6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 第六章　平面向量及其应用 学习单元2　平面向量基本定理及坐标表示   [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 知识点1　平面向量数量积的坐标表示 内容索引 知识点2　平面向量模(长度)的坐标表示 微点突破1　坐标运算与三角形形状的判断 知识点3　平面向量夹角与垂直的坐标表示 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　平面向量数量积的坐标表示   数量积的坐标表示 坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________ 语言表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 　x1x2＋y1y2   　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10　　　　　　　　　 B．－10 C．3 D．－3 [分析]　先计算a＋2b与a－3b的坐标，再利用平面向量数量积的公式计算即可． B 例1 因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 向量数量积的坐标运算解题时通常有两条途径 1．先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算． 2．先用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 思维提升 1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，－1)，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　) A．10 B．18 C．(－7，8) D．(－4，14) 跟踪训练 A 因为向量a＝(1，3)，b＝(－2，－1)，所以(a＋b)·(2a－b)＝(－1，2)·(4，7)＝－1×4＋2×7＝10. 2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(m，2)，若(a－2b)·a＝0，则a·b＝(　　) A．－8 B．－16 C．1 D．－20 C 由a＝(1，－1)，b＝(m，2)，(a－2b)·a＝0，所以(1－2m，－5)·(1，－1)＝1－2m＋5＝0，解得m＝3，所以b＝(3，2)，所以a·b＝(1，－1)·(3，2)＝3－2＝1. 知识点2　平面向量模(长度)的坐标表示 x2＋y2 例2 A 思维提升 跟踪训练 C D 知识点3　平面向量夹角与垂直的坐标表示 x1x2＋y1y2＝0 　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). (1)求a与b夹角的余弦值； [分析]　(1)直接利用向量夹角余弦公式计算； 例3 (2)若(a－λ b)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． [分析]　(2)先计算a－λ b与2a＋b的坐标，再利用向量垂直的充要条件求λ. 思维提升 跟踪训练 A 6．(多选)已知向量a＝(－1，3)，b＝(x，2)，且(a－2b)⊥a，则(　　) A．b＝(1，2) B．|a－2b|＝25 C．向量a与向量b的夹角是45° D．向量a在向量b上的投影向量坐标是(1，2) ACD 〈课堂达标·素养提升〉 A 因为a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. A 3．已知向量a＝(5，m)，b＝(2，－2)，若(a－b)⊥b，则m＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 B 由题意，a＝(5，m)，b＝(2，－2)，∴a－b＝(3，m＋2)， ∵(a－b)⊥b，∴3×2＋(m＋2)×(－2)＝0，解得m＝1. 4．在平面向量a，b中，已知a＝(1，3)，b＝(2，y)，如果a·b＝5，那 么y＝________；如果|a＋b|＝|a－b|，那么y＝________． 1 微点突破1　坐标运算与三角形形状的判断 主要是利用坐标运算判断三角形的两边是否垂直、两边长度是否相等或者利用夹角公式判断角是否为钝角、直角或锐角． 　D 例1 　已知A(1，2)，B(4，5)，C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明． 例2 1．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 A 跟踪训练 D 3．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 A 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 2．已知向量a＝(t，2)，b＝(1，－t)，若(a－2b)⊥(a＋b)，则t＝(　　) A．2或1 B．－2或－1 C．2或－1 D．－2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由题意可知，a－2b＝(t－2，2＋2t)，a＋b＝(t＋1，2－t)， 因为(a－2b)⊥(a＋b)，所以(a－2b)·(a＋b)＝0，即(t－2)(t＋1)＋(2＋2t)(2－t)＝0， 整理得t2－t－2＝0，所以t1＝2或t2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (－3，6) 13 14 6．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－2)，若a－c与b垂直，请写出满足条件的向量c的一个坐标______________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (－1，0)(答案不唯一) 13 14 设c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，1－y)， 由a－c与b垂直，得(a－c)·b＝0， 所以1－x－2＋2y＝0，于是x－2y＝－1， 取y＝0，则x＝－1，于是c的一个坐标可以是(－1，0). 7．已知a，b是同一平面内的两个向量，其中a＝(1，2).b＝(1，1)，且m a－b与2a－b垂直，求实数m的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若a与b的夹角为钝角可得a·b＝－2－n<0且n≠2，解得n>－2且n≠2，即必要性成立， 所以“n>－2”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C不正确； 对于D，由(a＋b)⊥a可得(a＋b)·a＝0，即－1×1－(n－1)＝0，解得n＝0，故D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，若非零向量c与a，b的夹角均相等，则满足条件的一个c的坐标为____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1，1)(答案不唯一) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －6 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．