第5章 特殊平行四边形（单元测试B卷）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第5章 《特殊平行四边形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．50° 【分析】由菱形的性质推出∠COD＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠ACD＝90°﹣70°＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵∠CDB＝70°， ∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质得到∠COD＝90°． 2．（3分）如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝22cm，则CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AC＝17cm，再由CE＝AE﹣AC，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得：， ∴CE＝AE﹣AC＝22﹣17＝5cm， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BC＝5，AC＝6，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，再由勾股定理求出OB＝4，然后由菱形的面积求出AE的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB4， ∴BD＝2OB＝8． ∵AE⊥BC， ∴S菱形ABCD＝BC•AEAC•BD6×8＝24， ∴5AE＝24， ∴AE， 故选：A． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】设直线OG交BC于点F，由矩形的性质得OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，而AE＝2.5，则DE＝1.5，可证明△AOE≌△COF，得AE＝CF＝2.5，则S四边形CDEF＝4，由S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG），求得DG＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设直线OG交BC于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，AE＝2.5，对角线AC、BC交于点O， ∴OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，DE＝AD﹣AE＝4﹣2.5＝1.5， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF＝2.5， ∴S四边形CDEF（1.5+2.5）×2＝4， ∵S△CFG＝41.5DG2.5（2+DG）， ∴DG＝3， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　） A．2 B．2.4 C．3 D．4 【分析】连接CM，根据矩形的性质可得MC＝EF，当CM⊥AB时，EF取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得EF的最小值． 【解答】解：连接CM，如图， ∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形EMFC是矩形， ∴EF＝MC， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， 当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值， ∵， ∴． ∴EF＝CM＝2.4． 即EF的最小值是2.4． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将EF转化为CM是解题的关键． 6．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．下列说法错误的是（　　） A．当AB＝2AD时，四边形DEBF是菱形 B．当∠ADB＝90°时，四边形DEBF是菱形 C．当AD＝BD时，四边形DEBF是矩形 D．当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 【分析】根据菱形和矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF，BE， ∴DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 当AB＝2AD，不能得到DE＝BE，故不能判定四边形DEBF是菱形，此选项A符合题意； 当∠ADB＝90°时， ∴DE＝BE， ∴四边形DEBF是菱形，故选项B不符合题意； 当AD＝BD时，DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形，故选项C不符合题意； 当DE平分∠ADB时，如图，延长DE，CB交于点H， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠BDE， ∵AD∥BH， ∴∠H＝∠ADE＝∠BDE， ∴DB＝BH， ∵AE＝BE，∠AED＝∠BEH，∠ADE＝∠H， ∴△ADE≌△BHE（AAS）， ∴DE＝EH， ∴DE⊥BE， ∴四边形DEBF是矩形，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据正方形的性质可得∠C＝∠ADC＝90°，AD＝DC＝AB＝BC＝4，进而运用勾股定理得到AE＝5，再证明△ADF≌△DCE得到∠DAF＝∠CDE，然后说明∠AGE＝90°，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，CE＝DF＝1， ∴∠C＝∠ADC＝90°，AD＝DC＝AB＝BC＝4， ∴BE＝BC﹣CE＝3， ∴， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE ∵∠DFA+∠DAF＝90°， ∴∠DFA+∠CDE＝90°， ∴∠DGF＝∠AGE＝90°， ∵点H为AE的中点， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【分析】根据正方形的性质证得△ADG和△DCF全等，得出∠DAG＝∠CDF＝α，于是得出∠ADF＝90°﹣α，推出∠DFC＝∠ADF＝90﹣α，再证△EDF是等腰三角形，即可得出∠EDF的度数，再根据三角形内角和定理求出出∠AMD的度数，从而得出△ADM是等腰三角形，继而推出△DCM是等腰三角形，从而求出∠DCM的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC，AD∥BC， 在△ADG和△DCF中，， ∴△ADG≌△DCF（SAS）， ∴∠DAG＝∠CDF， ∵∠DAG＝α， ∴∠CDF＝α， ∵∠ADG＝∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠DFC＝∠ADF＝90﹣α， ∵EF＝DE， ∴△EDF是等腰三角形， ∴∠EFD＝∠EDF＝90°﹣α， ∵在△ADM中，∠DAM＝α，∠ADM＝∠ADF+∠EDF＝90﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α， ∴∠AMD＝180°﹣α﹣（180°﹣2α）＝α， ∴∠DAM＝∠AMD， ∴△ADM是等腰三角形， ∴AD＝DM， ∴DM＝DC， ∴△DCM是等腰三角形， ∴∠DCM＝∠DMC（180°﹣∠CDM）， ∵∠CDM＝∠ADM﹣∠ADC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α， ∴∠DCM（180°﹣90°+2α）＝45°+α， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9．