第4章 提升课1 数列通项公式的求法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

提升课1　数列通项公式的求法 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　利用an与Sn的关系求通项 内容索引 知识点2　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 知识点3　形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　利用an与Sn的关系求通项 　设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式an; 例1 [解]　(1)由题意,得 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an. 又,所以对∀n∈N*,=3, 因此数列{an}是首项a1=1,公比为3的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*. (2)求数列{|an-n-2|}的前n项和. [解] (2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n≥3时, Tn=3+=, 经检验n=2时,T2满足上式, 所以Tn= 利用Sn求an 给定Sn=f(an),通常是通过an=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn或an(构造两式作差)进行求解. 思维提升 1.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式. 跟踪训练 解:6Sn+1=(an+1+1)(an+1+2), 6(Sn+1-Sn)=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2)=-3(an+1+an)=6an+1⇒(an+1+an)(an+1-an-3)=0. ∵an+1+an>0,∴an+1-an-3=0, ∴an+1-an=3. ∵6S1=(a1+1)(a1+2)=6a1,∴a1=2或a1=1(舍去), ∴数列是首项为2,公差为3的等差数列,{an}的通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1. 知识点2　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 　已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,求{an}的通项公式. [解]　∵an+1=2an+1,令an+1+t=2(an+t), 即an+1=2an+t,∴t=1, 即an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.　 例2 形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下: 1.假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t). 2.由待定系数法,解得t=. 3.写出数列的通项公式. 4.写出数列{an}的通项公式. 思维提升 2.(多选)已知数列{an}满足a1=26,3an+1=an-2,Sn为{an}的前n项和,则(　　) A.{an+1}为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递减数列 D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值 跟踪训练 AC 因为3an+1=an-2,所以3an+1+3=an+1,即3(an+1+1)=an+1,, 又因为a1=26,所以a1+1=27,所以{an+1+1}是首项为27,公比为的等比数列,A正确; an+1=27×,所以an=-1,B错误; 因为函数y=-1是减函数,所以{an}为递减数列,C正确; 令an=0,即-1=0,解得n=4,所以n≤4时,an≥0,n≥5时,an<0,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,D错误. 知识点3　形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 　已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n,a1=2. (1)证明:数列是等差数列. 例3 (1)[证明]　根据题意,数列{an}满足an+1=2an+3×2n, 等式两边除以2n+1,可得,即, 故数列=1为首项,为公差的等差数列. (2)数列{bn}满足bn+1=bn+,b1=1.求数列{bn}的通项公式. (2)[解]　结合(1)问可得(n-1)=(3n-1),所以an=(3n-1)·2n-1. 由数列{bn}满足bn+1=bn+(3n-1), 可得bn-bn-1=(n-1)-n-2(n≥2), 当n≥2时,可得 bn=(bn-bn-1) +(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =(n-1)-2+…+-2(n-1)+1=, 又因为b1=1,适合上式, 所以数列{bn}的通项公式bn=. [教参独具]　把条件变为已知数列{an}中,a1=6,an+1=2an+3n+1,求an. 解:令an+1-A·3n+1=2(an-A·3n), 则an+1=2an+·3n+1, 由已知,=1,得A=3, 所以an+1-3×3n+1=2(an-3×3n), 即an+1-3n+2=2(an-3n+1), 又a1-32=6-9=-3≠0, 所以{an-3n+1}是首项为-3,公比为2的等比数列, 于是an-3n+1=-3×2n-1,故an=3n+1-3×2n-1. 1.形如an=pan-1+pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来. (2)写出数列的通项公式. (3)写出数列{an}的通项公式. 2.形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤,要注意数列的下标与q的指数的对应关系. 