4.1 第1课时 数列的概念及通项公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及通项公式 第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 知识点1　数列的概念与分类 内容索引 知识点2　数列的通项公式 微点突破1　周期数列的通项公式 知识点3　数列的通项公式的简单应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　数列的单调性及其应用 2 知识点1　数列的概念与分类 1.数列的概念 (1)一般地,我们把按照　　　　　　排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的　　　　.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第　　　　项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第　　　　项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用　　　表示.其中第1项也叫做　　　　.  (2) 数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为　　　　.  确定的顺序 　项　 1 　2　 an　 首项 {an} 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数　　　的数列  无穷数列 项数　　　的数列  按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都　　　它的前一项的数列  递减数列 从第2项起,每一项都　　　它的前一项的数列  常数列 各项都　　　的数列  摆动数列 从第2项起,有些项　　　它的前一项,有些项 　　　它的前一项  有限　 无限　 大于　 小于　 相等 大于 小于 微思考:同一个数在数列中能重复出现吗?组成两个数列的数相同但顺序不同,它们是同一个数列吗? 提示:同一个数在数列中可以重复出现,如常数列;组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同,但排列顺序不同,那它们就不是同一个数列. 　下列数列中哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列? (1) 2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)-,,-,,…; (5) 9,9,9,9,9,9. 例1 [解]　(1)(5)是有穷数列;(2)(3)(4)是无穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(5)是常数列. 1.判断数列是何种数列时一定严格按照定义进行判断. 2.判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项,不能有例外. 思维提升 1.下列说法错误的是(　　) A.数列4,7,3,4的首项是4 B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3 C.数列1,2,3,…就是数列{n} D.数列中的项不能是三角形 跟踪训练 B 由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确; 同一个数在数列中可以重复出现,故B错误; 按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确; 数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确. 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A.1,,,,…　　　　　　 B.-1,-2,-3,-4 C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, C A,B都是递减数列,D是有穷数列,只有C符合题意. a 知识点2　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的　　　　之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的　　　　　.通项公式就是数列的　　　　　　.  序号n　 通项公式 函数解析式 　根据数列{an}的通项公式,写出数列{an}的前5项,并作出它们的图象. (1)an=(-1)n+2; [分析]　对n分别取值代入关系式即可;画图象时应该是一些孤立的点. 例2 (1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1,图象如图①所示. (2)an=. [分析]　对n分别取值代入关系式即可;画图象时应该是一些孤立的点. (2)数列{an}的前5项依次是2,,,,,图象如图②所示. 数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列中相应的项. 思维提升 　根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式. (1),2,,8,…; [分析]　观察、分析寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系;有时要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳,写出一个通项公式即可. 例3 [解]　(1)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,,,,…,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*. (2)-2,1,-,,…; [分析]　观察、分析寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系;有时要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳,写出一个通项公式即可.   [解] (2)这个数列的奇数项为负,偶数项为正,且前4项可以写为: (-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,则数列的一个通项公式可以为 an=(-1)n·,n∈N*. (3)0,1,0,1,…; [分析]　观察、分析寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系;有时要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳,写出一个通项公式即可. [解] (3)这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是1,所以通项公式可以写成an= (n∈N*)或an=(n∈N*). (4)9,99,999,9 999,…. [分析]　观察、分析寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系;有时要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳,写出一个通项公式即可. [解] (4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1.统一项的结构,如都化成分数、根式等. 2.分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. 