5.1.2 第1课时 导数的概念-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

5.1　导数的概念及其意义 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 第五章　一元函数的导数及其应用 学习单元3　导数的概念及其意义　导数的运算 知识点1　函数的平均变化率 内容索引 知识点2　导数的概念 知识点3　导数在实际问题中的意义 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　函数的平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0),我们把比值,即叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的　　　　　.  平均变化率 　已知函数y=f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率; [分析]　根据函数平均变化率的计算方法即可. 例1 [解]　(1)∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx), ∴函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=4x0+2Δx. (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率. [分析]　根据函数平均变化率的计算方法即可. [解]　(2)由(1)可知=4x0+2Δx, 当x0=2,Δx=0.01时, =4×2+2×0.01=8.02, 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02. 求函数平均变化率的主要步骤 1.先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). 2.再计算自变量的改变量Δx=x2-x1. 3.得平均变化率. 思维提升 1.(多选)设函数y=f(x),当自变量x由x0变化到x0+Δx时,下列说法正确的是(　 　) A.Δx可以是正数也可以是负数,但不能为0 B.函数值的改变量Δy为f(x0+Δx)-f(x0) C.函数f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为f(x0)·Δx D.函数f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均变化率 跟踪训练 ABD 由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零,可以为正数或负数, 函数值的改变量Δy为f(x0+Δx)-f(x0),平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量,即A,B,D正确. 2.(多选)下列函数在区间上的平均变化率是正数的有(　　) A.y=x　　　B.y=x2　　　C.y=x3　　　D.y= ABC 对于A,=1>0,故A正确; 对于B,=2.3>0,故B正确; 对于C,=3.99>0,故C正确; 对于D,≈-0.77<0,故D错误. 知识点2　导数的概念 如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处　　 ,并把这个确定的值叫做y=f(x)在　　　　处的 　　　(也称为瞬时变化率),记作　　　　　或y',即f'(x0)=.  可导 x=x0 导数　 f'(x0) 　求函数y=x-在x=1处的导数. [分析]　根据y=f(x)在x=x0处的导数的定义计算. 例2 [解]∵Δy=(1+Δx)-, ∴, ∴=2. 从而y'|x=1=2. 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 1.求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 2.求平均变化率. 3.求极限. 思维提升 3.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于(　　) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 跟踪训练 D 因为, 所以f'(m)=, 所以-,m2=4,解得m=±2. 4.已知函数y=f(x),f'(5)=-1, 则=(　　) A.- B.2 C.-1 D.-2 D ∵f'(5)=-1,∴=-1. 又∵==-1, ∴= 2=-2, 即=-2. 知识点3　导数在实际问题中的意义 　某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:万元)与产量x(单位:千台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7x+6.求c'(1)与c'(2),并说明它们的实际意义. 例3 [解]　设x=1时产量的改变量为Δx, 则=-2Δx+3, c'(1)= (-2Δx+3)=3, 设x=2时产量的改变量为Δx, 则=-2Δx-1, c'(2)=(-2Δx-1)=-1. c'(1)的实际意义:当产量为1 000台时,多生产1台旋切机可多获利3万元; c'(2)的实际意义:当产量为2 000台时,多生产1台旋切机少获利1万元. 导数的意义是:函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它在x=x0处的瞬时变化率. 思维提升 5.已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)=105+104t-103t2. (1)求f'(10). 跟踪训练 解:(1)由函数f(t)=105+104t-103t2, 当h≠0时,在使用杀菌剂10小时附近的时间段(h>0)内,可得细菌数量关于时间的平均变化率为= =-104-103h, 当h趋近于0,就得到f'(10)=(-104-103h) =-104=-10 000. (2)f'(10)的实际意义是什么? 解:(2)f'(10)的实际意义是细菌数量在t=10时的瞬时变化率,它表明在t=10附近,细菌数量大约以每小时104的速率减少. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位:m,时间单位:s),则s'(4)=10 m/s表示的意义是(　　) A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s D 2.f(x)=x2在x=1处的导数为(　　) A.2x　　　　　　　　　 B.2 C.-2 D.±2 B =(2+Δx)=2. 3.已知函数f(x)=-x2,则=(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 D 因为f(x)=-x2,则 (-4-h)=-4. 4.函数y=3x2-2在x=1处的导数为　　　　.  6 f'(1)== =6. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(　　)   A.1　　　　　　　　　　 B.-1 C.2 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B =-1. 2.函数y=x3在x=1处的导数为(　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 由题意得:=3x2+3Δx·x+(Δx)2, 所以=3x2,所以y'|x=1=3,故C项正确. 3.(多选)若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值(　　) A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 由导数的定义可知,函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关. 4.已知y=,则y'|x=1=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知,Δy=,∴, ∴y'|x=1= =. 5.已知函数y=f(x)=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8,则f(x0)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 由题知-8=(2Δx+4x0)=4x0,得x0=-2, 所以f(x0)=f(-2)=2×(-2)2+1=9. 6.已知函数f(x)=ax2-ax+b,f'(1)=1且f(1)=2,求f(x)的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:f'(1)== =a. ∵ ∴f(x)=. 7.在烟花制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:m)与时间(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后多长时间达到最高点? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设烟花达到最高点时的时刻为t0, 根据瞬时速度的定义知Δh=h(t0+Δt)-h(t0)=-4.9(t0+Δt)2+14.7(t0+Δt)+18-(-4.9+14.7t0+18)=(-9.8t0+14.7)Δt-4.9(Δt)2, 故瞬时速度为(-9.8t0+14.7-4.9Δt)=-9.8t0+14.7, 令-9.8t0+14.7=0, 解得t0==1.5, 故烟花冲出1.5 s后达到最高点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.若函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a,则的值为(　　) A.0 B.a C.2a D.3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 由已知得 = =2f'(x0)=2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间上的平均变化率情况是(　　) A.在区间上的平均变化率最小 B.在区间上的平均变化率大于0 C.在区间上的大 D.在区间上的平均变化率最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 函数f(x)在区间上的平均变化率为,由函数图象可得,在区间上,<0,即函数f(x)在区间上的平均变化率小于0;在区间,,上时,>0且Δx相同,由图象可知函数在区间最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.函数y=2x+1在x=1处的导数为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 由导数的定义可知函数y=2x+1在x=1处的导数为= 2=2. 11.二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f'(x),已知f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,求的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由导数的定义,得f'(0)== (a·Δx+b)=b>0. ∴=2. 当且仅当a=c=时等号成立, ∴的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.一辆正在加速的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h.表格给出了它在不同时刻的速度,为了方便起见,已将速度单位转化成了m/s,时间单位为s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/(m/s) 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0 s变到1 s、从3 s变到5 s时,速度v关于时间t的平均变化率,并解释它们的实际意义; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当t从0 s变到1 s、从3 s变到5 s时,速度v关于时间t的平均变化率分别为=9m/s2,=2m/s2, 它们分别表示在相应的时间内,时间每经过1 s,速度增加9 m/s和2 m/s,也就是加速度分别为9m/s2,2m/s2. (2)根据表格中的数据,可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为v=v(t)=-t2+10t,求v'(1),并解释它的实际意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)∵==-Δt+8, ∴v'(1)=(-Δt+8)=8m/s2, 它的意义是在t=1 s这一时刻,每过1 s,汽车的速度增加8 m/s,也就是这一时刻汽车的加速度为8 m/s2. 又,∴c>0, $$