4.1 第2课时 数列的递推公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　数列的递推公式 内容索引 知识点2　由数列的递推公式求通项公式 微点突破2　用数列研究一组图形的规律 知识点3　数列{an}的前n项和Sn 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　数列的递推公式 如果一个数列的　　　　　两项或　　　　　的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.  相邻　 多项之间 根据下列条件,写出各数列的前4项,并归纳猜想数列的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N,n≥1); [分析]　在递推公式中分别令n=1,2,3,计算求值,然后归纳出通项公式即可解决问题. 例1 [解]　(1)因为a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N,n≥1), 则a2=a1+1=1,a3=a2+3=1+3=4,a4=a3+5=4+5=9, 归纳猜想an=(n-1)2. (2)a1=1,an+1=an+(n∈N,n≥1). [分析]　在递推公式中分别令n=1,2,3,计算求值,然后归纳出通项公式即可解决问题. [解]　(2)因为a1=1,an+1=an+(n∈N,n≥1),则a2=a1+,a3=a2+=2,a4=a3+, 归纳猜想an=. 由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可. 2.若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. 3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 思维提升 1.若数列满足a1=3,an+1=2an-n+1,则a2+a3+a4=(　　) A.6　　　　　　　　　　　　 B.14 C.22 D.37 跟踪训练 D ∵a1=3,an+1=2an-n+1,∴a2=2a1-1+1=6,a3=2a2-2+1=11,a4=2a3-3+1=20, ∴a2+a3+a4=6+11+20=37. 2.已知数列{an}满足an+1=, 则a2 025=　　　　　.  计算得a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=.故数列{an}是以3为周期的周期数列,又因为2 025=674×3+3,所以a2 025=a3=. 知识点2　由数列的递推公式求通项公式 　在数列{an}中,a1=1,an+1=an+,则an等于(　　) A. C. [分析]　根据递推公式的特点,转化为常数列或利用累加法或累乘法求通项. 例2 B 法一:(归纳法)　数列的前5项分别为 a1=1,a2=1+1-,a3=,a4=, a5=,又a1=1,由此可得数列的一个通项公式为an=(n∈N*). 法二:(迭代法)　a2=a1+1-,a3=a2+,…,an=an-1+(n≥2), 则an=a1+1-+…+(n≥2). 又a1=1也适合上式,所以an=(n∈N*). 法三:(累加法)　an+1-an=,a1=1,a2-a1=1-,a3-a2=,a4-a3=,…an-an-1=(n≥2),以上各项相加得an=1+1-+…+,所以an=(n≥2).因为a1=1也适合上式, 所以an=(n∈N*). 　已知数列中,a1=1,且满足nan+1-(n+1)an=0,则数列的通项公式为 　　　　　　.  例3 an=n(n∈N*) 法一:因为nan+1-(n+1)an=0,则,且=1,所以数列是各项均为1的常数列,则=1,可得an=n,所以数列的通项公式an=n(n∈N*). 法二:因为nan+1-(n+1)an=0,则, 所以当n≥2时,an=··…···a1=×…××1=n. 当n=1时,a1=1满足上式,所以an=n(n∈N*). 由递推公式求通项公式的常用方法 1.归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) 2.迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: (1)an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法. (2)an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法. (3)an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第(2)类解决. 思维提升 3.在数列中, a1=2,an+1=an+ln(n∈N*),则an=　 　　　.  跟踪训练 2+ln n(n∈N*) 由a1=2,an+1=an+ln(n∈N*),得an+1-an=ln(n+1)-ln n(n∈N*). 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]=2+ln n(n∈N*). 当n=1时,2+ln 1=2=a1也符合上式.故an=2+ln n(n∈N*). 4.已知数列中,a1=1,2n·an+1=(n+1)·an,则数列{an}的通项公式为 an=　　 　　.  (n∈N*) 因为a1=1,2n·an+1=(n+1)·an,所以(n∈N*). 当n≥2时,,于是an=×…××a1 =×…×(n∈N*), 当n=1时,(n∈N*). 知识点3　数列{an}的前n项和Sn 1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即　　　　　　　　　　　　　.  2.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为　　　　　　　　　　.  Sn=a1+a2+…+an 　设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an. [分析]　利用an=求解. 