第4章 提升课2 数列求和(一)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

提升课2　数列求和(一) 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　倒序相加法求和 内容索引 知识点2　分组求和法 知识点3　裂项相消法求和 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　倒序相加法求和 　 已知函数f(x)=1+对称,其中a为实数. (1)求实数a的值; 例1 [解]　(1)由题知f(x)+f(1-x)=1,即1+=1, 整理得=-1,解得a=-2. (2)若数列,其前n项和为Sn,求S2 024. [解] (2)由题知,an=f,且f(x)+f(1-x)=1, 则S2 024=f+…+f, 又S2 024=f+…+f, 故2S2 024=1+1+1+…+1=2 024, 即S2 024=1 012. 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下,数列项数较多,且距首末等距离的项之间隐含某种关系,需要结合题意主动发现这种关系,利用推导等差数列前n项和公式的方法,倒序相加求和. 思维提升 1.已知数列满足:+…+=n(n∈N*),数列. (1)求数列的通项公式; 跟踪训练 解:(1)当n=1时,a1=2; 当n≥2时,+…+=n　①, +…+=n-1　②, ①-②得:=1, ∴an=2n,当n=1时,a1=2, ∴an=2n. (2)求b1+b2+…+b99. 解: (2)∵bn=, ∴bn+b100-n= =, ∴b1+b2+b3+…+b99=+…+　①, b99+b98+b97+…+b2+b1=+…+　②, 又∵b1+b99=,∴①+②得:2(b1+b2+b3+…+b99)=, ∴b1+b2+…+b99=. 知识点2　分组求和法 　已知等差数列的首项为1,公差d=2.数列为公比q=2的等比数列,且b2,b3+3,b4成等差数列. (1)求数列的通项公式; 例2 [解]　(1)由于等差数列的首项为1,公差d=2,所以an=2n-1, 由数列为公比是2的等比数列且b2,b3+3,b4成等差数列, 知2(b3+3)=b2+b4,2(4b1+3)=2b1+8b1,解得b1=3, 所以bn=3·2n-1. (2)若cn=的前2n项和T2n. [解]　(2)由(1)知,cn= T2n=1+3·2+5+3·23+…+4n-3+3·22n-1, T2n=(1+5+9+…+4n-3)+(3·2+3·23+…+3·22n-1) =+3·=2n2-n-2+22n+1.   分组求和的适用题型 一般情况下形如cn=an±bn,其中数列{an}与{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列{cn}的前n项和,分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 思维提升 2.已知数列的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1. (1)求数列的通项公式; 跟踪训练 解:(1)Sn=2an-1　①, 当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1, 当n≥2时,Sn-1=2an-1-1　②, 式子①-②得an=2an-2an-1,故an=2an-1, 因为a1=1≠0,所以an≠0,所以=2, 所以是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1. (2)已知bn=+log2an,求数列的前n项和为Tn. 解: (2)bn=+log2an=4n-1+n-1, Tn=40+41+42+…+4n-1+0+1+2+…+n-1= =. 知识点3　裂项相消法求和 　已知递增等差数列满足a1=1,且a2,a5-1,a7+1成等比数列,bn=. (1)求数列的通项公式; 例3 [解]　(1)设的公差为d, ∵a2,a5-1,a7+1成等比数列,a1=1, ∴=a2(a7+1), 即(4d)2=(1+d)(2+6d),∴5d2-4d-1=0, ∴d=1或d=-, ∵单调递增,∴d=1,∴an=n. (2)求数列的前n项和Sn. [解]　(2)由(1)可知,an=n,则anan+2=n(n+2), 则bn=, ∴Sn= ==. 常见的裂项求和的形式 1.; 2.; 3.; 4.; 思维提升 5.; 6.ln=ln(n+1)-ln n; 7.; 8.(-1)nlog3[n(n+1)]=(-1)n[log3n+log3(n+1)]; 9.=(-1)n. 3.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn,若a1a5=4,且S4=30. (1)求的通项公式; 跟踪训练 解:(1)设公比为q(q>0),因为a1a5=,所以q=2, 又因为S4==30,解得a1=2,所以an=2n. (2)令bn=,求数列的前n项和Tn. 解: (2)由(1)知an=2n, 则bn=, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =+…+ =, 所以数列的前n项和Tn=. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设Sn为数列{an}的前n项和,an=1+2+22+…+2n-1,则Sn的值为(　　) A.2n-1　　　　　　　　 B.2n-1-1 C.2n-n-1 D.2n+1-n-2 D ∵an=1+2+22+…+2n-1==2n-1, ∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=-n=2n+1-n-2. 2.已知正数数列是公比不等于1的等比数列,且a1a2 019=1,试用推导等差数列前n项和的方法探求:若f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 019)=(　　) A.2 018 B.4 036 C.2 019 D.4 038 D a1·a2 019=1,∵函数f(x)=, ∴f(x)+f=4, 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 019),则T=f(a2 019)+f(a2 018)+…+f(a1), ∴2T=f(a1)+f(a2 019)+f(a2)+f(a2 018)+…+f(a2 019)+f(a1)=4×2 019,∴T=4 038. 3.