6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 第六章　平面向量及其应用 学习单元2　平面向量基本定理及坐标表示   [学习目标]　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示．　2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 知识点1　平面向量数乘运算的坐标表示 内容索引 知识点2　平面向量共线的坐标表示 知识点3　利用向量共线的坐标表示求参数 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 微点突破　有向线段的定比分点坐标公式及应用(教参独具) 3 知识点1　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝____________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数______________________． (λx，λy) 乘原来向量的相应坐标 　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； [分析]　利用向量和、差、数乘运算法则即可． 例1 [解]　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； [分析]　利用向量和、差、数乘运算法则即可． [解] (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). 跟踪训练 D A 知识点2　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λ b.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________________． x1y2－x2y1＝0 例2 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 思维提升 跟踪训练 B 知识点3　利用向量共线的坐标表示求参数 　已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当k为何值时，k a＋b与a－2b共线； [分析]　(1)由已知求得k a＋b与a－2b的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； 例3 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1．利用向量共线定理a＝λ b(b≠0)列方程求解． 2．利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 思维提升 跟踪训练 D 〈课堂达标·素养提升〉 1．下列向量中与a＝(2，－3)共线的是(　　) A．(2，3)　　　　　　　　 B．(3，－2) C．(4，－6) D．(－2，－3) C 因为(4，－6)＝2(2，－3)，由共线向量定理可知向量(4，－6)与a共线． A 3．已知向量a＝(m，2)，b＝(4，－8)，若a＝λ b，则实数m的值是(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 B 微点突破　有向线段的定比分点坐标公式及应用(教参独具) 　已知点A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为__________． (6，－9) 例1 例2 B 跟踪训练 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2λ)，则a－b＝(－2，2＋2λ)，由a∥(a－b)，得－4＋(2＋2λ)＝0，解得λ＝1，所以实数λ的值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．(多选)已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(－3，0) D．(0，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．已知向量a＝(1，1)，b＝(x，tx＋2).若存在实数x，使得a与b的方向相反，则t的一个取值为____________________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2(答案不唯一，大于1的实数均可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若A，B，C三点共线，求mn的最大值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)a－b. [分析]　利用向量和、差、数乘运算法则即可． [解] (3)a－b＝(－1，2)－(2，1) ＝－＝. 1．已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　) A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2，2) C．(1，1) D．(－1，－1) ＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1). 2．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则用a，b表示c为(　　) A．c＝a－b B．c＝－a＋b C．c＝a－b D．c＝－a＋b 设c＝x1a＋x2b，因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)， 所以(－1，2)＝(x1＋x2，x1－x2)，解得所以c＝a－b. 　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥. [分析]　要证明∥，只需根据共线的充要条件即可． [证明]　设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)， ∴＝＝， ＝＝， ∴(x1，y1)－(－1，0)＝， (x2，y2)－(3，－1)＝， ∴(x1，y1)＝， (x2，y2)＝， ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. ∵4×－(－1)×＝0， ∴∥. 3．下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底； B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，可以作为基底； C选项，3×10－5×6＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底； D选项，2×－(－3)×＝0， ∴e1∥e2，不可以作为基底． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由． 解：因为＝－＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)， ＝－＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)， 所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥.又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线． [解]　(1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，∴k a＋b＝(k＋2，1)，a－2b＝(－3，－2)， 又k a＋b与a－2b共线，∴－2(k＋2)－1×(－3)＝0，即k＝－. (2)若＝a＋3b，＝a－m b且A，B，C三点共线，求m的值． [分析]　(2)由已知求得，的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解． [解]　(2)＝a＋3b＝(7，3)，＝a－mb＝(1－2m，－m)， ∵A，B，C三点共线，∴－7m－3(1－2m)＝0，即m＝－3. 5．已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　) A．－1或　　　　　　 B．1或－ C．－1 D． 非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行， 所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1， 所以m＝. 6．已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点 A，B，C共线，则实数k＝________． － ＝－＝(1－k，2k－2)， ＝－＝(1－2k，－3). 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)×(1－2k)＝0， 解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). 2．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，－4)，若a∥b，则实数m的值为(　　) A．