思维提升 3.数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,19成等差数列. (1)求a1的值; 跟踪训练 (1)解:由2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*, 令n=1,得2S1=2a1=a2-22+1=a2-3,　① 又因为a1,a2+5,19成等差数列, 则2(a2+5)=a1+19,　② 则由①②解得a1=1. (2)证明为等比数列,并求数列{an}的通项公式. (2)证明:由2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*, 当n≥2时,2Sn-1=an-2n+1, 得到2an=an+1-an-2n,则,n≥2, 由(1)知a1=1,则a2=5,则,满足上式, 所以,且≠0, 所以数列为首项,为公比的等比数列, 所以,则an=3n-2n. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知数列的前n项和为Sn,满足Sn=an-3,则an=(　　) A.an=3n　　　　　　　　 B.an=2·3n C.an=6·3n D.an=6n B Sn=an-3　①中,当n=1时,a1=a1-3,解得a1=6, 当n≥2时,Sn-1=an-1-3　②,式子①-②得,an=an-1,即an=3an-1, 故是首项为6,公比为3的等比数列,故an=6·3n-1=2·3n. 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则这个数列的第n项为(　　) A.2n-1 B.2n+1 C. C ∵an+1=,a1=1,∴=2. ∴为等差数列,公差为2,首项为=1. ∴=1+(n-1)×2=2n-1,∴an=. 3.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17等于(　　) A.-15×216 B.15×217 C.-16×216 D.16×217 A 由题意可得,即, 据此可得,数列,公差为-的等差数列, 故+(17-1)×,所以a17=-15×216. 4.已知数列满足:a1=0,an+1-an=n,则数列的通项公式为 an=　　　　　.  由题意知数列满足:a1=0,an+1-an=n, 故an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=0+1+2+…+(n-1)=,n≥2, a1=0也适合该式, 故an=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值为(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.-1 C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列{an-1}是等比数列,∴=1,λ=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知数列的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn,则a2 024=(　　) A.32 022 B.32 023 C.2×32 023 D.2×32 022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 由an+1=2Sn,得an+1=Sn+1-Sn=2Sn,所以Sn+1=3Sn,又S1=a1=1, 所以是等比数列,首项为1,公比为3,所以Sn=3n-1, 所以a2 024=2S2 023=2×32 022. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若数列,且a1=2,则a2 024=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 因为an+1=,所以,所以,又因为a1=2,所以,故数列为首项,以为公差的等差数列, 则(n-1)=n,得an=,所以a2 024=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在数列中,an>0,a1=1,=2n,则a113=(　　) A.4 B.15 C. D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由=2n,得,即(2n-1)=(2n+1), 整理得,因此数列是常数列,则=1,又因为an>0,于是an=,所以a113==15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知数列满足a1=2,an+1=5an+12,则数列的通项公式an=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5n-3 13 由an+1=5an+12可得:an+1+3=5(an+3),又因为a1+3=5≠0, =5,所以是以a1+3=5为首项,5为公比的等比数列, 所以an+3=5·5n-1=5n,所以an=5n-3. 6.已知数列的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),则a10=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 256 13 因为a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),所以Sn+1-1=2(Sn-1),S1-1=a1-1=1, 则Sn-1≠0,所以是以1为首项,公比为2的等比数列,故Sn-1=2n-1, 则Sn=2n-1+1,所以a10=S10-S9=29+1-(28+1)=256. 7.已知数列{an}满足a1=,an+1=3an-4n+2(n∈N*). (1)求a2,a3的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:由已知得a2=3a1-4+2=3×-4+2=5, a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9. (2)证明数列{an-2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:∵an+1=3an-4n+2,∴an+1-2n-2=3an-6n, 即an+1-2(n+1)=3(an-2n). 