第4章 单元练2 (范围4.3—4.4)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第4章　数列 单元练2　(范围4.3—4.4) 2.已知在正项等比数列中,a1·a5=16,a4=8,则a5=(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 在正项等比数列中,=a1·a5=16,解得a3=4,而a4=8,则公比q==2,所以a5=a4q=16. 3.“m=2”是“1,m,4成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 因为1,m,4成等比数列,所以m2=1×4=4,解得m=±2, 所以“m=2”是“1,m,4成等比数列”的充分不必要条件. 4.“勾股数”是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示,以边长为4的正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形,如此继续,若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96,则“勾股树”上所有正方形的个数为(　　) A.63 B.64 C.127 D.128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 设第n次向外作的正方形的个数为an,数列的前n项和为Sn, 由题意可得第n次向外作的正方形面积和与第n-1次 向外作的正方形面积和相等, 即每次向外作的正方形面积和为16,而=5,故向外作了5次正方形,又因为an+1=2an,a1=2,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,则an=2n, 则S5==62,所以“勾股树”上所有正方形的个数为62+1=63. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设数列是递增的等比数列,公比为q,前n项和为Sn.若a2+a4=10,qS3=14,则S5=(　　) A.31 B.32 C.63 D.64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 由题意可得整理得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=, 而a1=>0,且数列是递增的等比数列,所以q=不符合题意, 所以q=2,则a1=1,故S5==31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若等比数列的各项均为正数,且,,a3成等差数列,则=(　　) A.-1 B.3 C.9 D.27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 设数列的公比为q>0, 由,,a3成等差数列,故, 即有,化简得q2-2q-3=0,解得q=3或q=-1(舍), 故=q3=33=27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列的前n项和Sn满足Sn=1-2an(n∈N*),则Sn的取值范围是(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 由题意知Sn=1-2an,则S1=a1=1-2a1⇒a1=,且Sn-1=1-2an-1(n≥2), 两式相减得:3an=2an-1,因为a1=,所以an≠0,故, 则数列,公比为q=的等比数列,所以Sn=<1, 由于y=随n的增大而减小,故Sn单调递增,所以Sn≥S1=, 综上,Sn∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列满足a1=0,a2=a3=1,令bn=an+an+1+an+2(n∈N*).若数列是公比为2的等比数列,则a2 024=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 b1=a1+a2+a3=0+1+1=2,数列是公比为2的等比数列,则bn=2n, 即an+3-an=an+1+an+2+an+3-(an+an+1+an+2)=bn+1-bn=2n+1-2n=2n, a2 024=(a2 024-a2 021)+(a2 021-a2 018)+(a2 018-a2 015)+…+(a5-a2)+a2 =22 021+22 018+22 015+…+22+1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知等比数列{an}满足a1+a2=6,a4=2a2+a3,设其公比为q,前n项和为Sn,则( 　　) A.q=2 B.an=2n C.S10=2 048 D.Sn≥an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 15 16 对于A,由a4=2a2+a3,得a4+a3=2(a2+a3),所以q=2,A正确; 对于B,又因为a1+a2=6,所以a1+2a1=6,故a1=2,所以an=2×2n-1=2n,B正确; 对于C,Sn==2n+1-2,所以S10=211-2=2 046,C错误; 对于D,因为Sn-an=2n+1-2-2n=2n-2,因为n≥1且n∈N*,所以2n-2≥0,即Sn≥an,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选)已知无穷数列的前3项分别为2,4,8,…,则下列叙述正确的是(　 　) A.若是等比数列,则an=2n B.若满足an+3=an,则a2 024=8 C.若满足an+3=an,则a2 024=4 D.若满足an+1=2n+an,则an=n2-n+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 15 16 选项A,若是等比数列,则公比q==2,an=2×2n-1=2n,A正确; 选项B,C,若满足an+3=an,则a2 024=a3×674+2=a2=4,B错,C正确; 选项D,若满足an+1=2n+an,则an+1-an=2n, 所以n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2+4+…+2(n-1)= 2+=n2-n+2, 又a1=2适合上式,因此D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知数列的前n项和为Sn,首项a1=2,且满足an+1+an=4·3n,则下列四个结论中正确的是(　　) A.数列是等比数列 B.S5=362 C.S2n= D.Sn+1-Sn=3n+1+(-1)n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BCD 15 16 对于A选项,取n=1,得a2+a1=4×31=12,又因为a1=2,所以a2=10, 取n=2,得a3+a2=4×32=36,所以a3=36-10=26,显然≠a1·a3, 即数列一定不是等比数列,所以A错误; 对于B选项,取n=2,得a3+a2=4×32=36,取n=4,得a5+a4=4×34=324,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=362,所以B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C,D选项,由an+1+an=4·3n,得=-1, 又a1-3=-1,所以是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以an-3n=(-1)·(-1)n-1=(-1)n,所以an=3n+(-1)n, Sn=,S2n=, Sn+1-Sn=an+1=3n+1+(-1)n+1,所以C,D均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若为等比数列,4和16为其中的两项,则4和16的等比中项为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ±8 15 16 令4和16的等比中项为x,则x2=4×16=64⇒x=±8. 13.已知等比数列的前n项和为Sn,且a2=3,a5=81,则S5=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 121 13 15 16 设公比为q,故q3==27,解得q=3,所以a1==1,故S5==121. 14.已知公比q≠1的等比数列满足a3,a9,a6成等差数列,设的前n项和为Sn,则=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a3,a9,a6成等差数列得a3+a6=2a9,即a3+a3q3=2a3q6,因为a3≠0, 所以1+q3=2q6,解得q3=1(舍去)或q3=-, 易知S9,S18-S9,S27-S18成等比, 所以S27=S9(1+q9+q18)=S9S9,所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知数列满足a1=4,且对于任意m,n∈N*,都有aman=am+n. (1)证明为等比数列,并求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明:取m=1,则由aman=am+n,得an+1=a1an. 因为a1=4,所以an+1=4an,所以是以4为首项,4为公比的等比数列,故an=a1qn-1=4n. (2)若bn=,求数列{bnbn+1}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解:由(1)可知bn=, 则bnbn+1=, 故Sn=. 16.已知数列满足a1=1,an+1=2an+1,数列的前n项和Sn满足4Sn=(2n+1)bn+1. (1)求,的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:(1)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1). 因为a1=1,所以an+1>0, 所以=2, 所以是首项为2,公比为2的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1. 当n=1时,由4S1=(2+1)b1+1,解得:b1=1, 当n≥2时,由4Sn=(2n+1)bn+1,① 得4Sn-1=(2n-1)bn-1+1,② ①-②,得4bn=(2n+1)bn-(2n-1)bn-1, 即(2n-3)bn=(2n-1)bn-1, 即. 所以·…=2n-1, 所以bn=2n-1, 因为b1=1符合上式,所以bn=2n-1(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设cn=(an+1)·(bn+2),求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解: (2)由(1)知,cn=2n(2n+1). 所以Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,③ 所以2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,④ ③-④,得-Tn=6+2(22+23+24+…+2n)-(2n+1)×2n+1, =6+-(2n+1)×2n+1=-2+(1-2n)×2n+1, 所以Tn=(2n-1)2n+1+2. $$