3.对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.有时也可用分段形式. 思维提升 3.写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是: (1)-,,,,…; 跟踪训练 解:(1)各项分母分别为21,22,23,24,易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3,则原数列可化为,,,,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*. (2),,,,…; 解: (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*. (3)-,,-,,-,…; 解: (3)由-,,-,,-,…可知奇数项为负数,偶数项为正数,可得an=(-1)n×. (4)2×3,3×4,4×5,5×6,…. 解: (4)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2), 5×6=(4+1)×(4+2),…,可得an=(n+1)(n+2). 知识点3　数列的通项公式的简单应用 已知数列{an}的通项公式为an=. (1)求a10. [分析]　(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10. 例4 [解]　 (1)根据题意可得a10=. (2)判断是否为该数列中的项?若是,它为第几项;若不是,请说明理由. [分析] (2)令an=,若n为正整数,则是{an}的项;否则,不是{an}的项. [解]　(2)令an=,即,解得n=3,所以为数列{an}中的项,为第3项. 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数则是数列的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的项. 思维提升 4.在数列中,若an=则a4+a5的值为(　　) A.17　　　　　　　　　 B.23 C.25 D.41 跟踪训练 A 依题意,a4+a5=23+(2×5-1)=17. 5.35是数列3,5,7,9,…的(　　) A.第16项 B.第17项 C.第18项 D.第19项 B 数列3,5,7,9,…的通项公式为2n+1,由2n+1=35得n=17,所以35是数列3,5,7,9,…的第17项. 知识点4　数列的单调性及其应用 对于数列{an},an+1≥an,则数列{an}是递增数列; 对于数列{an},an+1≤an,则数列{an}是递减数列. 已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. [分析]　观察给定数列形式,利用作差法或作商法,比较an+1与an的大小关系,从而解决问题. 例5 [解]　法一:an+1-an=(n+2)-(n+1)·, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10且a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. 法二:根据题意,令(n≥2,n∈N*), 即解得9≤n≤10. 又n∈N*,则n=9或n=10.故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. 求数列最值的方法 1.函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. 2.不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足(n≥2,n∈N*),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;求最小项用不等式组(n≥2,n∈N*),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值. 思维提升 6.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,n∈N*,则该数列中数值最大的项是(　　) A.第5项 B.第6项 C.第4项或第5项 D.第5项或第6项 跟踪训练 A an=-2n2+21n=-2,因为n∈N*,5<<6,且a5=55,a6=54, 所以数值最大的项为第5项. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列1,-,,-,…的一个通项公式为an=(　　) A. C. B 数列前4项的绝对值依次为1,,,,由此得数列第n项的绝对值为, 而数列的奇数项为正,偶数项为负,可用(-1)n+1表示数列的第n项的符号, 因此an=. 2.已知数列的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a,且a1=1,则a3等于(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 B 因为a1=1,即-2+a=1,解得a=3, 所以a3=-23+3=-5. 3.在数列中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是　　　　.  30 因为an=-n2+11n=-(n∈N*),故当n=5或6时,an取得最大值30. 微点突破1　周期数列的通项公式 类似于周期函数的定义,对于数列,如果存在一个正整数T,对于任意的n∈N*,都有an+T=an,那么数列就是一个以T为周期的周期数列. (多选)数列1,2,1,2,…的通项公式可能为( 　　) A.an= C.an= ACD 例 对于A,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故A中通项公式正确; 对于B,当n为奇数时,an==2,当n为偶数时an==1,故B中通项公式不正确; 对于C,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故C中通项公式正确; 对于D,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故D中通项公式正确. (多选)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式可能是(　 　) A.an=(-1)n-1+1 B.an= C.an=2sin D.an=cos (n-1)π+1 ABD 跟踪训练 对于A,当n为奇数时,an=2,当n为偶数时,an=0,故A中通项公式正确;对于B显然正确; 对于C,当n=3时,a3=-2,显然不符合; 对于D,当n为奇数时,an=2,当n为偶数时,an=0,故D中通项公式正确. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为(　　) A.1,0,1,0　　　　　　　　 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 把n=1,2,3,4依次代入通项公式,得a1==1,a2==0,a3==1,a4==0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知数列an=,则数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 因为an=,所以该数列中的项为-,,-,,…,故该数列是摆动数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.