4.4 数学归纳法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.4*　数学归纳法 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　数学归纳法的理解 内容索引 知识点2　用数学归纳法证明等式 知识点3　用数学归纳法证明不等式 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　归纳—猜想—证明 2 知识点1　数学归纳法的理解 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 1.归纳奠基:证明当                                时命题成立; 2.归纳递推:以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当 　　　　　　时命题也成立”.  只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. n=n0(n0∈N*) n=k+1 　用数学归纳法证明“对任意的n∈N*,都有1-+…++…+,”第一步应该验证的等式是(　　) A.1- B.1- C.1= D.1- [分析]　根据数学归纳法的知识确定正确答案. 例1 D 在等式1-+…++…+,n∈N*中, 当n=1时,2n=2,故等式的左边为1-,右边为. 所以第一步应该验证的等式是1-. 　用数学归纳法证明:1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下, (1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. [分析]　根据数学归纳法的步骤,在证明n=k+1时等式也成立时,必须用到归纳假设. 例2 (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明,错误的是　　　　　.  [分析]　根据数学归纳法的步骤,在证明n=k+1时等式也成立时,必须用到归纳假设. [答案]　未用归纳假设 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符. 数学归纳法的框图表示 思维提升 1.用数学归纳法证明“对任意的n∈N*,12+22+32+…+(2n)2=”,第一步应该验证的等式是(　　) A.12= B.12+22= C.12+22+32= D.12+22+32+42= 跟踪训练 B 因n∈N*,则第一步应验证当n=1时,12+22=是否成立. 2.用数学归纳法证明:f(n)=1++…+(n∈N*)的过程中,从n=k到n=k+1时,f(k+1)比f(k)共增加了(　　) A.1项　　　　　　　　　 B.2k-1项 C.2k+1项 D.2k项 D 因为f(n)=1++…+, 所以f(k)=1++…+,共2k项, 则f(k+1)=1++…++…+共2k+1项, 所以f(k+1)比f(k)共增加了2k+1-2k=2k项. 知识点2　用数学归纳法证明等式 　用数学归纳法证明:1-+…++…+(n∈N*). [分析]　用数学归纳法证明时,第二步要证明的是“n=k时等式成立”为条件,得出“当n=k+1时,等式也成立”的命题,证明时必须用到上述条件. 例3 [证明]　①当n=1时,左边=1-,右边=,等式成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 1-+…++…+, 那么当n=k+1时, 1-+…++…+ =+…+ =+…+. 上式表明当n=k+1时,等式也成立. 由①②知,等式对一切n∈N*均成立. 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构,即 1.当n=n0时,等式的结构. 2.当n=k到n=k+1时,两个式子的结构:n=k+1时的代数式比n=k时的代数式增加(或减少)的项.这时一定要弄清三点: (1)代数式从哪一项(哪一个数)开始,即第一项. (2)代数式相邻两项之间的变化规律. (3)代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 思维提升 3.用数学归纳法证明:+…+(n为正整数). 证明:当n=1时,左侧=,右侧=2-,显然成立, 假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即+…+, 当n=k+1时,+…+, 即当n=k+1时,等式也成立, 综上可得,+…+(n∈N*). 跟踪训练 知识点3　用数学归纳法证明不等式 　用数学归纳法证明:+…+(n≥2,n∈N*). [分析]　利用数学归纳法进行证明,利用n=k时已成立的不等式进行变形即可. 例4 [证明]　(1)当n=2时,左边=,右边=1-,所以不等式成立. (2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即+…+, 则当n=k+1时, +…+ =1-. 所以当n=k+1时,不等式也成立. 综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立. 用数学归纳法证明不等式的四个关键 1.验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1. 2.证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设. 思维提升 3.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. 4.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、放缩法等. 4.设数列的前n项和为Sn,且an与-4n的等差中项为Sn-an. (1)证明:数列是等比数列; 跟踪训练 证明:(1)依题意得2Sn-2an=an-4n, ∴2Sn=3an-4n. 当n=1时,a1=4, 当n≥2时,2Sn-1=3an-1-4n+4, ∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1-4. 2an=3an-3an-1-4,得到an=3an-1+4,可变形为an+2=3(an-1+2), ∵a1+2=6≠0. ∴=3, ∴数列是等比数列. (2)设bn=log3,证明: …. 证明: (2)由(1)得an+2=6·3n-1=2·3n, ∴bn=log3=n, 即证明:…> . 下面用数学归纳法证明此不等式: ①当n=1时,不等式左边=2>,不等式成立 ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即: …, 那么,当n=k+1时,左边=…·, 要证·, 只要证. ∵k≥1,∴, ∴. 所以不等式·成立. 即当n=k+1时不等式成立 综合①②原不等式对一切正自然数n成立. 知识点4　归纳—猜想—证明 　已知数列满足a1=1,an+1+anan+1-an=0(n∈N*). (1)求a2,a3,a4; [分析]　(1)首先根据题意得到an+1=,再求a2,a3,a4即可. 