第4章 提升课3 数列求和(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

提升课3　数列求和(二) 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　并项法求和 内容索引 知识点2　错位相减法求和 知识点3　其他方法求和 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　并项法求和 　已知公差为3的等差数列的前n项和为Sn,且S5=2a7. (1)求an; 例1 [解]　(1)因为公差为3的等差数列的前n项和为Sn,且S5=2a7, 所以5a1+×3=5a1+30=2(a1+6×3)=2a1+36,解得a1=2, 所以an=2+3(n-1)=3n-1(n∈N*). (2)若bn=(-1)nan,记Tn=b1+b2+…+bn,求T20的值. [解]　(2)由题意b2k-1+b2k=(-1)2k-1a2k-1+(-1)2ka2k=a2k-a2k-1=d=3,k∈N*, 所以T20=(b1+b2)+…+(b19+b20)=3×10=30. 一个数列的前n项和中,可两两(或多项)结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n),可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 思维提升 1.若数列的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,则S10=(　　) A.684　　　　　　　　　 B.682 C.342 D.341 跟踪训练 B a2+a1=21,a4+a3=23,a6+a5=25,a8+a7=27,a10+a9=29, 所以S10=21+23+25+27+29==682. 2.数列的前n项和为Sn,且满足a1=2,an+1=1-(n∈N*),则S4 045=(　　) A.1 011 B.1 013 C.2 023 D.2 024 D 因为a1=2,an+1=1-(n∈N*), 所以a2=1-,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,所以数列是以3为周期的周期数列,且a1+a2+a3=,所以S4 045=1 348×(a1+a2+a3)+a4 045= 1 348×+2=2 024. 知识点2　错位相减法求和 　已知等差数列的前n项和为Sn,且a3+a7=10,S10=55. (1)求数列的通项公式; 例2 [解]　(1)设数列的公差为d, 则所以an=n. (2)若bn=2nan,求数列的前n项和Tn. [解]　(2)由(1)得bn=n·2n,则Tn=1×21+2×22+…+n·2n, 2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1, 两式相减得:-Tn=2+(22+23+…+2n)-n·2n+1=-n·2n+1 =2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2, 所以Tn=(n-1)2n+1+2. 1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 思维提升 3.已知数列的前n项和Sn=n2+m,且S1,S3-2,S7成等比数列. (1)求数列的通项公式; 跟踪训练 (1)解:根据题意,可得=S1S7,即(7+m)2=(1+m)(49+m), 解得m=0,所以Sn=n2, 当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1=1=2×1-1也符合, 故an=2n-1. (2)若bn=,求证:数列. (2)证明:由(1)的结论,可得bn=, 所以Tn=+…+, 两边都乘,得+…+, 以上两式相减,可得: , 所以Tn=,结合>0,可知数列{bn}的前n项和Tn<成立. 知识点3　其他方法求和 　已知正项数列的前n项和为Sn,且a1=1,=8n. (1)求Sn; 例3 [解]　(1)对任意的n∈N*,因为=8n, 当n≥2时,=()+…+()+=8(n-1)+…+8×1+1 =8+1=(2n-1)2, 因为an>0,所以Sn>0,故Sn=2n-1. 当n=1时,S1=a1=1适合Sn=2n-1, 所以Sn=2n-1,n∈N*. (2)在数列的每相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,…,ak,得到数列:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求的前20项和T20. [解] (2)因为Sn=2n-1,n∈N*, 所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-=2, 所以an= 所以数列的前20项分别为:1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2, 所以的前20项是由6个1与14个2组成.所以T20=6×1+14×2=34. 在对数列求和时,一定要分析清楚数列中的每一项,根据每一项具有的特征寻找求和的方法. 思维提升 4.已知数列(n∈N*). (1)求数列的通项公式; 跟踪训练 解:(1)由数列(n∈N*), 可得Tn-1=(n∈N*且n≥2),依题意有an==2n-1(n∈N*且n≥2), 又因为a1=1,符合上式,所以an=2n-1. (2)记bm为在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列的前50项和S50. 解: (2)由题意,2n-1≤m,即n≤log2m+1, 当m=1时,b1=1,当m=2,3时,b2=b3=2,…, 当m∈[2k,2k+1-1]时,bm=k+1,共有2k个,k∈N*, 则S50=b1+(b2+b3)+(b4+b5+…+b7)+…+(b32+b33+…+b50) =1+2×2+3×4+4×8+5×16+6×19=243 . 〈课堂达标·素养提升〉 1.化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是(　　) A.2n+1+n-2　　　　　　 B.2n+1-n+2 C.2n-n-2 D.2n+1-n-2 D Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1,① 2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n,② ②-①得, Sn=-n+2+22+…+2n-1+2n=-n+=-n+2n+1-2=2n+1-n-2. 