由(1)知a1-2=, ∴an-2n≠0,n∈N*,∴=3, ∴数列{an-2n}是首项为,公比为3的等比数列. ∴an-2n=×3n-1=3n-2,∴an=3n-2+2n. 8.已知数列+…+,n∈N*. (1)求数列的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为+…+,① 当n≥2时,+…+,② ①-②,得,所以an=n·2n. 当n=1时,由①得a1=2,适合上式, 所以an=n·2n,n∈N*. (2)设bn=(表示不超过x的最大整数),求数列的前100项和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由(1)得bn=, 当n=1时,=0,bn=n; 当n=2,3时,=1,bn=n+1; 当n=4,5,6,7时,=2,bn=n+2; 当n=8,9,…,15时,=3,bn=n+3; 当n=16,17,…,31时,=4,bn=n+4; 当n=32,33,…,63时,=5,bn=n+5; 当n=64,65,…,100时,=6,bn=n+6. 所以的前100项和S100=b1+b2+…+b100=(1+2+…+100)+0×1+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=+480=5 530. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.若数列满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=(　　) A.511 B.1 023 C.1 025 D.2 047 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由题意知:an+1-an=2n,则有a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,…,a10-a9=29,由累加可得a10-a1=21+22+23+…+29, 即a10=1+21+22+23+…+29==210-1=1 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知正项数列an,则=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由an+1=, 由累乘可得···. 11.已知正项数列的前n项积为Tn,且满足an(3Tn-1)=Tn(n∈N*),则 Tn=　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (n∈N*) 13 由题意a1(3T1-1)=a1(3a1-1)=T1=a1,且a1>0,所以a1=, 又因为an=(n∈N*),且an=(n≥2,n∈N*), 所以3Tn-1=Tn-1(n≥2,n∈N*),则Tn-,又因为T1-, 所以数列为首项,为公比的等比数列,故Tn-, 所以Tn=(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,an+bn-1=3(n≥2). (1)若an=bn,求{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:当an=bn,n≥2时,an-1=bn-1, 所以an+bn-1=3,即an=-an-1+3, 整理得an-, 所以为首项,-1为公比的等比数列. 故an-×(-1)n-1, 即an=×(-1)n-1. (2)若b1=0,an-1+bn=1(n≥2),证明{an}为等差数列,并求{an}和{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:当n≥2时,由an+bn-1=3,得an+1+bn=3, 又因为an-1+bn=1, 所以an+1-an-1=2(n≥2). 因为b1=0,所以a2=3, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则{a2k-1}是以a1=2为首项,2为公差的等差数列,a2k-1=2+(k-1)×2=2k, k∈N*; {a2k}是以a2=3为首项,2为公差的等差数列,a2k=3+(k-1)×2=2k+1,k∈N*. 综上所述,an=n+1. 所以an-an-1=(n+1)-n=1,n≥2, 故{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,即an=n+1. 当n≥2时,bn=1-an-1=1-n,且b1=0满足bn=1-n, 所以bn=1-n. 13 [C组　素养培优练] 13.记Sn为数列的前n项和,且满足2Sn+1=3Sn+2an. (1)试问数列是否为等比数列,并说明理由; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由已知2Sn+1=3Sn+2an,得Sn+1+Sn+an+1=3Sn+2an, 整理为Sn+1+an+1=2(Sn+an), 若an=0,则Sn=0,Sn+an=0,此时数列不是等比数列, 若an≠0,若Sn+an=0,则S1+a1=2a1=0,与an≠0矛盾,所以Sn+an≠0, 则=2,数列是公比为2的等比数列; 综上可知,当an=0时,数列不是等比数列, 当an≠0时,数列是公比为2的等比数列. 13 (2)若a1=2,求的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)若a1=2,数列的首项为S1+a1=2a1=4, 所以Sn+an=4×2n-1=2n+1,① 当n≥2时,Sn-1+an-1=2n,② ①-②得an+an-an-1=2n,即an=an-1+2n-1, 则an+λ·2n=(an-1+λ·2n-1),得an=an-1+λ·2n-2-λ·2n, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以λ·2n-2-λ·2n=2n-1,得λ=-, 所以, 所以数列,公比为的等比数列, 所以an-·2n=·,即an=··2n,所以an=. 13 $$