例5 [解]　(1)由an+1+anan+1-an=0可知an+1=, 当n=1时,代入a1=1,解得a2=; 当n=2时,代入a2=,解得a3=; 当n=3时,代入a3=,解得a4=. (2)试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. [分析]　(2)首先猜想数列,再利用数学归纳法证明即可. [解]　(2)猜想数列. 当n=1时,左边=a1=1,右边==1,an=成立. 假设当n=k(k∈N*)时,ak=成立. 则当n=k+1时,有ak+1=, 即当n=k+1时,an=也成立. 所以an=对任何n∈N*都成立. 1.利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”. 2.“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式. 思维提升 5.已知数列的前n项和为Sn,且S1=1,Sn-1+an=n2(n∈N*,n≥2). (1)求a2,a3,a4; 跟踪训练 解:(1)∵Sn-1+an=n2(n∈N*,n≥2),S1=a1. ∴当n=2 时,S1+a2=4,即a2=3, 当n=3 时,S2+a3=9,∴a1+a2+a3=9,即a3=5, 当n=4 时,S3+a4=16,∴a1+a2+a3+a4=16,即a4=7, 故a2,a3,a4分别为3,5,7. (2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. 解: (2)猜想an=2n-1,理由如下: ∵Sn-1+an=n2(n∈N*,n≥2), n=1时,由题知,a1=1,猜想成立, 假设n=k(k∈N*,k≥2)时,ak=2k-1, 则Sk-1+ak=k2,所以Sk+ak+1=(k+1)2, 两式相减得:Sk+ak+1-Sk-1-ak=(k+1)2-k2, 即ak+1=2k+1=2(k+1)-1, ∴n=k+1时an=2n-1成立, 综上所述,任意n∈N*,有an=2n-1. 〈课堂达标·素养提升〉 1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 C 因为1+a+a2+…+an+1=,当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2. 2.用数学归纳法证明不等式:+…+,从n=k到n=k+1时,不等式左边需要增加的项为(　　) A. C. D 根据数学归纳法可知: 当n=k时,+…+, 当n=k+1时,+…+. 相比从n=k到n=k+1,可知多增加的项为. 3.某个与正整数有关的命题:如果当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得(　　) A.当n=4时命题不成立 B.当n=6时命题不成立 C.当n=4时命题成立 D.当n=6时命题成立 A 因为当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立. 4.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为 　　　 　　　　　　　　　　.  1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 当n=k+1时, 表达式左边为 1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4), 表达式右边为(k+1)(k+2)2, 则当n=k+1时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组　必备知识练] 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步应验证 (　　) A.当n=1时,不等式成立 B.当n=2时,不等式成立 C.当n=3时,不等式成立 D.当n=4时,不等式成立 C 由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.用数学归纳法证明+…+时,从n=k(k∈N*)到n=k+1,不等式左边需添加的项是(　　) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n=k(k∈N*)时,所假设的不等式为+…+, 当n=k+1时,要证明的不等式为+…+, 故需添加的项为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.对于不等式 <n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: ①当n=1时, <1+1,不等式成立. ②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1, ∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成(　　) A.假设n=2k+1(k∈N*)正确,再推n=2k+3正确 B.假设n=2k-1(k∈N*)正确,再推n=2k+1正确 C.假设n=k(k∈N*)正确,再推n=k+1正确 D.假设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据数学归纳法的证明步骤,注意n为奇数, 所以第二步归纳假设应写成:假设n=2k-1(k∈N*)正确,再推n=2k+1正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.用数学归纳法证明:1++…+<n(n∈N*,n>1) 时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是　　　　　.  2·3k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知n=k时,左边式子为1++…+, n=k+1时,左边式子为1++…++…+, 故增加的项数为3k+1-3k=2·3k . 6.存在常数a,b,c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n成立,则a+b+c=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 13 14 令n=1,则1·22=(a+b+c),则a+b+c=24. 7.用数学归纳法证明1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)(n为正整数). 证明:设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1. (1)当n=1时,左边=1,右边=×1×(1+1)×(1+2)=1,等式成立; (2)设当n=k时等式成立,即f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则当n=k+1时, f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1 =f(k)+1+2+3+…+k+(k+1) =k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3). ∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知数列{an}中,,其中n≥2,且n∈N*,a1=. (1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通项公式an; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)解:由题意可得a2=a1·, 同理可得a3=,a4=-, 猜想an=(n∈N*). (2)证明(1)中的猜想. