6.3.1 平面向量基本定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 第六章　平面向量及其应用 学习单元2　平面向量基本定理及坐标表示 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理，了解向量的一个基底的含义．　2.在平面内，当一个基底选定后，会用这个基底来表示其他向量．　3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点1　平面向量基本定理 内容索引 知识点2　用基底表示向量 知识点3　平面向量基本定理的应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________ 基底 若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内________向量的一个基底 不共线向量 λ1e1＋λ2e2　 不共线　 所有 微提醒： 1．同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可． 2．当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　 ) A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 [分析]　两个向量是否共线是判断作为基底的条件． 例1 ACD 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底．选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 思维提升 1．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的是(　　) A．若λ，μ满足λe1＋μ e2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μ e2成立的实数λ，μ有无数对 C．线性组合λe1＋μ e2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μ e2可能表示同一向量 跟踪训练 AC 知识点2　用基底表示向量 例2 用基底表示向量的一般方法 1．根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法运算的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. 2．基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 思维提升 跟踪训练 a＋b 2a＋c 知识点3　平面向量基本定理的应用 例3 1．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． 2．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 思维提升 跟踪训练 A A 〈课堂达标·素养提升〉 1．下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． 其中，说法正确的为(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ B 平面内只要是两个不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确． 2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　) A．a＝0，b＝e1＋e2 B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 C 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么选项中正确的是(　　) A．λ e1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λ e1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．两向量a＝λ1e1＋μ1e2，b＝λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得b＝λ a D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μ e2＝0，则λ＝μ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 由平面向量基本定理可知，A，D是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当a＝0，b≠0时，不存在这样的λ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λ e1＋μ e2，则λ－μ＝(　　)   A．－1 B．3 C．1 D．－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 根据图象，根据平面向量基本定理，可知：a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，λ－μ＝－2－1＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (－∞，4)∪(4，＋∞) 13 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.即实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). 6．已知e1，e2为一组不共线的向量，且向量a＝x e1＋4e2，b＝e1＋y e2，能使得a∥b的一组实数x，y的值可以为x＝__________，y＝_________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 4(答案不唯一，xy＝4即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A正确：若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.B不正确：由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．C正确：平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μ e2的形式，反之也成立．D不正确：结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μ e2确定后，其和向量λe1＋μ e2便唯一确定． 　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，. [分析]　根据向量共线条件用b表示，利用向量加法运算的三角形法则和线段的关系表示. [解]　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 2.如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________；以{a，c}为基底时，可表示为________． 以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将平移，使点B与点A重合， 再由向量加法运算的三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c. 　如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； [解]　(1)因为＝－＝c－a，D是AC的中点， 所以＝＝(c－a)，因为E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. [解]　(2)设＝λ(0<λ<1)， 所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λ c. 又＝a＋c，所以解得λ＝， 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 3．在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC，若＝x＋y，则＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2 D．3 依题意，BD＝3DC， ＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以x＝，y＝，＝. 4．在△ABC中，D是CB延长线上一点，E是AD的中点．若＝3，λ＋μ＝6，则(　　) A．λ＝2μ B．λ＝－2μ C．μ＝2λ D．μ＝－2λ 因为△ABC中，E是AD的中点，＝3， 所以＝＋＝＋×＝ －＋(－)＝－－， 则6＝－2－，又λ＋μ＝6，所以λ＝－2，μ＝－1，所以λ＝2μ. 对于A：零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基底； 对于B：因为a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2，所以a＝3b，所以这两个向量不可以作为基底； 对于C：设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋e2)，则所以λ无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b，所以这两个向量不可以作为基底． 3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________． 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝ －＋，又∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. [A组　必备知识练] 1．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A．(5e1＋3e2)　　　　　 B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) ＝＝(－)＝(＋) ＝(5e1＋3e2). 4．已知在△ABC中，点D在边BC上，且＝5，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 在△ABC中，＝－，又点D在边BC上，且＝5， 则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 因为a∥b，所以存在实数λ使得a＝λ b，即x e1＋4e2＝λ(e1＋y e2)， x e1＋4e2＝λ e1＋λy e2， 由平面向量基本定理可得：x＝λ，λy＝4，即y＝， 所以xy＝4.可取x＝1，y＝4. 7．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来． 解：＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝(a＋b). (1)证明：假设a＝λ b(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在． 故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)解：设c＝m a＋n b(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得所以c＝2a＋b. [B组　关键能力练] 9．已知a，b是两个不共线的向量，m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋b，则(　　) A．p＝ B．p＝ C．p＝ D．p＝ 因为a，b是两个不共线的向量，设p＝x m＋y n， 则3a＋b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，即 解得所以p＝－m＋n＝. 10．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝，则(　　) A．＝－ B．＝＋ C．＝＋ D．＋＝2 对A，由题意得＝＋＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故A错误； 对B，＝＋＝－＋＝＋，故B正确； 对C，＝＋＝＋＝＋＝＋，故C正确； 对D，＋＝－＋＋＋＝2，故D正确． 11．在△ABC中，点D，E满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＋y＝__________． － 在△ABC中，点D，E满足＝2，＝， 则＝＋＝－＝(－)－＝ －＋， 而，不共线，又＝x＋y，因此x＝－，y＝，所以x＋y＝－. 12．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线． (1)在△OAB中，若点P在AB上，且＝2，＝r＋s，求r＋s的值； 解：(1)∵＝2，∴＝， ∴＝(－)＝－. 又∵＝r＋s， ∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0. (2)点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值． (2)∵四边形OABP为平行四边形(如图)，∴＝＋. 又∵＝m＋， ∴－＝m＋. 依题意，是非零向量且不共线，∴m＝－1. [C组　素养培优练] 13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，G是AD上一点，且＝＝2，过点G作直线分别交AB，AC于点E，F. (1)用向量与表示； 解：(1)＝＋＝＋＝＋＋＝＋. (2)若＝，求和的值． 解：(2)因为＝，所以＝.设＝μ， ＝＝＝＋＝＋， 因为G，E，F三点共线， 所以＋＝1，解得μ＝，所以＝. 因为＝＋＝－＋， ＝＋＝－＋＋＝－＋＝， 所以＝，即＝. $$