在数列中,an=,Sn=4,则n=(　　) A.51 B.40 C.41 D.50 B an=(), 故Sn=a1+a2+a3+…+an= (+…+)=(-1), 故(-1)=4,解得n=40. 4.已知数列,满足a1=2,若an+1=an+2,则数列的前2 024项和 为　　　　　.  由a1=2,an+1-an=2可知数列是首项为2,公差为2的等差数列, 所以an=2+(n-2)×2=2n,·, 所以数列的前2 024项和为. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.数列的前n项和为(　　) A.1+2n　　　　　　　　 B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由题意得an=1+2n-1, 所以Sn=(1+20)+(1+21)+…+(1+2n-1)=1×n+(20+21+…+2n-1)= n+=n+2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知数列中a1=2,且an=2an-1+3(n≥2,n∈N*),则数列的前n项和Sn=(　　) A.3(2n-n)-1 B.5(2n-n)-3 C.3×2n-5n+1 D.5×2n-3n-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由an=2an-1+3得an+3=2(an-1+3),所以数列是首项为a1+3=5,公比为2的等比数列,所以an+3=5×2n-1,所以an=5×2n-1-3, 所以Sn=5×-3n=5×2n-3n-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知是等差数列,且a1=1,+…+,则a10=(　　) A.15 B.26 C.28 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 设公差为d,若d=0,则+…+=8,不满足题意,所以d≠0, 则an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d, 则 =, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以+…+ = =,故,解得d=3,故a10=1+9×3=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知f(x)+f(2-x)=2,an=f(n∈N*),数列的前n项和为Sn, 则S4 047=(　　) A.8 096 B.8 094 C.4 048 D.4 047 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由f(x)+f(2-x)=2,an=f, 得a1+a4 047=f=2,a2+a4 046=f=2, a1+a4 047=a2+a4 046=…=a2 023+a2 025=f=2, 又因为a2 024+a2 024=f=2=a1+a4 047, 所以2S4 047=4 047(a1+a4 047)=8 094,所以S4 047=4 047. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.数列的前n项和Sn,首项为1,对于任意正整数n,都有an+1=则S20=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 13 14 由题意数列的前5项构成首项为1,公比为2的等比数列, 若从第5项起的数构成一个新的数列,则它的首项为a5=2a4=16,公差为-2, 所以由题意S20=(1+2+4+8)+=31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.数列{an}的通项公式an=,则该数列的前n项和Sn=　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 an== =, ∴Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an =()+()+()+…+()+()=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知等差数列的前n项和为Sn,首项a1=1,公差d>0.从①S7=28;②a4,a6,a9成等比数列;③三个条件中任选一项,解答下列问题. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)选①:因为数列为等差数列,且S7==7a4=28,得到a4=4, 又因为a1=1,所以d==1,所以数列的通项公式为an=n. 选②:因为等差数列中a1=1,a4,a6,a9成等比数列,则(1+5d)2=(1+3d)(1+8d), 解得d=1或d=0(舍),又a1=1,所以数列的通项公式为an=n. 选③:因为数列为等差数列,所以Sn=na1+d,又a1=1, 所以,解得d=1, 所以数列的通项公式为an=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若bn=+2an,求数列的前n项和Tn. 注:如果选择多个条件分别作答,则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由(1)知an=n,则bn=+2an=3n+2n, 所以Tn=31+32+…+3n+2(1+2+…+n). 而31+32+…+3n=,1+2+…+n=, 所以Tn=+n2+n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知数列是首项为2的等比数列,公比q>0,且a4是6a2和a3的等差中项. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵数列是首项为2的等比数列,a4是6a2和a3的等差中项, ∴2a4=6a2+a3,即2a1·q3=6a1·q+a1·q2, ∵a1=2,q>0, ∴2q2-q-6=0,解得q=2或q=-(舍), ∴an=2·2n-1=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设数列,求的前2 024项和T2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)∵bn=, ∴T2 024=b1+b2+…+b2 024=+…+, ∴. [B组　关键能力练] 9.