－ B．－2 C．－1 D．8 由向量a＝(m，2)，b＝(1，－4)，因为a∥b，可得－4m－2＝0，解得m＝－. 因为向量a＝(m，2)，b＝(4，－8)，且a＝λ b，所以(m，2)＝(4λ，－8λ)， 所以解得：所以m＝－1. 4．已知A(1，1)，B(4，0)，点P在线段AB延长线上，且||＝3||， 则点P的坐标为________________． 设O是坐标原点，由于点P在线段AB延长线上，且||＝3||，＝(4－1，0－1)＝(3，－1). 所以＝3，则＝＝(3，－1)＝， 所以＝＋＝(1，1)＋＝，所以点P的坐标为. 1．线段定比分点的坐标公式 (1)线段定比分点的定义 如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝λ，即＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，点P叫做有向线段的以λ为定比的定比分点． (2)定比分点的坐标表示 设点P(x，y)是直线P1P2上不同于P1，P2的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 即 当λ≠－1时，则点P的坐标为. 特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为，这就是线段P1P2的中点坐标公式； ②若λ<0，则点P在P1P2的延长线上或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点P的坐标为. 设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知 即点P的坐标为(6，－9). 　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． [解]　∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为， ∵＝2，∴＝2，设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x＝＝，y＝＝， 即点G的坐标为. 1．若点P(4，7)分有向线段所成的比为－2，且点P1(1，1)，则点P2的坐标为(　　) A．(7，13)　　　　　　 B． C．(3，5) D．(－5，－11) 设P2(x2，y2)，由公式可得＝4，＝7，求得x2＝，y2＝4，所以点P2的坐标为. 2．已知O(0，0)，向量＝(2，1)，＝(3，－2). (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； 解：(1)设点C的坐标为(x，y)， 因为O(0，0)，＝(2，1)，＝(3，－2)，可得A(2，1)，B(3，－2)， 则＝(x－3，y＋2)，若四边形OACB为平行四边形，可得＝， 则解得故点C的坐标为(5，－1). (2)若点P为线段AB上靠近点B的三等分点，求点P的坐标． 解：(2)法一：设点P的坐标为(x，y)， 由(1)可知：A(2，1)，B(3，－2)，则＝(x－2，y－1)，＝(1，－3)， 若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则＝， 则解得 故点P的坐标为. 法二：利用向量的定比分点坐标公式：设点P的坐标为(x，y)， 因为点P为线段AB上靠近点B的三等分点，则＝2， 所以：x＝＝，y＝＝－1， 故点P的坐标为. [A组　必备知识练] 1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2λ)，若a∥(a－b)，则实数λ的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．0 C． D．－ 2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行，且方向相反的向量a可能是(　　) A．a＝(－1，－2) B．a＝(9，3) C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，8) 由A(2，－1)，B(3，1)得＝(1，2)， 对于A: a＝(－1，－2)＝－，故A项正确； 对于B：设＝λ a(λ<0)，即无解，故B项错误； 对于C：设＝λ a(λ<0)，即无解，故C项错误； 对于D：设＝λ a(λ<0)，即无解，故D项错误． 3．已知A(－2，1)，B(3，－2)两点，且＝4，则点P的坐标(　　) A． B． C． D． 设P(x，y)，由题可知，＝(x＋2，y－1)，＝(3－x，－2－y)， 因为＝4，所以 解得则点P的坐标为，故A，B，D错误． 4．已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1).若A，C，D三点共线，则k＝________． 因为＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)， 所以＝＋＝(10，k＋1). 又因为A，C，D三点共线，所以∥， 所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4. 5.如图，点A，B，C，P均在正方形网格的格点上． 若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋2μ＝__________． 以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图， 不妨设小正方形的边长为1，则A(0，0)，B(－2，2)，C(4，0)，P(1，1)， 所以，＝(－2，2)，＝(4，0)，＝(1，1)，则有(1，1)＝λ(－2，2)＋μ(4，0)＝(－2λ＋4μ，2λ)， 所以解得λ＝μ＝， 所以λ＋2μ＝＋2×＝. 6．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2). (1)求线段BD的中点M的坐标； 解：(1)设B(x1，y1)，∵＝(4，3)，A(－1，－2)， ∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，∴∴ ∴B(3，1)，同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M. 解：(2)＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， ∵P，B，D三点共线，∴∥， ∴－4＋7×(1－y)＝0，解得y＝. [B组　关键能力练] 7．(多选)已知向量＝(1，3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 向量＝(1，3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)， 则＝－＝(2，－1)－(1，3)＝(1，－4)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，3)＝(m，m－5)， 当A，B，C三点共线时，∥，则(m－5)＋4m＝0，解得m＝1， 而点A，B，C能构成三角形，等价于点A，B，C不共线，因此m≠1， 所以选项A，B，D满足，C不满足． 设a＝(x，y)， 由向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则解得 当x＝1，y＝0时，λ1λ2＝－<0，A正确；当x＝0，y＝1时，λ1λ2＝>0，B错误； 当x＝－3，y＝0时，λ1λ2＝－<0，C正确；当x＝0，y＝－1时，λ1λ2＝>0，D错误． 9．已知A(2，4)，B(－4，6).若＝，＝，则的坐标 为____________． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则(x1－2，y1－4)＝(－6，2)＝(－9，3)，则有 ∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7，7). (x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，则有 ∴x2＝4，y2＝，即D， 则＝. ∵a与b方向相反，∴b＝λ a(λ<0)， ∴∴x＝λ＝， 由<0得：t>1， ∴存在实数t＝2，x＝－2，使得a与b方向相反． 11．已知向量a与b不共线，且＝2a－b，＝a＋2b，＝m a＋n b. (1)若2－＝，求m，n的值； 解：(1)因为＝2a－b，＝a＋2b，所以2－＝3a－4b， 又因为＝m a＋n b，所以m＝3，n＝－4. 解：(2)＝－＝－a＋3b，＝－＝(m－2)a＋(n＋1)b， 由A，B，C三点共线，存在不为零的数λ，使得＝λ， 即(m－2)a＋(n＋1)b＝λ(－a＋3b)＝－λa＋3λb， 则m－2＝－λ，n＋1＝3λ， 所以n＋1＝3(2－m)，n＝5－3m， 所以mn＝m(5－3m)＝－3＋， 所以当m＝时，mn取得最大值. 解：设P(x，y)， 则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)， ＝(4，0). 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ). 又∵＝－＝(5λ－4，4λ)， 由与共线得(5λ－4)6＋12λ＝0， 解得λ＝，∴＝＝. 又＝＋＝(1，0)＋＝， ∴点P的坐标为. $$