例4 [解]　因为Sn=2n2-30n, 所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时,a1符合上式, 所以an=4n-32,n∈N*. [变条件]　设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n+1,求数列{an}的通项公式. 解:因为Sn=2n2-30n+1, 所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时,a1不符合上式,所以an= 由Sn求数列{an}的通项公式的步骤 1.当n=1时,a1=S1. 2.当n≥2时, an=Sn-Sn-1. 3.验证a1与an的关系:若a1适合an(n≥2)时,an=Sn-Sn-1;若a1不适合an(n≥2)时, an= 思维提升 5.设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n,则a4=(　　) A.7 B. C. 跟踪训练 C 令n=4,可得a1+3a2+5a3+7a4=4,令n=3,可得a1+3a2+5a3=3, 两式相减可得7a4=1,所以a4=. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知Sn是数列的前n项和,Sn=n2+2n,则a2=(　　) A.1　　　　　　　　　　　 B.3 C.5 D.8 C 由题意知Sn=n2+2n,所以a2=S2-S1=4+4-1-2=5,故C正确. 2.已知数列的首项为a1=2,递推公式为an=2-(n≥2),则a3=(　　) A. C. D 由题意a2=2-,a3=2-. 3.已知数列满足a1=1,且an+1=,则a5=(　　) A. C. B 由数列满足a1=1,且an+1=,可得a2=,a3=,a4=,a5=. 4.在数列中,a1=-,an·an-1=an-1-1(n≥2),则a2 026=　　　.  - 由an·an-1=an-1-1(n≥2),得an=1-(n≥2),又a1=-,得a2=1-=5, a3=1-,a4=1-=a1,所以数列是以3为周期的数列, 得a2 026=a675×3+1=a1=-. 微点突破2　用数列研究一组图形的规律 一组图形中往往蕴含着数列的规律,要找出这些规律,主要方法有: 1.根据前几个图形的特点,归纳出第n个图形的规律; 2.根据相邻两个图形之间的关系,找出递推关系式,进而找出图形中的规律. 　两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画出点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20,…,这样的一组数被称为梯形数,记此数列为,则(　　)   A.an+1+an=n+2　　　　　 B.an+1-an=n+2 C.an+1+an=n+3 D.an+1-an=n+3 D 例1 观察梯形数的前几项,得: a2-a1=4, a3-a2=5, a4-a3=6, … 由此可得an+1-an=n+3. 　根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,可以得出第8个图有　　　个点.  57 例2 根据题意,图(1)中只有1个点,无分支; 图(2)除中间一个点外,有两个分支,每个分支有1个点; 图(3)除中间一个点外,有三个分支,每个分支有2个点; 图(4)除中间一个点外,有四个分支,每个分支有3个点, …… 则第n个图形中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有n-1个点,第n个图形中有1+n(n-1)个点, 故第8个图形中有1+8×7=57个点. 1.在算术三角形中,每个元素(不在第一列)是其正下方的数与左下方的数的差,如图所示,则第五行第4个数为　　　.  35 跟踪训练 算术三角形 1 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 …   1 3 6 10 15 …     1 4 10 20 …       1 5 15 …         1 6 …           因为每个元素(不在第一列)是其正下方的数与左下方的数的差,所以第五行第4个数为第五行第3个数与第四行第4个数之和,即为20+15=35. 120 2.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第8项对应的六边形数为　　　　.  由题意,从第二个图形开始,把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形,新六边形每条边上的点数比原来多一个, 因此我们有:a1=1, a2=6,a3=a2+4×2+1=15, a4=a3+4×3+1=28,a5=a4+4×4+1=45, a6=a5+4×5+1=66,a7=a6+4×6+1=91,a8=a7+4×7+1=120. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为(　　) A.5　　　　　　　　　　 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=2+3=5,a4=a3+3=5+3=8. 2.已知数列的前n项和Sn=n3,则(a1+a5)×5的值为(　　) A.125 B.135 C.145 D.155 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由题意可得:a1=S1=13=1,a5=S5-S4=53-43=61,所以(a1+a5)×5=(1+61)×5=155. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过“高阶等差数列”的求和问题,如数列的前3项和是(　　) A.6 B.10 C.7 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 =10. 4.(多选)已知数列,则下列是数列的项的是(　 　) A.