（3分）如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　） A．4 B．4 C．2 D．5 【分析】先证明△BCD是等边三角形，可求出BM的长，MF的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：设CD与EF的交点为H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB， ∵点E是AD中点， ∴AE＝DEAD， 在△DEM和△DHM中， ， ∴△DEM≌△DHM（ASA）， ∴DE＝DH， ∴DH＝CH， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△CFH， ∴1， ∴DE＝CF＝2， ∴AD＝4＝CD＝BC， ∴BF＝6， ∵BD＝4， ∴BC＝CD＝BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠DBC＝60°， ∴∠BFM＝30°， ∴BMBF＝3，MFBM＝3， ∴DM＝1， ∴DF2， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案． 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠DOF， 在△COE和△DOF中， ， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF，故②正确； ③∵△COE≌△DOF， ∴FO＝EO， ∵∠OFE＝∠ODF＝45°， ∴∠DOF＝∠CFE， 设∠DOF＝α， ∴∠OGF＝45°+α， ∵∠COF＝90°﹣α， 当45°+α＝90°﹣α时，α＝22.5°，OF＝FG， 故③不正确； ④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的， 故④正确； ⑤在Rt△ECF中，∠EOF＝90°， 根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2， 故⑤正确； 综上所述，正确的是①②④⑤， 故选：C． 【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等证明出△COE≌△DOF，属于选择题的压轴题． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点坐标是A（1，0），B（5，3），另一个顶点C在y轴的正半轴上，则第四个顶点D的横坐标是 　 ﹣4 　． 【分析】过点B，D作BF⊥x轴于点F，DE⊥y轴于点E，设OC与AD交于点G，根据矩形的性质可证明△CED≌△BFA（AAS），得DE＝AF＝4，得EG，进而可以求出点D的横坐标． 【解答】解：如图，过点B，D作BF⊥x轴于点F，DE⊥y轴于点E，设OC与AD交于点G， ∴∠CED＝∠AFB＝90°， ∵A（1，0），B（5，3）， ∴OA＝1，OF＝5，BF＝3， ∴AF＝5﹣1＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ADC＝∠BAD＝90°， ∵∠CDE＝90°﹣∠EDG＝∠DGE＝∠OGA， ∴∠CDE＝∠BAF， ∵∠CED＝∠AFB＝90°， ∴△CED≌△BFA（AAS）， ∴DE＝AF＝4， ∴点D的横坐标是﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ 　40　°． 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分证明OB＝OC，从而根据已知角求出∠OBC的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠BOC，最后根据邻补角的定义求出∠AOB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴AO＝OC＝OB＝OD， ∵∠ACB＝20°， ∴∠OBC＝∠ACB＝20°， ∵∠OBC+∠ACB+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣20°＝140°， ∵∠BOC+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质、三角形内角和定理和邻补角的定义． 13．（3分）如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　（2，4）　． 【分析】过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 【解答】解：过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E， ∴AD∥BE，∠ADO＝90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB，AB∥OC， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴AD＝4，OD＝3， ∴， ∴BE＝4，AB＝DE＝5， ∴OE＝DE﹣OD＝2， ∴点B（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 14．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　25　． 【分析】先证明△BAF和△ADE全等得BF＝AE＝15，则AB＝BC＝20，然后在Rt△ABF中，由勾股定理即可求出AF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠B＝DAB＝90°， ∴∠BAF+∠FAD＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠FAD+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（ASA）， ∴BF＝AE＝15， ∵CF＝5， ∴BC＝BF+CF＝20， ∴AB＝BC＝20， 在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝15， 由勾股定理得：AF25． 故答案为：25． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 15．（3分）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　对角线相等的平行四边形为矩形　． 【分析】根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【解答】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 则只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是关键． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF，EF，AF交BD于G，给出下面四个结论：①AB2+BF2＝2AP2；②BF+DE＝EF；③；④FC2+EC2＞PF2+PE2．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②③　． 