第5章 单元练3 (范围5.1—5.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第五章　一元函数的导数及其应用 单元练3　(范围5.1—5.2) 2.质点M按规律s(t)=(t-1)2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=3 s时的瞬时速度为(　　) A.12 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.4 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 因为s(t)=(t-1)2=t2-2t+1,则s'(t)=2t-2,故s'(3)=4. 3.函数f(x)=x2+sin x的导数为(　　) A.f'(x)=2x+cos x B.f'(x)=2x-cos x C.f'(x)=2x+sin x D.f'(x)=x+cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 由f(x)=x2+sin x,得f'(x)=2x+cos x. 4.已知函数f(x)=sin 2x-f'(0)x,则f'(0)=(　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 由f(x)=sin 2x-f'(0)x可得f'(x)=2cos 2x-f'(0),故f'(0)=2cos 0-f'(0),∴f'(0)=1. 5.若曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 直线x+2y+1=0的斜率为k=-,由题设知:y=e2ax在(0,1)处的切线的斜率为2,而y'=2a·e2ax, ∴y'|x=0=2a=2,可得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),它们在平面直角坐标系中的图象如图所示,则f'1(x0),f'2(x0),f'3(x0),f'4(x0)的大小关系是(　　) A.f'1(x0)>f'2(x0)>f'3(x0)>f'4(x0) B.f'1(x0)>f'3(x0)>f'2(x0)>f'4(x0) C.f'4(x0)>f'1(x0)>f'3(x0)>f'2(x0) D.f'1(x0)>f'3(x0)>f'4(x0)>f'2(x0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 依次作出f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)在x=x0的切线,如图所示,   根据图形中切线的斜率可知f'1(x0)>f'2(x0)>f'3(x0)>f'4(x0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某海湾拥有世界上最大的海潮,其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点,大海水深d(单位:m)与午夜后的时间t(单位:h)之间的关系为d(t)=10+4cost,则下午5:00时刻该固定点的水位变化的速度为(　　) A. C.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 由d(t)=10+4cost,则d'(x)=-t, 所以下午5:00时刻该固定点的水位变化的速度为 d'(17)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.'=2sin x B.f(x)=,则f'(x)= C.(e3)'=3e2 D.(lg 2x)'= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BD 15 16 对于选项A: '=-sin(-2x)·(-2x)'=2sin(-2x),故A错误; 对于选项B:f'(x)=,故B正确; 对于选项C:(e3)'=0,故C错误; 对于选项D:(lg 2x)'=×(2x)'=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选)下列函数的图象可能与直线2x-y+m=0(m∈R)相切的是(　　) A.f(x)=x2+x B.f(x)=2x+ex C.f(x)=x2+ln x D.f(x)=2x+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 因为直线2x-y+m=0的斜率为2, 所以f'(x)=2有解,则直线2x-y+m=0就可以为该函数图象的切线. 对于A,令f'(x)=2x+1=2,解得x=,满足条件; 对于B,因为f'(x)=2+ex>2恒成立,不满足条件; 对于C,令f'(x)=x+=2,解得x=1,满足条件; 对于D,f'(x)=2+>2恒成立,不满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选)当我们将导数的概念及定义推广至方程F(x,y)=0时,有时会无法解出y=f(x).为此,数学家提出了一种新的方法,使得对于任意方程F(x,y)=0,都能够对其中一个变量求导.例如,对于方程ey+xy-e=0,对x求导:将y视作x的函数,两边同时对x求导,得:(ey+xy-e)'=(0)',即y'ey+xy'+y=0.从而解得y'=,下列说法正确的是(　　) A.对于方程y5+2y-3x7-x=0,y'= B.对于方程sin y-y+x=0,y'= C.对于方程y=(x>4),y'= D.对于方程xy=ex+y,y'=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 15 16 A选项,由y5+2y-3x7-x=0, 得5y4·y'+2y'-21x6-1=0,y'=,A选项错误. B选项,由sin y-y+x=0, 得×y'-y'+1=0,y'=,B选项正确. C选项,由y=(x>4),得y2=(x>4), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以2y·y'=, y'=· =· =· =· =,所以C选项正确. D选项,由xy=ex+y得y+xy'=ex+y·(1+y'),y-ex+y=(ex+y-x)y', 所以y'=-,所以D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=xln x+ax2+2,若f'(e)=0,则a=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 - 15 16 函数f(x)=xln x+ax2+2,求导得f'(x)=1+ln x+2ax,于是f'(e)=2ae+2=0, 所以a=-. 12.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn. 则x1·x2·x3·…·x2 023=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f'(x)=(n+1)xn,∴f'(1)=n+1,f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0得:xn=-, x1·x2·x3·…·x2 023=×…×. 13.在微积分中“以直代曲”是最基本,最朴素的思想方法,中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”,用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值,事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的,它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法,在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”. 请用函数f(x)=ex“近似计算”的值为　　　　　(结果用分数表示).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex,所以f'(0)=1,函数f(x)=ex在点(0,1)处的切线y=x+1,所以f(x)=ex在x=0附近可以用y=x+1代替,即f(x)=ex≈x+1, 又非常接近0,f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某质点位移随时间t变化的函数为 其中t的单位为s,位移单位为m,若f(t)的图象为一条连续曲线. (1)求a的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:(1)因为f(t)的图象为一条连续曲线, 所以log2(2×2+4)+cos(2-2)+17=a·23-22+1, 化简得3+1+17=8a-3,解得a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求质点在t=1时的瞬时速度v0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解: (2)当0≤t<2时,f(t)=log2(2t+4)+cos (t-2)+17, 所以f'(t)=-sin(t-2)=-sin (t-2), 所以v0=f'(1)=-sin(-1)=(m/s). 15.已知函数f(x)=x3-x+1,直线l:y=2x-2与x轴交于点A. (1)求过点A的f(x)的切线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:(1)设过点A的直线与函数f(x)的图象相切的切点为(x0,-x0+1), 函数f(x)=x3-x+1,求导得f'(x)=3x2-1,则切线斜率k=f'(x0)=3-1, 因此切线方程为y-(-x0+1)=(3-1)(x-x0),直线l:y=2x-2与x轴交于点A(1,0), 依题意,-+x0,整理得2,解得x0=0或x0=, 当x0=0时切线方程为y=-x+1;当x0=, 所以所求切线方程为y=-x+1或y=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若点B在函数f(x)图象上,且f(x)在点B处的切线与直线l平行,求B点坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解: (2)设点B(t,f(t)),由(1)知,f'(t)=2,即3t2-1=2,解得t=±1,显然f(1)=f(-1)=1, 而点(1,1)或(-1,1)都不在直线l:y=2x-2上, 所以B点坐标为(1,1)或(-1,1). 16.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数 f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x=x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心,已知函数f(x)= . (1)求出f(x)的对称中心; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,令f″(x)=0可得x=, 因为f(x)为三次函数,故函数f(x)的拐点为, 故f(x)图象的对称中心为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求 f+…+f的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解: (2)因为f(x)图象的对称中心为,故f(x)+f(1-x)=2, 设A=f+…+f, 则A=f+…+f, 所以2A=f+…+f =2×2 022, 故A=2 022. f(t)= $$