已知直角梯形ABCD的三个顶点分别为A(－1，0)，B(1，2)，C(4，1)，且AB∥DC. (1)求顶点D的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1．若向量a＝(x，y)，则|a|2＝____________，|a|＝____________． 2．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________． 　设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． [分析]　先计算3a＋b的坐标，再利用向量的模的公式． ∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 3．已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a与b反向共线， 则|a－b|的值为(　　) A．0 B．48 C．4 D．3 由题意得m2＝3，解得m＝±，又a与b反向共线，故m＝－，此时a－b＝(－2，6)，故|a－b|＝ ＝4. 4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则AF＝(　　) A． B．2 C．2 D．5 如图，建立平面直角坐标系，设DF＝a∈[0，4]， 则A(0，0)，E(4，2)，F(a，4)，可得＝(a，4)，＝(4，2)，因为·＝||2， 即4a＋8＝20，解得a＝3，即＝(3，4)， 所以AF＝||＝ ＝5. 向量垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔____________ 两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝__________________ [解]　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝ ＝5，|b|＝ ＝.设a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. [解]　(2)因为a－λ b＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λ b)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 1．求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. 2．注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 5．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2， 则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，设a与a＋b夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. A选项，∵a＝(－1，3)，b＝(x，2)， ∴a－2b＝(－1，3)－2(x，2)＝(－1－2x，－1)， ∵(a－2b)⊥a， ∴1＋2x－3＝0，解得x＝1，故b＝(1，2)，选项A正确； B选项，由A选项可知a－2b＝(－3，－1)，故|a－2b|＝，选项B错误； C选项，设a，b夹角为θ，cos θ＝＝＝＝， 向量a与向量b的夹角是45°，选项C正确； D选项，向量a在向量b上的投影向量＝＝(1，2)，选项D正确． 1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C． D．－ 2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． |a|＝＝5，|b|＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63. 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. － 由a·b＝5，即1×2＋3y＝5，解得y＝1； a＋b＝(3，3＋y)，a－b＝(－1，3－y)，由|a＋b|＝|a－b|， 得 ＝ ，解得：y＝－. 　已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C三点共线 B．⊥ C．A，B，C是等腰三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点 ＝(4，4)，＝(－2，0)，∴≠λ，所以A，B，C三点不共线，所以选项A错误； ·＝－8≠0，所以选项B错误； 因为·＝(2，0)·(－2，－4)＝－4<0，且A，B，C三点不共线，所以∠C是钝角，所以选项D正确； 因为||＝＝2，||＝＝2，||＝＝4，∴||≠||≠||，所以A，B，C不是等腰三角形的顶点，所以选项C错误． [证明]　△ABC为等腰直角三角形．证明如下： 法一：因为＝(3，3)，＝(－3，3)，所以||＝3，||＝3，·＝0， 所以||＝||，⊥，所以△ABC为等腰直角三角形． 法二：因为＝(3，3)，＝(－3，3)，＝(－6，0)，所以||＝3，||＝6， ·＝(－3)×(－6)＋(－3)×0＝18，·＝0， 所以cos B＝＝＝，⊥.又B∈[0，π]，所以B＝，A＝， 所以C＝，所以△ABC为等腰直角三角形． 由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝8×2＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形． 2．在△ABC中，已知＝，且·＝，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 在△ABC中，∵＝， ∴＝， 设，的夹角为θ1，，的夹角为θ2. ∴cos θ1＝cos θ2，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形． 又·＝， ∴cos A＝，∴A＝，∴△ABC是等边三角形． 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即0<－B<A<， 又因为函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin ＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0，设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角． 4．已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，判断△ABC的形状，并求向量在上的投影向量的模． 解：△ABC为直角三角形． 因为＝(－1，1)，＝(2，2)， 所以·＝－1×2＋1×2＝0， 所以⊥，即B为直角， 所以△ABC为直角三角形． 因为＝(1，3)，||＝， 所以向量在上的投影向量的模为 ＝||··＝＝＝. [A组　必备知识练] 1．若A(3，2)，B(5，4)，则||＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．5 ＝(2，2)，||＝ ＝2. 3．