4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 第四章　数列 学习单元2　等比数列　数学归纳法　 知识点1　等比数列的前n项和公式 内容索引 知识点2　等比数列前n项和的性质 知识点3　等比数列前n项和公式的函数特征 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn= Sn= 微提醒: (1)用等比数列前n项和公式求和,一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数. (3)公式二中的a1表示数列的第一项,an表示数列的最后一项. 　在等比数列{an}中, (1)a1+a3=10,a4+a6=,求S5; [分析]　对于第(1)小题,将已知条件转化,求出首项和公比,代入求和公式. 例1 [解]　设等比数列{an}的公比为q. (1)法一:由题意,知 从而S5=. 法二:由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=. 又因为a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5=. (2)S2=30,S3=155,求Sn; [分析]对于第(2)小题,可以直接利用前n项和的定义写出已知条件,从而避免立方差公式记忆不清或者使用等比数列前n项和公式不注重分类讨论带来的隐患. [解]　(2)由题意,知 解得 从而Sn=. (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q. [分析] 对于第(3)小题,可以根据等比数列的性质构造一元二次方程,求出a1和an的值,由前n项和公式求出公比q. [解]　(3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两个根, 从而 又因为Sn==126, 所以q=2或. 等比数列前n项和运算的技巧 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答.有时会用到整体代换,如qn,都可看作一个整体. 2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 思维提升 1.(多选)已知在等比数列中,a3=7,前三项之和S3=21,则S5的值可能是(　　) A.35　　　　　　　　　 B.- C. D.1 跟踪训练 AC 设等比数列an=a1qn-1(q≠0),则有a3=a1q2=7,即a1=, S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)==21, 即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-, 当q=1时,则an=a3=7,故S5=5×7=35; 当q=-时,an=a3qn-3=7×, 则a1=28,S5=. 2.已知等比数列的各项均为正数,其前n项和为Sn,若 a2a4=1,S3=7,则 S5=　　　　　.  由题知等比数列的各项均为正数,即an>0,设其公比为q,则q>0, 因为a2a4=1,S3=7,所以a1q·a1q3=q4=1,即a1=,S3=7=a1+a2+a3, 即a1(1+q+q2)=7,即1+q+q2=7q2,即6q2-q-1=0,即(3q+1)(2q-1)=0, 故q=或q=-(舍去),则a1==4, 所以S5=. 知识点2　等比数列前n项和的性质 1.数列{an}是公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,　　　　　仍构成等比数列.  2.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+　　　　　(n,m∈N*).  S3n-S2n qnSm 3.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: (1)在其前2n项中,=q; (2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=(q≠-1). 　(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　　;  例2 2 (1)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80, ∴S奇=-80,S偶=-160, ∴q==2. (2)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　;  2 9 (2)由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,∴q=2,设这个数列共有2n+1项,则S2n+1==341+170=511,解得n=4,即这个等比数列的项数为9. (3)在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,则S3n=　　　　.  63 (3)法一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1,由已知得 ②÷①得1+qn=,即qn=, ③ 将③代入①得=64,∴S3n==63. 法二:∵{an}为等比数列,显然公比不等于-1, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+60=63. 法三:由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,即60=48+48qn,得qn=, ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1.若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点; 若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 思维提升 2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 一种方法是应用前n项和公式列关于首项和公比的方程组进行求解;另一种方法是应用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列求解.还要注意等比数列前n项和公式的式子特征. 3.在正项等比数列中,Sn为其前n项和,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20的值为(　　) A.10　　　　　　　　　 B.18 C.36 D.40 D 跟踪训练 易知S10=10,S30=130, ∵S10,S20-S10,S30-S20为等比数列,=S10(S30-S20), 代入数据可得=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30(舍),所以S20=40. 4.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列的通项公式. 解:设数列{an}的首项为a1,公比为q. 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶,由题意可知, S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因为数列{an}的项数为偶数,所以有q=. 又因为a1·a1q·a1q2=64,所以·q3=64,即a1=12, 故所求通项公式为an=12×,n∈N*. 知识点3　等比数列前n项和公式的函数特征 1.当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=　　　　　　.即Sn是n的指数型函数.  2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=　 , Sn是n的正比例函数. Aqn-A na1 微提醒:等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列. 例3 [解]　法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1. 当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列. 法二:由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,2≠1,故{an}不是等比数列. [教参独具]　若将本题改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为 Sn=3n+1-2k,则实数k=　　　　　.  ∵Sn=3n+1-2k=3×3n-2k,且{an}为等比数列,∴3-2k=0,即k=. [教参独具]　若将本题改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为 Sn=a·+5,则实数a=　　　　.  由Sn=a·+5,可得Sn=3a·+5,依题意有3a+5=0,故a=-. 1.已知Sn,通过an=求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1,需验证当n=1时是否满足此式. 2.若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列. 思维提升 5.已知等比数列的前n项和为Sn,若Sn=3×2n+1+λ,则λ=(　　) A.3　　　　　　　　　　 B.-3 C.6 D.