2.记数列的前n项和为Sn,已知an+an+1=2,且S2 025=2 027,则a1=(　　) A.6 B.5 C.3 D.1 C 因为an+an+1=2, 所以S2 025=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 024+a2 025)=a1+2×1 012=2 027, 所以a1=3. 3.已知数列an=2an+1·(an-1)-1(n≥2,n∈N*),若a2=1,a1=1,则该数列的前六项和为(　　) A. C. B 因为an=2an+1·(an-1)-1(n≥2,n∈N*), 可得=an+1(n≥2,n∈N*). 又因为a1=1,a2=1,所以a3=,a4=,a5=,a6=, 所以数列的前六项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+1+. 定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”,则区间[1,2 024]内所有“幸福数”的和为　　　　　.  2 036 当n≥2时,an=logn(n+1)=, 所以a1·a2·…·ak=1××…×=log2(k+1), 若满足a1·a2·…·ak为正整数, 则k+1=2n,即k=2n-1, 所以在[1,2 024]内的所有“幸福数”的和为 21-1+22-1+…+210-1 =-10=2 036. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列的前n项和为Sn,an=(-1)n(3n-1),则S20+S21=(　　) A.122　　　　　　　　　　 B.120 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为an=(-1)n(3n-1),所以S20=(-2)+5+(-8)+11+…+(-56)+59=(-2+5)+(-8+11)+…+(-56+59)=3×10=30,S21=S20+a21=30-62=-32, 所以S20+S21=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.如图1,规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形,1个三角形对应1个正方形.已知图2中,第1行有1个正方形和1个三角形,按上述规定得到第2行,共有2个正方形和1个三角形,按此规定继续可得到第3行、第4行、第5行,则在图2中前5行正方形个数的总和为(　　) A.8 B.19 C.32 D.59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 通过观察发现从二行开始,三角形个数等于上一行正方形个数,正方形个数等于上一行三角形和正方形个数之和.记(x,y)为每一行三角形和正方形个数,其中x表示三角形个数,y表示正方形个数,则前5行得三角形和正方形个数分别为(1,1),(1,2),(2,3),(3,5),(5,8),图2中前5行正方形个数的总和为1+2+3+5+8=19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知数列的通项公式为:an=,n∈N*,则数列的前100项之和为(　　) A.6- C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 令数列的前n项和为Sn,因为an=, 则Sn=1++…+, 则有+…+, 两式相减得:+…+, 因此Sn=6-,有S100=6-, 所以数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.若an=(-1)n·(2n-1),则数列的前17项和S17= 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -17 13 因为an=(-1)n·(2n-1), 所以S17=a1+a2+…+a17=(-1)+3+(-5)+7+…+(-29)+31+(-33)=2×-33=-17. 5.记数列的前n项和为Sn,且an=cos ,则S2 024=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 ∵an=cos ,∴an+3=cos =an, ∴数列是周期为3的周期数列,又∵a1=-,a2=-,a3=1, ∴S2 024=a1+a2+a3+…+a2 024=674(a1+a2+a3)+a1+a2=a1+a2=-1. 6.已知数列,n∈N*,bn=2n+(-1)n·an. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n,a1=1也满足an=n, 故数列的通项公式为an=n. (2)求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)可知bn=2n+(-1)n·n, 当n为偶数时,Tn=(21+22+…+2n)+ =-2; 当n为奇数时,Tn=(21+22+…+2n)+ =2n+1-2+, 所以Tn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.数列的前n项和为Sn,且3an-2Sn=1,在等差数列中,b4=7,b3+2b8=35. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)当n=1时,3a1-2S1=3a1-2a1=1,即a1=1; 当n≥2时,由3an-2Sn=1得3an-1-2Sn-1=1, 则两式相减得3an-3an-1-2(Sn-Sn-1)=0,即an=3an-1,=3, 综上可知,是首项a1=1,公比q=3的等比数列, 则an=a1qn-1=1×3n-1=3n-1,即an=3n-1. 设等差数列的公差为d, 所以bn=b1+(n-1)d=2n-1,即bn=2n-1. 故an=3n-1,bn=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若cn=,求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)知,cn=, 则Tn=+…+　①, +…+　②, ①-②得+…+, 整理得 =1+2×, 即Tn=2-,所以Tn=3-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.