【分析】①作△ABF的外接圆，则点P在△ABF的外接圆上，则∠PAF＝∠CBD＝45°，进而得AP＝FP，由勾股定理得AF2＝2AP2，AF2＝AB2+BF2，由此可对结论①进行判断； ②延长CB到H，使BH＝DE，连接AH，则HF＝BF+DE，证明△ABH和△ADE全等得AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，由①得∠EAF＝45°，则∠HAF＝∠EAF＝45°，由此可判定△HAF和△EAF全等，则HF＝EF，进而得BF+DE＝EF，据此可对结论②进行判断； ③连接PC，过点P作PQ⊥BC于点Q，QP的延长线交AD于点R，先证明四边形ABQR和四边形CDRQ都是矩形得DR＝CQ，再证明△ABP和△CBP全等得AP＝CP＝FP，则CQ＝FQ＝DR，由勾股定理得PDFQ，PBBQ，则PB﹣PDBQFQBF，据此可对结论③进行判断； ④由勾股定理得FC2+EC2＝EF2，PF2+PE2＝EF2，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①作△ABF的外接圆，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴AF是△ABF外接圆的直径， ∵PF⊥AP， ∴∠APF＝90°， ∴点P在△ABF的外接圆上， 根据圆周角定理得：∠PAF＝∠CBD＝45°， ∴△APF是等腰直角三角形，即AP＝FP， 由勾股定理得：AF2＝AP2+FP2＝2AP2， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2+BF2， ∴AB2+BF2＝2AP2， 故结论①正确； ②延长CB到H，使BH＝DE，连接AH，如图2所示： 则HF＝BF+BH＝BF+DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABH＝∠D＝∠BAD＝90°， 在△ABH和△ADE中， ， ∴△ABH≌△ADE（SAS）， ∴AH＝AE，∠BAH＝∠DAE， 由①可知：∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BAF+∠BAH＝45°， 即∠HAF＝45°， ∴∠HAF＝∠EAF＝45°， 在△HAF和△EAF中， ， ∴△HAF≌△EAF（SAS）， ∴HF＝EF， ∴BF+DE＝EF， 故结论②正确； ③连接PC，过点P作PQ⊥BC于点Q，QP的延长线交AD于点R，如图3所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝CB， ∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵PQ⊥BC， ∴QR⊥AD， ∴四边形ABQR和四边形CDRQ都是矩形， ∴DR＝CQ， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴AP＝CP， 由①可知：AP＝FP， ∴CP＝FP， 又∵PQ⊥BC， ∴CQ＝FQ＝DR， ∵∠ADB＝45°，QR⊥AD， ∴△DRP是等腰直角三角形，即DR＝PR， 由勾股定理得：PDDRFQ， ∴∠CBD＝45°，PQ⊥BC， ∴△PBQ是等腰直角三角形，即BQ＝PQ， 由勾股定理得：PBBQ， ∴PB﹣PDBQFQ（BQ﹣FQ）BF， 故结论③正确； ④∵∠BCD＝90°， ∴△EFC是直角三角形， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：FC2+EC2＝EF2， ∵PF⊥AP， ∴∠FPE＝90°， ∴△PEF是直角三角形， 在Rt△PEF中，由勾股定理得：PF2+PE2＝EF2， ∴FC2+EC2＝PF2+PE2， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，顺联掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE于F，求证：AF＝CD． 【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而利用全等三角形的性质可得出要证明的结论． 【解答】证明：∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC， 在△ADF和△DEC中，， ∴△ADF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD． 【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定及性质，属于基础题，解答本题的关键是得出∠ADF＝∠DEC，利用AAS证明△ADF≌△DEC，难度一般． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，，BE＝CE，AF＝DF，且AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝12，∠ABC＝60°，求OC的长． 【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明其临边相等即可； （2）过点O作OH⊥BC于H，先求BO，再求OH，BH，HC，最后根据勾股定理求OC． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD． ∵BE＝CE，AF＝CF， ∴BE＝AF． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵BC＝2AB， ∴AB＝BE． ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）过点O作OG⊥BC于点G， ∵E是BC的中点，BC＝2AB， ∴BE＝CE＝AB， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴BE＝CE＝AB＝12，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OE＝6，∠OEB＝60°． ∴GE＝3，， ∴GC＝GE+CE＝15． 在Rt△OCG中，． 【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F．求证：OE＝OF． 【分析】由“ASA”可证△EOA≌△FOC，可得OE＝OF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AC的中点是O， ∴OA＝OC， 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴OE＝OF； 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 【分析】（1）易证明四边形AMDN是平行四边形，只要证明DN∥AM，DN＝AM即可； （2）有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AMAD＝1时即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ND∥AM． ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME ∵点E是AD中点，∴DE＝AE ∵在△NDE和△MAE中， ∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，DE＝AE， ∴△NDE≌△MAE（AAS）． ∴ND＝MA ∴四边形AMDN是平行四边形． （2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝2． ∵AMAD＝1， ∴∠ADM＝30° ∵∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝90°， ∴平行四边形AMDN是矩形． 【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解答本题的关键． 22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积． 【分析】（1）根据题意，得到当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，得到当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，列出方程求出t的值，根据菱形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝t，DP＝t， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8， ∴AP＝8﹣t， 当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP， ∴t＝8﹣t， 解得：t＝4， ∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形； （2）∵AB＝4，BQ＝t，∠B＝90°， ∴， 当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ， ∴， 解得：t＝3， 当t＝3时，BQ＝3， ∴CQ＝BC﹣BQ＝5， 菱形AQCP的面积为CQ•AB＝5×4＝20cm2． 