-1 B. C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 因为数列,且a1=,则a2==2, a3==-1,a4=,…,以此类推可知,对任意的n∈N*,an+3=an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-3n-1,则an=　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n=1时,a1=S1=1-3-1=-3, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-3n-1-[(n-1)2-3(n-1)-1]=2n-4, 当n=1时,a1不符合上式,所以an= 6.设n∈N*,数列若a4=12,则a1=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 14 a4=2a3=2(a2+2)=2(2a1+2)=4a1+4=12,所以a1=2. 7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, ∴b1=,b2=,b3=,b4=. 故b1=,b2=,b3=,b4=. 8.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,n∈N*,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第2 024项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6. 证明如下:因为an+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an, 所以an+6=-an+3=-(-an)=an, 所以数列{an}是周期数列,且T=6, 所以a2 024=a337×6+2=a2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.设an=+…+(n∈N*),那么an+1-an等于(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 ∵an=+…+, ∴an+1=+…+, ∴an+1-an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知数列满足a1=1,an=a1+a3+…+an-1(n>1且n∈N*),则(　　) A.a2=1 B. C.an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 14 易知n=2时,a2=a1=1,所以A正确; 根据an=a1+a3+…+an-1(n>1)可得, an-1=a1+a3+…+an-2(n>2), 两式相减可得an-an-1=an-1(n>2),可得an=an-1(n>2),即(n>2),所以B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 累乘可得·…×…×,即an=(n>2), 又a2=1,所以可得an=(n≥2),即C错误; 所以数列即D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知数列满足(1+a1)(2+a2)…(n+an)=,则的通项公式an=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2n-n 13 14 因为(1+a1)(2+a2)…(n+an)=,若n=1,可得1+a1=2; 若n≥2,则(1+a1)(2+a2)…(n-1+an-1)=,可得n+an==2n; 且1+a1=2符合上式,可得n+an=2n,所以an=2n-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时,喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1,3,6,10,15,…,这些数量的石子,都可以排成三角形(如图),并称这样的数为“三角形数”,记图中小圆的个数依次构成数列,a1=1,则数列的一个递推关系为 　　 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 an+1=an+n+1(n≥1),a1=1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意,可知,a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15, 而且,由题图可知,在第n个“三角形数”图案的下面添加n+1个小圆,即得到第n+1个“三角形数”图案, 因此an+1=an+n+1(n≥1),a1=1为数列的一个递推关系. 13 14 13.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)当n=1时,a1=1,由a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),① 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2,② 所以①-②得nan=n2-(n-1)2=2n-1,即an=2-(n≥2,n∈N*), a1=1符合上式,所以an=2-(n∈N*). (2)设bn=(-1)n(an+an+1),求数列{bn}的前2 024项和S2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)S2 024=b1+b2+…+b2 024 =--… -. [C组　素养培优练] 14. “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,据此可以推测,该数列的第15项与第60项的和为(　　) A.1 012 B.1 016 C.1 912 D.1 916 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 观察此数列,偶数项为2,8,18,32,50,…,可得此时满足a2n=2n2, 奇数项为0,4,12,24,40,…,可得a2n-1=a2n-2n, 所以a16=2×82=128,a60=2×302=1 800,则a15=a2×8-1=a16-2×8=112, 所以a15+a60=112+1 800=1 912. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 an= $$