(多选)已知数列中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),数列的前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　) A.是等比数列 B.a4=15 C.a10<1 000 D.Sn=2an-n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 由an+1=2an+1(n∈N*)得an+1+1=2(an+1),又因为a1+1=2≠0, 所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,则an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-1, a1=1,a2=22-1=3,a3=23-1=7,显然≠a1a3,所以不是等比数列,故A错; a4=24-1=15,故B对; a10=210-1=1 024-1=1 023>1 000,故C错; Sn=(2+22+…+2n)-n=-n=2(2n-1)-n=2an-n,故D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,a5=3,则数列的前24项和为(　　) A. B.3 C.3 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 依题意,=2,即是公差为2的等差数列,而a5=3, 于是+2(n-5)=2n-1,即an=, 则 =, 所以数列的前24项和为:(-1)+()+()+…+ ()=7-1=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.学数学的人重推理爱质疑,比如唐代诗人卢纶《塞下曲》:“月黑雁飞高,单于夜遁逃.欲将轻骑逐,大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇,讲述了一次边塞的夜间战斗,既刻画出边塞征战的艰苦,也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵,而无人提出疑问,当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维,发现了此诗的一些疑点,并写诗质疑,诗云:“北方大雪时,群雁早南归.月黑天高处,怎得见雁飞?”但是,数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想Fn=+1(n=0,1,2,…)是质数,直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641×6 700 417,不是质数.现设an=log2(n=1,2,…), bn=,则数列的前n项和Sn=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为Fn=+1, 所以an=log2=log22n=n, 所以bn=, 所以数列+…+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知数列满足an=2n,在an和an+1之间插入n个1,构成数列:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列的前20项的和为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 77 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在an,an+1之间插入n个1,构成数列:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…, 所以共有n+(n2+n)个数, 当n=5时,×(52+5)=15,当n=6时,×(62+6)=21, 由于an=2n,所以S20=(a1+a2+…+a5)+(20-5)×1=+15=77. 13 14 13.已知数列是等差数列,数列是正项等比数列,且a1=1,a4=7,b1是a1和a3的等差中项,a5是b1和b3的等比中项. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设等差数列的公差为d,正项等比数列的公比为q(q>0), 由题意a1=1,a4=7和a4=a1+3d,得7=1+3d,则d=2, 故数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. 由题意b1是a1和a3的等差中项,a5是b1和b3的等比中项,得 由a1=1,a3=2×3-1=5,a5=2×5-1=9,得 由b3=b1q2且q>0,得的通项公式为bn=b1qn-1=3×3n-1 =3n. 13 14 (2)令cn=a2n+b2n-1,求数列的前n项和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由题意和(1),得a2,a4,…,a2n构成了首项为a2=3,公差为2d=4的等差数列, b1,b3,…,b2n-1构成了首项为b1=3,公比为q2=9的等比数列, 记数列的前n项和为Sn, 则Sn=(a2+b1)+(a4+b3)+…+(a2n+b2n-1)=(a2+a4…+a2n)+(b1+b3+…+b2n-1) ==(2n+1)n+. [C组　素养培优练] 14.设数列的前n项和为Sn,已知a2=6,2Sn=nan+1. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由a2=6,2Sn=nan+1, 当n=1时,2a1=a2,即a1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,整理得nan+1=(n+1)an,即. ∵=3,∴当n=1时上式也成立. ∴数列是以3首项,1为公比的等比数列,则=3,即an=3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知数列bn=(-1)n·,求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)∵an=3n,bn=(-1)n· ∴bn=(-1)n·=(-1)n·. ∴Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn =(-1)·+(-1)2·+(-1)3·+(-1)4·+…+ (-1)n·+…+(-1)n·=-+(-1)n·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$