4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　等差数列的概念 内容索引 知识点2　等差中项 知识点3　等差数列的通项公式及其应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等差数列的概念 文字语言 一般地,如果一个数列从第　　　　项起,每一项与它的前一项的　　　　都等于　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　,公差通常用字母　　　　表示.  符号语言 an+1-an=d(d为常数,n∈N*) 2　 差　 同一个常数　 公差　 d 微思考:等差数列的公差可以等于0吗? 提示:可以.当d=0时,等差数列为常数列. 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. (1)1,3,5,7,9,…; [分析]　根据等差数列的定义判断. [解](1)是,a1=1,d=2; 例1 (2)9,6,3,0,-3,…; [分析]　根据等差数列的定义判断. [解] (2)是,a1=9,d=-3; (3)1,3,4,5,6,…; [分析]　根据等差数列的定义判断. [解] (3)不是; (4)7,7,7,7,7,…; [分析]　根据等差数列的定义判断. [解] (4)是,a1=7,d=0; (5)1,,,,,…. [分析]　根据等差数列的定义判断. [解] (5)不是.   利用定义法判断等差数列:从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列. 思维提升 1.(多选)下列数列是等差数列的是(　 　) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.,,1,, D.-3,-2,-1,1,2 跟踪训练 ABC 由等差数列的定义得, A项d=0,故是等差数列; B项d=3,故是等差数列; C项d=,故是等差数列; D项每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等差数列. 知识点2　等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的　　　　　,且2A=a+b.  等差中项 微思考:根据等差中项的概念,任意两个实数都有等差中项吗? 提示:任意两个实数都有等差中项,而且有唯一的等差中项,其本质是两个实数的算术平均数. 　已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　　) A.8　　　　　　　　　　 B.6 C.4.5 D.3 [分析]　利用等差中项的定义求解即可. 例2 D ∵m+2n=8,2m+n=10,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴2m-n和2n-m的等差中项是=3. 若a,A,b成等差数列,则A=;反之,由A=也可得到a,A,b成等差数列,所以A是a,b的等差中项⇔A=. 思维提升 2.已知a=,b=,则a,b的等差中项为(　　) A. C. 跟踪训练 B a,b的等差中项为. 3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项, 则b==3,又a是-1与3的等差中项,所以a==1. 又c是3与7的等差中项,所以c==5.所以该数列为-1,1,3,5,7. 知识点3　等差数列的通项公式及其应用 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式an=　　　　　　.  a1+(n-1)d 已知等差数列-5,-9,-13,…. (1)求该等差数列的第20项. [分析]　(1)根据给定条件,求出该等差数列的通项公式即可求解作答. 例3 [解]　(1)设该等差数列为,由a1=-5,a2=-9,得该等差数列的公差d=a2-a1=-4, 因此这个等差数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1, 所以该等差数列的第20项a20=-4×20-1=-81. (2)试问-401是不是该等差数列的项?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由. [分析] (2)利用(1)中通项公式,确定方程的解作答. [解] (2)假设-401是这个等差数列中的第n项,由(1)得-401=-4n-1,解得n=100, 所以-401是这个等差数列的第100项. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可. 2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 思维提升 4.等差数列的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列的通项公式是(　　) A.an=2n-2(n∈N*) B.an=2n+4(n∈N*) C.an=-2n+12(n∈N*) D.an=-2n+10(n∈N*) 跟踪训练 D 由a2·a4=12,a2+a4=8,且d<0,解得a2=6,a4=2,所以a1+d=6,a1+3d=2,所以d=-2,a1=8, 则an=a1+(n-1)d=8-2(n-1)=-2n+10(n∈N*). 5.首项为-12的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是(　　) A.d> B.d<3 C. D 设等差数列首项为a1=-12,公差为d,因为从第10项起开始为正数, 所以 即 解得. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)下列数列中,是等差数列的是(　 　) A.1,4,7,10　　　　　　　 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 ABD A,B,D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列. 2.已知等差数列的通项公式为an=3-4n,则(　　) A.a1=3 B.a1=1 C.d=4 D.d=-4 D 由an=3-4n,则a1=3-4×1=-1,公差d=-4. 3.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,a+1,2a+1,则该数列的通项公式为(　　) A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 C 设该等差数列的公差为d,因为等差数列{an}的前三项分别为a-1,a+1,2a+1, 所以2(a+1)=a-1+2a+1,解得a=2,所以a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1. 4.数列且对任意n∈N*,=1恒成立, 则a10=　　　.  因为=1,且a1=,则数列是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以=2+(n-1)×1=n+1,则an=, 所以a10=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)下列命题中正确的是(　　 ) A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列 C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数) D.