数列1,,,,,…的一个通项公式是(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 数列1,,,,,…的分子都是1,分母依次为1,3,5,7,9,…,则第n项的分母为2n-1,所以数列1,,,,,…的一个通项公式是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知数列1,,,,3,,…,则是这个数列的(　　) A.第21项 B.第22项 C.第23项 D.第24项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由题意可得数列的通项公式为an=,又因为,解得n=22, 所以是这个数列的第22项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　　,若an=,则n=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 13 14 12 ∵an=,∴a10=,得n2+2n-168=0, 解得n=12或n=-14(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知数列2a+1,a-2,3a-2为递减数列,则a的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-3,0) 13 14 由题意可知2a+1>a-2>3a-2,解得-3<a<0. 7.根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象. (1)an=; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时, a1==1,a2==3,a3==6,a4==10,a5==15, 则数列的前5项依次为1,3,6,10,15. 图象如图所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)an=cos . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时, a1=cos =1,a2=cos =0,a3=cos =-1,a4=cos =0,a5=cos 的前5项依次为1,0,-1,0,1. 图象如图所示: 8.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*). (1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项. 令an=1,得=1, 而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项. (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1, 则有an=an+1,即. 解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项. [B组　关键能力练] 9.(多选)已知函数f(x)=-x2+2x+1,设数列的通项公式为an=f(n)(n∈N*),则对于数列,下列说法正确的是(　　) A.该数列的图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象 B.该数列是递减数列 C.该数列从第3项往后各项均为负数 D.该数列有两项为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 14 对于A:由于数列图象各点为离散的(非连续),故数列的图象不是二次函数y=-x2+2x+1的图象,错; 对于B:由题设an=-n2+2n+1=2-(n-1)2,对应二次函数开口向下,在n∈N*上单调递减,对; 对于C:由a1=2,a2=1,a3=-2,…,结合数列单调递减,故从第3项往后各项均为负数,对; 对于D:由C分析知,只有a2=1,错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)下列命题为真命题的是(　 　) A.已知数列{an},an=(n∈N*),那么是这个数列的第10项,且最大项为第1项 B.数列,,2,,…的一个通项公式是an= C.已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=34 D.已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 对于A,令an=⇒n=10,易知数列{an}为递减数列,最大项为第1项,A正确; 对于B,数列,,2,,…变为,,,,…⇒,,,,…⇒an=,B正确;对于C,an=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒an=2n-5⇒a17=29,C错误;对于D,由an+1-an=3>0,易知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.使得“对于任意n∈N*,an=λn-λ是递减数列”为真命题的整数λ值是　　 　.(写出一个符合要求的答案即可)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1(答案不唯一) 13 14 因为对于任意n∈N*,an=λn-λ是递减数列, 所以an+1-an=λ(n+1)-λ-(λn-λ)=λ<0,所以整数λ值可以为-1. 12.已知数列中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,则a的取值范围是　　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-10,-8) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 an=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立, 设y=1+,函数在区间上单调递减, 结合函数的单调性可得5<<6,得-10<a<-8, 因此a的取值范围为(-10,-8). 13 14 13.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N*. (1)写出它的第10项; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)a10=. (2)判断是不是该数列中的项; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)令an=, 当n为偶数时,,整理得8n2-33n-35=0, 解得n=-或n=5.因为n∈N*且n为偶数,所以原方程无解; 当n为奇数时,,整理得8n2+33n+31=0, 因为Δ=(-33)2-4×8×31=97,又n∈N*,所以原方程无解. 综上所述,不是该数列中的项. (3)求an+1和a2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (3)an+1= =; a2n=. [C组　素养培优练] 14.(多选)甲同学通过数列3,5,9,17,33,…的前5项,得到该数列的一个通项公式为an=2n+m,根据甲同学得到的通项公式,下列结论正确的是(　　) A.m=1 B.m=2 C.该数列为递增数列 D.a6=65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 由a1=21+m=3,得m=1,故an=2n+1,故A正确,B错误; an-an-1=2n-2n-1=2n-1>0得该数列为递增数列,故C正确; 因为an=2n+1,则a6=26+1=65,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$