【点评】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB．求证：△ADB≌△AOB． 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得OA、OB的长度，再利用勾股定理可得CD的长，从而得出点D的坐标； （2）利用HL证明Rt△ADB≌Rt△AOB即可． 【解答】（1）解：∵点A（5，0），点B（0，3）． ∴OA＝5，OB＝3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°， ∵顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF， ∴AD＝AO＝5， 在Rt△ADC中，， ∴BD＝BC﹣CD＝1， ∴D（1，3）； （2）证明：∵四边形ADEF是矩形， ∴∠ADE＝90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB＝90°， 由（1）可知：AD＝AO， 又∵AB＝AB，∠AOB＝90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定，将四边形问题转化为等腰三角形问题是解题的关键． 24．（12分）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝AB，AD∥BC，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，则BM＝CE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出∠DEC＝∠AFB，证出MN为△AEF的中位线，得出MN∥AF，得出∠HNE＝∠AFB＝∠HEN，即可得出HE＝HN； （3）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，由ASA证明△BEQ≌△BAP，得出PA＝QE，QB＝PB，证出△PBQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQPB，即可得出答案； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO， ∵AB＝BE， ∴AD＝BE， ∴△ADO≌△BEO（ASA）， ∴AO＝BO； （2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示： 则BF＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△ABF和△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠AFB， ∵EB＝CF，BN＝CN， ∴N为EF的中点， ∴MN为△AEF的中位线， ∴MN∥AF， ∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB； （3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示： 则∠PBQ＝90°， ∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠EBQ＝∠ABP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠BEQ， ∵AP⊥DE，∠BAD＝90°， 由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP， ∴∠BEQ＝∠BAP， 在△BEQ和△BAP中，， ∴△BEQ≌△BAP（ASA）， ∴PA＝QE，QB＝PB， ∴△PBQ是等腰直角三角形， ∴PQPB， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《特殊平行四边形》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD，若∠CDB＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．50° 2．（3分）如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15cm，BC＝8cm，AE＝22cm，则CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BC＝5，AC＝6，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE＝2.5，则DG的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　） A．2 B．2.4 C．3 D．4 6．（3分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．下列说法错误的是（　　） A．当AB＝2AD时，四边形DEBF是菱形 B．当∠ADB＝90°时，四边形DEBF是菱形 C．当AD＝BD时，四边形DEBF是矩形 D．当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B． C．2 D． 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 9．（3分）如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　） A．4 B．4 C．2 D．5 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点坐标是A（1，0），B（5，3），另一个顶点C在y轴的正半轴上，则第四个顶点D的横坐标是 　 　． 12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ 　 　°． 13．（3分）如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　 　． 14．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　 　． 15．（3分）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　 　． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF，EF，AF交BD于G，给出下面四个结论：①AB2+BF2＝2AP2；②BF+DE＝EF；③；④FC2+EC2＞PF2+PE2．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE于F，求证：AF＝CD． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，，BE＝CE，AF＝DF，且AE，BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝12，∠ABC＝60°，求OC的长． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F．求证：OE＝OF． 20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长． 22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB．求证：△ADB≌△AOB． 24．（12分）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$