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1, 而当n=1时,a1=S1=12+2×1=3亦满足上式, 所以数列的通项公式为an=2n+1,n∈N*. (2)求证:数列是等差数列. (2)证明:由(1)知,an=2n+1,当n≥2时,an-1=2(n-1)+1=2n-1, 因此an-an-1=2n+1-(2n-1)=2. 所以数列是一个以2为公差的等差数列. 知识点2　等差数列的性质 1.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N*); (2)an=am+　　　　　　(m,n∈N*);  (3)d=(m,n∈N*,且m≠n). (n-m)d 2.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=　 .  特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=　　　　　.  3.在等差数列中每隔相同的项选出一项,按原来的顺序排成一列,仍然是一个等差数列. 4.等差数列{an}的公差为d,则d>0⇔{an}为　　　　数列;d<0⇔{an}为 　　　　数列;d=0⇔{an}为常数列.  ap+aq　 2ap 递增　 递减 已知是等差数列,a6=8,a8=6,则a14=(　　) A.-14　　　　　　　　　 B.-6 C.0 D.14 例2 C 设等差数列的公差为d,则2d=a8-a6=-2,解得d=-1,所以a14=a8+6d=6-6=0. 　(多选)在等差数列中,公差d>0,a1+a2+…+a10=0,则下列一定成立的是(　 　) A.a1<0 B.a5+a6=0 C.a2+a11>0 D.a2+a11<0 [分析]　由等差数列的公差大于0得数列为递增数列,从而得a1<0,再由等差数列的性质得a1+a10=a5+a6=0,然后计算a2+a11后可得结论. 例3 ABC d>0,则是递增数列,因此由a1+a2+…+a10=0得a1<0,a10>0,A正确. a1+a2+…+a10=5(a1+a10)=5(a5+a6)=0,即a1+a10=a5+a6=0,B正确. 因为a1+a10=0,所以a2+a11=a1+a10+2d>0,C正确,D错误. 1.灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担. 2.等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. (2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*), 则am+an=ap+aq=2ar. 思维提升 2.已知为递增等差数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则的公差d=(　　) A.7 B.5 C.6 D.8 跟踪训练 C 因为a4+a7=2,所以a5+a6=a4+a7=2.又因为a5a6=-8,所以为递增等差数列,所以则d=a6-a5=6. 3.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是(　　) A.-2 B.- C.2 D. C 由3+an=an+1,得an+1-an=3,所以{an}是公差d为3的等差数列. 又因为a2+a4+a6=9,且a2+a6=2a4,所以3a4=9,则a4=3,所以a7=a4+3d=3+3×3=12, 故log6(a5+a7+a9)=log6(3a7)=log636=2. 知识点3　由等差数列构造新数列 　若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列,则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为　　　的等差数列(k为常数,k∈N*)  {pan+qbn} 公差为　　　　　的等差数列(p,q为常数)  2d　 pd+qd' 　在无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2. [分析]　首先确定数列{bn}中的项对应数列{an}中的哪些项,从而得到数列{bn}的通项公式. 例4 [解]　(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-27. (2)求数列{bn}的通项公式. [分析]　首先确定数列{bn}中的项对应数列{an}中的哪些项,从而得到数列{bn}的通项公式. [解]　(2)设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n. (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项? [分析]　首先确定数列{bn}中的项对应数列{an}中的哪些项,从而得到数列{bn}的通项公式. [解]　(3)3+4×(503-1)=2 011,∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项. [变条件]　有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为(　　) A.15　　　　　　　　　　 B.16 C.17 D.18 B 易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2, 所以通项公式为an=12n-10, 所以12n-10≤190,解得n≤,而n∈N*,所以n的最大值为16,即这个新数列的项数为16. 对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断: 1.定义:an-an-1(n≥2)是否为常数. 2.其通项公式是否为关于n的一次函数. 思维提升 4.设数列,是项数相同的等差数列,若a1=25,b1=75,a2+b2=100,则数列的第37项为(　　) A.1 B.0 C.100 D.3 700 跟踪训练 C 根据题意,a1+b1=25+75=100=a2+b2,又因为数列,是项数相同的等差数列,所以数列是常数列,所以数列的第37项为100. 5.已知数列,是公差相等的等差数列,且an+bn=2n+5,若bn为正整数,设cn=(n∈N*),则数列的通项公式为cn=　　　　　.  5+n 设数列,的公差为d,由 an+bn=a1+b1+2(n-1)d=a1+b1-2d+2nd=2n+5,可得   =a1+(b1+n-1)-1=7-2+n=5+n,所以cn=5+n. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列满足a3=2,an+1-an=3(n∈N*),则a8=(　　) A.25　　　　　　　　　 B.22 C.17 D.14 C 因为数列满足a3=2,an+1-an=3(n∈N*),所以,数列是公差为3的等差数列,故a8=a3+5×3=2+15=17. 2.在数列中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=(　　) A.230 B.210 C.190 D.170 D 由题知,数列是公差为-2的等差数列,a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×34=170. 3.(多选)若数列是等差数列,公差d>0,则下列对数列的判断正确的是(　 　) A.若bn=-an,则数列是递减的等差数列 B.若bn=3an,则数列成等差数列 C.若bn=an+an+1,则数列是公差为d的等差数列 D.若bn=an+n,则数列是公差为d+1的等差数列 ABD 由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)且d>0, A:由于bn=-an=-dn+(d-a1),即数列是递减的等差数列,正确; B:由于bn=3an,所以数列成等差数列,正确; C:由于bn=an+an+1=2dn+(2a1-d),则数列是公差为2d的等差数列,错误; D:由于bn=an+n=(d+1)n+(a1-d),则数列是公差为d+1的等差数列,正确. 4.已知数列,是等差数列,其中a1=3,b1=-3且a9=9,b9=15,那么a5-b5=　　　　　.  