-6 跟踪训练 D 由Sn=3×2n+1+λ, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n+1+λ-(3×2n+λ)=3·2n,可得=2,n≥2, 当n=1时,a1=S1=3×22+λ,因为数列为等比数列,可得=2,解得λ=-6. 6.已知Sn为等比数列的前n项和,Sn=m·2n-1,则a4=(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 C 由已知可得,a1=S1=2m-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=m·2n-1-(m·2n-1-1)=m·2n-1,所以=2,且a2=2m.由为等比数列,可知=2,解得m=1. 所以an=1·2n-1=2n-1,a4=8. 〈课堂达标·素养提升〉 1.等比数列1,x,x2,x3,…,的前n项和Sn等于(　　) A. B. C 当x=1时,Sn=n;当x≠1且x≠0时,Sn=. 2.已知等比数列的前n项和是Sn,且a1=2,a3=6a2-18,则S5=(　　) A.30　　　　　　　　　 B.80 C.240 D.242 D 由题意设公比为q,因为a1=2,a3=6a2-18,所以2q2=12q-18,解得q=3,所以S5==242. 3.已知数列的前n项和为Sn,且an+1=-3an,S3=7,则a1=(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 C 由an+1=-3an可得为等比数列且公比为-3,S3=a1+a2+a3=a1(1-3+9)=7,故a1=1. 4.已知等比数列的公比为q=2,a1+a2+…+a99=77,则a2+a5+…+a98=　　　　　.  22 设a1+a4+…+a97=x,则a2+a5+…+a98=2x,a3+a6+…+a99=4x, 由题意可得7x=77,即x=11,所以a2+a5+…+a98=22. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于(　　) A.4-2100　　　　　　　　 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 q= ==4×(1-2-100)=4-2-98. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知等比数列的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,则其公比q=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 注意到a1+a3=30,S4=120,首先q≠1(否则a1+a3=2a1=30,S4=4a1=120矛盾),其次a1+a3=a1(1+q2)=30,S4==120, 两式相比得=1+q=4,解得q=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在等比数列中,Sn为的前n项和,若,则=(　　) A. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 因为为等比数列,,设S5=k,S10=3k,k>0, 所以S5,S10-S5,S15-S10构成等比数列. 所以k,2k,S15-3k构成等比数列,所以S15=7k,所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5=(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a. n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a),化简得an=2n-2,则a3a5=2×23=16. 5.已知数列满足:an+1=2an(n∈N*),其前n项和为Sn,若S7=127,则a1=　　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 由数列满足an+1=2an(n∈N*),即=2(n∈N*), 可得数列为等比数列,且公比为q=2, 又由S7==127a1=127,解得a1=1. 6.已知Sn是等比数列的前n项和,且S2=3,S6=5S4-12,则S4=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 13 由数列是等比数列,Sn是等比数列的前n项和, 所以S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,且S4-S2≠0,S6-S4≠0, 所以=S2·(S6-S4),又因为S6=5S4-12,S2=3,所以=3(5S4-12-S4), 即(S4-3)(S4-15)=0,解得S4=3或S4=15,因为S4-S2≠0,所以S4=15. 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列. (1)求数列{an}的公比q; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-. (2)若a1-a3=3,求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4,从而Sn=. 8.记Sn为等差数列的前n项和,已知a1=-5,S4=-2. (1)求的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设等差数列公差为d,a1=-5,S4=4a1+d=-2, 解得d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-8. (2)若是等比数列,且b2=a4,b3=a3+a5,求的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)设等比数列公比为q,b2=a4=4,b3=a3+a5=1+7=8, 得 所以Tn==2n+1-2. [B组　关键能力练] 9.已知等比数列的前n项和为Sn,则点列(n,an),(n,Sn)在同一坐标平面内不可能的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 设等比数列的首项为a1,公比为q, A选项,an=1时,Sn=n,图象符合; B选项,a1=1,q=1.1时,an=1.1n-1,Sn==10(1.1n-1),图象符合; C选项,a1=1,q=-2时,an=(-2)n-1,Sn=,图象符合; D选项,由图可知,a1,a2,a3都是负数,所以a1<0,q>0,an<0,Sn<0, 但图象显示n≥4时,an或Sn为正数,矛盾,所以D选项图象不符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示,圆圈代表节点,每一个节点都有两个子节点,则到第10层一共有　　　　　个节点.(填写具体数字)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 023 13 由图可知,每一层节点的个数组成以1为首项,2为公比的等比数列, 所以到第10层节点的总个数是S10==1 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当n=1时,则有2S1=a2-1, ∴a2=2S1+1=2a1+1=3; 当n≥2时,由2Sn=an+1-1,得出2Sn-1=an-1, 上述两式相减得2an=an+1-an, ∴an+1=3an,a2=3. 当n≥2时,=3,且=3, ∴数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴Sn=. 12.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有 两式相减,得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列. 因此,an=a1·3n-1(n∈N*). 13 (2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)因为Sn=a1·3n-a1,所以bn=1-Sn=1+a1·3n. 要使{bn}为等比数列,则1+a1=0,即a1=-2. [C组　素养培优练] 13.记Sn为等比数列的前n项和,S18=7S6. (1)若S12=12,求S24的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)解:设等比数列的公比为q,因为S18=7S6,所以q≠1, S12=S6+q6S6=S6(1+q6)=12,所以S6≠0, 故S6,S12-S6,S18-S12成等比数列,且公比为q6, 所以S18=S6+(S12-S6)+(S18-S12)=S6+q6S6+q12S6=7S6, 整理得S6(q12+q6-6)=0, 因为S6≠0,故q12+q6-6=0,解得q6=2, 所以S24=S12+(S24-S12)=S12+q12S12=S12(1+q12)=5S12=60. 13 (2)若S6>0,求证:S6n+6>2S6n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:因为S6>0,所以q≠-1,由(1)知,q6=2, 因为数列S6,S12-S6,S18-S12,…,S6n+6-S6n是以S6为首项,q6为公比的等比数列, 所以S6n+6=S6+(S12-S6)+(S18-S12)+…+(S6n+6-S6n) ==S6·q6n+6-S6=2S6·q6n-S6. 又因为S6n+6-S6n=S6×=S6×q6n,则S6n+6=2S6·q6n-S6<2S6·q6n=2(S6n+6-S6n), 所以S6n+6>2S6n. C. D. $$