数列{2n+1}(n∈N*)是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 14 A中的公差为-2,A错误;利用等差数列的定义容易判断B,C,D均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在数列{an}中,a1=5,an+1=an+3,则这个数列的通项公式是an=(　　) A.3n-1　　　　　　　　　 B.3n+2 C.3n-2 D.3n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为an+1-an=3,所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列, 则an=5+3(n-1)=3n+2,n∈N*. 3.在等差数列中,若a3=7,a5+a8=42,则公差d=(　　) A.2 B.4 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为a3=a1+2d=7,a5+a8=2a1+11d=42,所以a1=-1,d=4. 4.在等差数列{an}中,若a1=84,a2=80,则使an≥0,且an+1<0的n为(　　) A.21 B.22 C.23 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 公差d=a2-a1=-4,∴an=a1+(n-1)d=84+(n-1)×(-4)=88-4n, 令⇒21<n≤22.又∵n∈N*,∴n=22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 13 14 设该等差数列为{an},其首项为a1,公差为d,由题意知,a1=-3,a4=6, 即解得d=3. 6.已知等差数列的首项为a1=-3,且a3+a8=21,则a10=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 13 14 因为是等差数列,a1=-3,a3+a8=21, 设公差为d,可得a1+2d+a1+7d=2a1+9d=21,解得d=3, 所以a10=a1+9d=-3+9×3=24. 7.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求首项及公差; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. (2)求{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n∈N*). 8.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7. (1)求数列的第10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:设数列{an}的公差为d,则 (1)a10=a1+9d=-2+27=25. (2)问112是数列{an}的第几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. (3)在80到110之间有多少项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)由80<3n-5<110,解得28,因为n∈N*, 所以n的取值为29,30,…,38,共10项. [B组　关键能力练] 9.在数列中,已知a1=1,an+1=,则m=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由an+1=,a1=1,取倒数得:+2,则=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×2=2n-1,所以an=; 由于am=,故m=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 窗口 1 2 过道 3 4 窗口 5 6 7 8 9 10 11 12 … … … … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 10.两旅客坐高铁外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知高铁一等座的部分座位号码如图所示,则下列座位号码符合要求的是(　　) A.74,75 B.52,53 C.47,48 D.38,39 依题意,靠近左侧窗口的座位号形成以1为首项,公差为4的等差数列,则an=1+4(n-1)=4n-3,数列各项均为奇数,令ak=4k-3=47,解得k=,不符合题意;靠近右侧窗口的座位号形成以4为首项,公差为4的等差数列,则bn=4+4(n-1)=4n,数列各项均为4的倍数,令bn=4n=48,解得n=12,符合题意.故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知等差数列-5,-9,-13,…,则该数列第5项的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -21 13 14 由等差数列-5,-9,-13,…,可得首项为-5,公差为d=-4, 所以该数列的第5项为a5=-5+(5-1)×(-4)=-21. 12.已知△ABC的三边a,b,c成等差数列,,,也成等差数列,则△ABC的形状为　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 等边三角形 13 14 由a,b,c成等差数列得a+c=2b,① 由,,, ② 由②2-①得2=2b,即b2=ac,由①平方得a2+2ac+c2=4b2, 将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac,即(a-c)2=0,得a=c.又a+c=2b, ∴2a=2b,∴a=b,∴a=b=c,∴△ABC 是等边三角形. 13.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意得, ∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},试求出数列{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n. 当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列. ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 13 14 [C组　素养培优练] 14.已知数列是公差不为0的等差数列,a1=6-a3,=a2·a14. (1)求数列的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设等差数列的公差为d(d≠0),∵a1=6-a3,即a1+a3=6,∴2a1+2d=6,∴a1+d=3. ∵=a2·a14,∴=(a1+d)·(a1+13d),即d2=2a1d,将a1+d=3代入解得d=0(舍)或d=2,a1=1, 所以数列的通项公式为an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设数列满足:bn=(an+1)(an+3),请问是否存在正整数m,使得bm+8=bm+2-bm+1成立?若存在,请求出正整数m的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由(1)知,an=2n-1(n∈N*), 所以bn=(an+1)(an+3)=2n(2n+2)=4n(n+1), 假设存在正整数m,使得bm+8=bm+2-bm+1成立, 即4m(m+1)+8=4(m+2)(m+3)-4(m+1)(m+2), 化简整理,得m2-m-2=0,即(m-2)(m+1)=0,解得m=2或m=-1(舍). 所以存在正整数m=2,使得bm+8=bm+2-bm+1成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$