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． ∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)， ∴a＝6，∵＝(4，2)，＝(2，6)，设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为. 4．(多选)已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，1)，其中b与a－b的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝|a| B．b⊥(5a－2b) C．a∥(3a＋2b) D．cos 〈b，a－b〉＝－ 对于A，|b|＝＝，|a|＝＝5，所以|b|≠|a|，故A错误； 对于B，5a－2b＝5(3，－4)－2(2，1)＝(11，－22)，所以 b·(5a－2b)＝(2，1)·(11，－22)＝22－22＝0，所以b⊥(5a－2b)，故B正确； 对于C，3a＋2b＝3(3，－4)＋2(2，1)＝(13，－10)，可得13×(－4)－3× (－10)＝－22≠0，故C错误； 对于D，a－b＝(3，－4)－(2，1)＝(1，－5)，所以cos θ＝＝－，故D正确． 5．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________． 设b＝(x，y)，由题意可知 即⇒所以b＝(－3，6). 解：因为a＝(1，2)，b＝(1，1)， 所以m a－b＝(m－1，2m－1)，2a－b＝(1，3). 因为m a－b与2a－b垂直， 所以(m a－b)·(2a－b)＝0， 即(m－1)×1＋(2m－1)×3＝0，解得m＝. 8．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2). (1)若|c|＝2，且c∥a，求c向量的坐标； 解：(1)∵c∥a，可设c＝λ a， ∴|c|＝|λ||a|，则2＝|λ|×，∴λ＝±2， ∴c＝(2，4)或c＝(－2，－4). (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角的正弦值． 解：(2)∵a＋2b与2a－b垂直，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2－2b2＋3a·b＝0， ∴10－2×＋3×cos θ＝0，∴cos θ＝，∵0≤θ≤π， ∴sin θ＝，所以a与b的夹角的正弦值. [B组　关键能力练] 9．(多选)已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是的有(　　) A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2 B．|a|＝|b|＝1，a2＋a·b＝ C．a＝(，－1)，b＝(2，2) D．a＝(2，2)，b＝(－3，0) 由a·(b－a)＝2，|a|＝1，得a·b－a2＝2，则a·b＝3.设向量a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cos α＝3，则cos α＝，由α∈[0，π]，得α＝，故A正确；由a2＋a·b＝，|a|＝1，得a·b＝.设向量a与向量b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝，则cos θ＝.由θ∈[0，π]，得θ＝，故B正确；由a＝(，－1)，b＝(2，2)，得|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4， 设a，b的夹角为β，则cos β＝，那么a与b的夹角为，故C正确；由a＝(2，2)，b＝(－3，0)，得|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，设a，b的夹角为γ，则cos γ＝－，那么a与b的夹角为，故D不正确． 10．(多选)已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，n)，则下列说法正确的是 ( 　　) A．若n＝1，则|a－b|＝ B．若a∥b，则n＝2 C．“n>－2”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件 D．若(a＋b)⊥a，则n＝0 对于A，由n＝1可得a－b＝(3，－2)，所以可得|a－b|＝ ＝，即A正确； 对于B，由向量平行的坐标表示可得1×n－2＝0，解得n＝2，可知B正确； 对于C，若n>－2可得a·b＝－2－n<0，即a与b的夹角为90°<θ≤180°， 当n＝2时，b＝－2a可得a与b反向，充分性不成立； 设c＝(x，y)，c与a，b的夹角分别为α，β，则cos α＝cos β， 故＝，可得2(x＋2y)＝(4x＋2y)，整理得x＝y， 取x＝y＝1，则c＝(1，1). 12．已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则·＝__________． 因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形． 以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A，B，C，D， 所以＝，＝(－2，－2)， 所以·＝－9＋3＝－6. 解：(1)设D(x，y)，因为A(－1，0)，B(1，2)，C(4，1)， 则＝(2，2)，＝(3，－1)，＝(4－x，1－y)，＝(x＋1，y). 在直角梯形ABCD中，AB∥DC，且·＝(－2，－2)·(3，－1)＝－4<0， 所以A，D为直角，则 即 解得x＝1，y＝－2，所以顶点D的坐标为(1，－2). (2)若E为线段BC上靠近点C的三等分点，F为线段AB的中点， 求|3－2|. 解：(2)因为E为线段BC上靠近点C的三等分点，则＝3， 设E(a，b)，则(3，－1)＝3(4－a，1－b)，所以a＝3，b＝，所以E， 又因为F为线段AB的中点，则F(0，1)， 所以＝，＝(－1，3)， 则3－2＝3－2(－1，3)＝(8，4)， 所以|3－2|＝ ＝4. [C组　素养培优练] 14.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量＝x e1＋y e2，则把有序数对(x，y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为＝(x，y). (1)在斜坐标系xOy中的坐标，已知a＝(x，y)，求|a|； 解：(1)由题意可知：|e1|＝|e2|＝1， e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝， |a|2＝(x e1＋y e2)2＝x2e＋2xy e1·e2＋y2e＝x2＋xy＋y2, ∴|a|＝ . (2)在斜坐标系xOy中的坐标，已知a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，≤θ≤，求|a－b|的最大值． 解：(2)由题意可知a－b＝(sin θ e1＋2e2)－(cos θ e1＋e2)， ∴a－b＝(sin θ－cos θ)e1＋e2＝(sin θ－cos θ，1)， 由(1)可得：|a－b|＝ ， 令t＝sin θ－cos θ，则|a－b|＝ ＝ ， 又因为t＝sin θ－cos θ＝sin ，且≤θ≤， 所以0≤θ－≤，0≤sin ≤，∴0≤t≤1， 又因为函数y＝t2＋t＋1在0≤t≤1上单调递增， 即：t＝1时，函数y＝t2＋t＋1取到最大值3， 即sin ＝，则有θ＝， ∴当θ＝时，|a－b|的最大值为. $$