第4章 单元练1 (范围4.1—4.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第四章　数列 学习单元1　数列的概念　等差数列　 单元练1　(范围4.1—4.2) 2.数列2,0,2,0,…的一个通项公式是(　　) A.an=1+(-1)n B.an=2|n-2| C.an=2sin D.an=1-cos nπ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 15 对于A,当n为奇数时,an=0,与数列2,0,2,0,…不符; 对于B,当n=4时,an=4,与数列2,0,2,0,…不符; 对于C,当n=3时,an=-2,与数列2,0,2,0,…不符; 对于D,当n为奇数时,an=2,当n为偶数时,an=0,与数列2,0,2,0,…相符. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.记Sn为等差数列的前n项和,若a3+a7=10,a5a6=35,则S6=(　　) A.20 B.16 C.14 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 15 ∵是等差数列, ∴a3+a7=2a5=10,a5=5,∴a6==7, ∴公差d=a6-a5=2, ∴a1=a5-4d=-3, ∴S6=6×(-3)+×2=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在中国文化中,竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代,早在新石器时代晚期,人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品,比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料,这九种竹筒的容积a1,a2,…,a9(单位:L)依次成等差数列.若a1+a2+a3=3,a8=0.4,则a1+a2+…+a9=(　　) A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 ∵a1,a2,…,a9依次成等差数列,a1+a2+a3=3,∴3a2=3,即a2=1,又a8=0.4, 则a1+a2+…+a9==6.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具,其中最简单的二阶行列式的运算定义如下:=a11a22-a21a12,已知Sn是等差数列的前n项和,若=0,则S11=(　　) A.44 B.48 C.88 D.96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 15 由题意得,=1×a5-1×(8-a7)=0,即a5+a7=8,∴a6=4,∴S11==11a6=44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知数列,a1=-1,则a2 025=(　　) A.-1 B. C.2 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 15 由于an+1=,且a1=-1,则a2=,a3==2,a4==-1,a5=,a6==2,…,由此不难发现,数列的项具有周期性,且最小正周期为3,故a2 025=a3×675=a3=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知公差小于0的等差数列的前n项和为Sn,若a3=a1+a10,则当Sn最大时的n值为(　　) A.6或7 B.7或8 C.6或8 D.8或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 设等差数列的公差为d,d<0, 由于a3=a1+a10,所以a1+2d=a1+a1+9d,a1+7d=0,也即a8=0, 所以等差数列的前8项为非负数,从第9项起为负数, 所以当Sn最大时的n值为7或8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知数列满足a1=1,且an+1=an+2,数列满足b1=1,且bn+1-bn=an+1,则的最小值为(　　) A. B.5 C.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 15 由题意得数列满足a1=1,且an+1=an+2,所以数列是等差数列,且an=1+2(n-1)=2n-1,所以bn+1-bn=an+1=2n+1, 当n≥2,n∈N*时,bn=(bn-bn-1)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1)+…+3+1 ==n2. 又因为b1=12=1,所以bn=n2,n∈N*, 所以,当且仅当n=时,等号成立,而2<<3,所以当n=2或n=3时,取最小值, 当n=2时,=5,当n=3时,=5,综上所述,的最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选)已知等差数列的前n项和为Sn,公差为d,且a2+a6=2,a5<0,则(　　) A.a4=1 B.S7=7 C.a1<0 D.d>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 13 14 15 因为等差数列的前n项和为Sn,公差为d,且a2+a6=2,a5<0, 由等差中项的性质可得a2+a6=2a4=2,可得a4=1, S7==7,A,B对; 因为a5<0,则d=a5-a4<0,a1=a4-3d>0,C,D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选)设数列的前n项和为Sn,=-1,S1=32,则下列说法正确的是(　 　) A.an=34-2n,n∈N* B.S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为-8 C.Sn取得最大值时n=16 D.Sn≥0时,n的最大值为33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 15 由题意=-1,S1=32, 得数列=32为首项,d=-1为公差的等差数列, 所以=32-(n-1)=33-n,即Sn=n(33-n). 