0 由数列,是等差数列可得:2a5=a1+a9,2b5=b1+b9. 因为a1=3,b1=-3,a9=9,b9=15,所以a5=6,b5=6,所以a5-b5=0. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则a101的值为(　　) A.52　　　　　　　　　　 B.50 C.51 D.49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 由已知得,an+1-an=,n∈N*,所以{an}是首项为2,公差为的等差数列, 所以a101=2+100×=52. 2.已知为等差数列,且a3,a7为方程x2-2x-1=0的两根,则a5=(　　) A.- C.-1 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为数列是等差数列,且a3,a7是方程x2-2x-1=0的两根, 所以a3+a7=2a5=2,则a5=1. 3.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(　　) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d, 所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)已知等差数列满足a1+a2+a3+…+a101=0,则(　　) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, 因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0, 所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=…=2a51=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n2(n∈N*) 13 由题设可得+1=0, 即=1, 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列, 故通项公式为=n,所以an=n2(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有一个相关的问题:将1到2 024这2 024个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 13 由题知,满足上述条件的数列为14,29,44,…,该数列为首项是14,公差为15的等差数列,则an=14+15(n-1)=15n-1≤2 024,n∈N*,解得n≤135,故该数列的项数为135. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在等差数列-5,-,-2,-,…的每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)原数列的公差d=--(-5)=,所以新数列的公差d'=,故新数列的通项公式为an=-5+(n-1)=. (2)28是新数列中的项吗?若是,求出是第几项;若不是,说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)令=28,得n=45,所以28是新数列中的项,是第45项. 8.设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:由题意知数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n①, 则n=1时,a1=2, 当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)②, 则①-②得:(2n-1)an=2,故an=,a1=2也符合该式,故an=,n∈N*. (2)证明:数列(k为常数)为等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:由(1)得=k(2n-1),设bn=,则bn+1-bn=k(2n+1)-k(2n-1)=2k为常数, 故数列(k为常数)为等差数列. [B组　关键能力练] 9.(多选)已知各项均为正数的等差数列单调递增,且a5=2,则(　 　) A.公差d的取值范围是 B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 D.a1+a9=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 由题意得d>0,a1>0,a5=2, 所以a1=2-4d>0,解得d<,所以d∈,故A错误; 由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确; 由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,故C正确; 由等差数列性质得a1+a9=2a5=4,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)设等差数列满足a2=5,a6+a8=30,则下列说法正确的是(　 　) A.an=2n+1 B.d=2 C.{a2n-1}不是等差数列 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 等差数列满足a2=5,a6+a8=30,设公差为d, 由a6+a8=2a7=2(a1+6d)=30,则解得a1=3,d=2. 则an=3+2(n-1)=2n+1,故A,B正确; 又a2n-1=2(2n-1)+1=4n-1,则a2(n+1)-1-a2n-1=4(n+1)-1-(4n-1)=4, 且a2×1-1=a1=3,故数列是以3为首项,4为公差的等差数列,故C错误; 由an=2n+1,得,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道类似这样的题目,请给出答案:把75个面包分给5个人,使每个人所得面包数量成等差数列,且较小的三份之和恰好等于最大的一份,则最大的一份为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 27 13 不妨设5人所得面包数从小到大排列为a1<a2<a3<a4<a5,公差为d>0, 则由题意有a1+a2+a3+a4+a5=5a3=75,a1+a2+a3=a5, 所以解得a3=15,又因为15+2d=a3+2d=a5=a1+a2+a3=3a3-3d=45-3d, 所以d=6,所以最大的一份为a5=a3+2d=15+12=27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,求c2的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 又{cn}为21项的“对称”数列. 所以c2=c20=19. 13 [C组　素养培优练] 13.在①a7+a8=43,②a1+a2+…+a7=77,③a1+a2=a3-1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题. 已知等差数列中,a1=2,　　　　　.  (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设的公差为d.因为a1=2,所以an=2+(n-1)d. 若选①,因为a7+a8=43,所以2+6d+2+7d=4+13d=43, 解得d=3,故an=3n-1. 若选②,因为a1+a2+…+a7=77, 所以7a4=77,即a4=11,2+3d=11,解得d=3,故an=3n-1. 若选③,因为a1+a2=a3-1,所以a1+a2=2+2+d=2+2d-1, 解得d=3,故an=3n-1. 13 (2)在中每相邻两项之间插入4个数,使它们与原数列的数构成新的等差数列,则b101是不是数列的项?若是,它是的第几项?若不是,ak<b101<ak+1,求k的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)由已知数列的第n+4(n-1)=5n-4项, 令5n-4=101,解得n=21,故b101是数列的第21项. 13 an=a1+n-1,bn=b1+n-1, $$