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)证明:显然当n=1时,猜想成立, 假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k∈N*), 当n=k+1时,由, 可得ak+1=-·ak=-· =(k∈N*), 即当n=k+1时,猜想成立, 综上所述,an=(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*).依次计算a2,a3,a4,归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 a1=2,a2=,a3=,a4=,…, 可推测an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知Sn为数列的前n项和,且an+1=2-(n∈N*),则(　 　) A.存在a1,使得S2=2 B.可能是常数列 C.可能是递增数列 D.可能是递减数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 因为Sn为数列的前n项和,且an+1=2-(n∈N*), 对于A选项,取a1=1,则a2=2-=1,则S2=a1+a2=2,A对; 对于B选项,取a1=1,则a2=2-=1,a3=2-=1,…, 以此类推可知,对任意的n∈N*,an=1,所以,可能是常数列,B对; 对于C选项,假设数列为递增数列,则对任意的n∈N*,an+1=2->an, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即an-2+<0,所以,an<0对任意的n∈N*恒成立, 但当an<0时,an+1=2->0,矛盾,故数列不可能是递增数列,C错; 对于D选项,取a1=2,则a2=2-,a3=2-,…, 猜想,an=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n=1时,猜想成立, 假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=, 则当n=k+1时,ak+1=2-, 这说明当n=k+1时,猜想也成立,故对任意的n∈N*,an=, 此时,数列为单调递减数列,D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.用数学归纳法推断2n>n2时,正整数n的第一个取值应为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 13 14 根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立. 结合本题,要验证n=1时,左=21=2,右=1,2n>n2成立. n=2时,左=22=4,右=4,2n>n2不成立, n=3时,左=23=8,右=9,2n>n2不成立, n=4时,左=24=16,右=16,2n>n2不成立, n=5时,左=25=32,右=25,2n>n2成立, 当n≥5成立,所以2n>n2恒成立. 所以n的第一个取值应是5. 12.用数学归纳法证明“+…+(n∈N*)”,推证当n=k+1等式也成立时,只需证明等式　　　　　　成立即可.  答案: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 假设n=k时成立,即+…+成立, 当n=k+1时, +…+, 故只需证明“”成立即可. 13 14 13.如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求a1,a2,a3的值及数列的递推公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设P1(t,t),t>0,则=3t,解得t=1,所以A1(2,0),所以a1=2,设P2(2+m,m),m>0,则=3(2+m),解得m=2, 所以A2(6,0),所以a2=6, 设P3(6+n,n),n>0,则=3(6+n),解得n=3, 所以A3(12,0),所以a3=12, 设Pn(an-1+λ,λ),λ>0,所以An(an-1+2λ,0), 所以=2(an-1+an). 13 14 (2)猜想点An(an,0)的横坐标an关于n的表达式,并用数学归纳法证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)根据a1=1×2,a2=2×3,a3=3×4,猜想an=n(n+1). 下面用数学归纳法证明an=n(n+1): ①当n=1时,猜想显然成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k(k+1), 则当n=k+1时,因为=2(ak+ak+1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以=2[k(k+1)+ak+1], 即-2(k2+k+1)ak+1+k(k+1)·(k-1)(k+2)=0, 解得ak+1=(k+1)(k+2)或ak+1=k(k-1)<ak(不合题意,舍去), 即当n=k+1时,猜想也成立. 由①②得对一切的n∈N*猜想均成立. 13 14 [C组　素养培优练] 14.某企业自2022年9月以来的第n个月(2022年9月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量与出口量的和)分别为bn,cn和an(单位:万件),依据销售统计数据发现形成如下营销趋势:bn+1=s·an,cn+1=an+t(其中s,t为常数),已知a1=1万件,a2=1.5万件,a3=1.875万件. (1)求s,t的值,并写出an+1与an满足的关系式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)依题意可得an+1=bn+1+cn+1=san+an+t, 所以,a2=sa1+a1+t,① a3=sa2+a2+t,② 联立①②可得s=1,t=-,所以,an+1=2an-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)利用数学归纳法证明销售总量an一直小于2万件,并判断总销量是否逐月递增,说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)因为a1=1∈(0,2),a2=∈(0,2),猜想,对任意的n∈N*,an∈(0,2), 假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即0<ak<2, 则当n=k+1时,ak+1=2ak-+2∈(0,2), 这说明,当n=k+1时,猜想也成立,故对任意的n∈N*,an∈(0,2). 因为an+1=2an-,则an+1-an=an-an(an-2)>0,即an+1>an, 因此,数列为单调递增数列,即总销量逐月递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$