对于C,因为开口向下的二次函数y=x(33-x)=-x2+33x的对称轴为x=, 所以当n=16或n=17时,Sn取得最大值,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A,由Sn=n(33-n),得a1=S1=32,Sn-1=(n-1)(34-n),n≥2,n∈N*, 所以an=Sn-Sn-1=n(33-n)-(n-1)(34-n)=34-2n,n≥2,n∈N*, 而a1=34-2×1=32,所以an=34-2n,n∈N*,故A正确; 对于B,由Sn=n(33-n),得S2=62,S4-S2=116-62=54,S6-S4=162-116=46, 所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,公差为-8,故B正确; 对于D,由Sn=n(33-n)≥0得0≤n≤33,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知数列的首项为a1=1,递推公式为an=1+(n≥2,n∈N*), 则a4=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意a2=1+=2,a3=1+,a4=1+. 15 12.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如表.观察表中数据的特点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则a=　　　　　,b=　　　　　.  140　 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(水 银柱毫米) 110 115 120 125 130 135 a 145 舒张压(水 银柱毫米) 70 73 75 78 80 83 b 88 85 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知,表格中的收缩压形成一个等差数列,公差为5,故a=135+5=140; 表格中的舒张压奇数项形成一个等差数列,公差为5,故b=80+5=85. 13 14 15 13.已知等差数列的前n项和为Sn,且a3-a5=a4=4. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)记的公差为d,因为a3-a5=-2d=4,所以d=-2, 因为a4=a1+3×(-2),所以a1=10, 所以an=a1+(n-1)×(-2)=12-2n. 15 (2)求Sn的最大值及取得最大值时n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)因为Sn= 所以,当n取与最接近的整数即5或6时,Sn最大, 最大值为S5=S6=30. 15 14.已知在非零数列中,a1=1,an-an-1=-anan-1(n≥2,n∈N*),数列的前n项和Sn=3n2+8n. (1)证明:数列为等差数列; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)证明:因为在非零数列中,a1=1,an-an-1=-anan-1(n≥2,n∈N*), 两边同时除以anan-1,可得, 所以.又因为a1=1,所以=1, 所以是以1为首项,以为公差的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若数列+bn+1,求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解:因为数列的前n项和为Sn=3n2+8n,所以b1=11, 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=3n2+8n-3(n-1)2-8(n-1)=6n+5, 又bn=6n+5对n=1也成立,所以bn=6n+5; 由(1)可知,=1+(n-1)×, 所以cn=+bn+1=n+1+6n+5+1=7n+7, 所以cn+1-cn=7(n+1)+7-7n-7=7,可知为等差数列, 所以Tn=. 15 15.设数列的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,总存在k∈N*,使得Sn=ak,则称是“M数列”. (1)判断数列(n∈N*)是不是“M数列”,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解:(1)数列不是“M数列”,理由如下: ∵an=3n,当n=2时,S2=3+9=12,此时找不到k∈N*,使得ak=12, ∴数列不是“M数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设是等差数列,其首项b1=1,公差d∈N*,且是“M数列”. ①求d的值和数列的通项公式; ②设cn=,直接写出数列中最小的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解: (2)①是等差数列,且首项b1=1,公差d∈N*, 则bn=1+(n-1)d,Sn=n+d, 故对任意n∈N*,总存在k∈N*,使得n+d=1+(k-1)d成立, 则k=+1,其中+1为非负整数, 要使k∈N*,需要恒为整数,即d为所有非负整数的公约数, 又d∈N*,∴d=1,∴bn的通项公式为bn=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ②∵cn=,∴cn==4(n+1)+. 由y=4t+为减函数,在t∈为增函数, 当n+1=2时,cn=;当n+1=3时,cn=. ∴当n=2时,cn有最小值,即数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$