已知数列,的通项公式分别为an=2n,bn=2n,现从数列的公共项后,将余下的项按照从小到大的顺序进行排列,得到新的数列,则数列的前150项之和为(　　) A.23 804 B.23 946 C.24 100 D.24 612 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为a150=300,28=256<300,29=512>300,故数列的前8项,故数列公共的8项. 记数列,的前n项和分别为Sn,Tn,c1+c2+…+c150=S158-T8==24 612. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.对任意数列,定义函数F(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1(n∈N*)是数列的“生成函数”.已知F(1)=n2,则F=(　　) A.3- C.6- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为F(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1且F(1)=n2, 所以a1+a2+a3+…+an=n2　①, 当n=1可得a1=1;当n≥2时a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2　②, ①-②得an=n2-(n-1)2=2n-1,显然当n=1时上式也成立, 所以an=2n-1,所以F+…+(2n-1)×, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则+…+(2n-1)×, 所以+…+ 2×-(2n-1)× =1+-(2n-1)×=3-(2n+3)×, 所以F. 10.数列满足an+2+(-1)nan=3n+1,前8项的和为106,则a1=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 13 an+2+(-1)nan=3n+1,当n为奇数时,an+2=an+3n+1; 当n为偶数时,an+2+an=3n+1. 设数列的前n项和为Sn,S8=a1+a2+…+a8=a1+a3+a5+a7+(a2+a4)+(a6+a8) =a1+(a1+4)+(a1+14)+(a1+30)+(a2+a4)+(a6+a8) =4a1+48+7+19=4a1+74=106,解得a1=8. 11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列,且a1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 024项和S2 024=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 012 13 由等和数列概念可得a2=2,a3=-1,a4=2,…,a2 023=-1,a2 024=2, 所以S2 024=(-1+2)×1 012=1 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.定义Gn=的“匀称值”. (1)若数列的“匀称值”为n(n+1),求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)依题意,Gn=n(n+1),即a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n+1), 当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2n, 于是nan=n2(n+1)-(n-1)2n,整理得an=n(n+1)-(n-1)2=3n-1,a1=2符合上式, 所以数列的通项公式是an=3n-1. (2)若数列满足b1=1,bn=3bn-1+2(n≥2),求数列的“匀称值”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由bn=3bn-1+2,n≥2,得bn+1=3(bn-1+1),而b1+1=2, 因此是以2为首项,3为公比的等比数列,则bn+1=2·3n-1, 令cn=bn+1=2·3n-1,则数列, 令Tn=c1+2c2+3c3+…+ncn, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则Tn=2+4×3+6×32+8×33+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1, 于是3Tn=2×3+4×32+6×33+8×34+…+2(n-1)·3n-1+2n·3n, 两式相减得-2Tn=2+2×3+2×32+2×33+…+2·3n-1-2n·3n, 即-Tn=1+3+32+33+…+3n-1-n·3n=-n·3n=-n·3n,Tn=, 所以数列. 13 [C组　素养培优练] 13.(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的为(　 　) A.a5=8 B.an+3=2an+1+an对∀n∈N*恒成立 C.a1+a3+a5+…+a2 021=a2 022 D.=a2 022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 “斐波那契数列”为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,所以a5=5,A选项错误;依题意an+2=an+1+an(n≥1),所以an+3=an+2+an+1,故an+3=2an+1+an对∀n∈N*恒成立,B选项正确;a1=a2,a3=a4-a2,a5=a6-a4,…,a2 021=a2 022-a2 020, 所以a1+a3+a5+…+a2 021=a2 022,C选项正确; =a2·a1,=a2·(a3-a1)=a2·a3-a2·a1,=a3·(a4-a2)=a3·a4-a3·a2,…, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 =a2 021·(a2 022-a2 020) =a2 021·a2 022-a2 021·a2 020, 所以+…+=a2 021·a2 022, 所以D选项正确. 13 4.已知数列{an}满足an= 则 即 $$