6.2.4 第一课时 向量的数量积(一)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.4　向量的数量积 第一课时　向量的数量积(一) 第六章　平面向量及其应用 学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算     [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　2.掌握向量数量积的定义及投影向量．　3.会计算平面向量的数量积． 知识点1　两向量的夹角 内容索引 知识点2　向量的数量积 知识点3　投影向量 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　两向量的夹角 非零向量　 ∠AOB　 同向 反向 　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [分析]　根据向量夹角的定义． 例1 1．求两个向量的夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝π－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 思维提升 跟踪训练 C 知识点2　向量的数量积 1．向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为________． 0 2．平面向量数量积的性质 设向量a与b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. |a|2　 ≤ 微提醒： 1．数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． 2．向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 3．a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 例2   定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 思维提升 跟踪训练 C B 知识点3　投影向量 投影 投影 微提醒： 1．向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． 2．如果两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． 3．由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果． 　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； [分析]　(1)直接用数量积公式进行计算． 例3 (2)求a在b上的投影向量． [分析] (2)利用投影向量公式求解． 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 思维提升 跟踪训练 D 5．已知a·b＝16，e为与b方向相同的单位向量．若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝__________． 4 设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝16， 又∵a在b上的投影向量为4e，∴|a|cos θ e＝4e， ∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4. 〈课堂达标·素养提升〉 A C CD 4．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． e 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量． (1)求a与b的夹角θ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)求a在b上的投影向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1．两向量的夹角 已知两个__________a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).a，b的夹角记作〈a，b〉． 当θ＝0时，a与b__________； 当θ＝π时，a与b__________． 2．两向量垂直 如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 微提醒：两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． [解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角， 在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝________或|a|＝__________． (4)|a·b|______|a||b|. 　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·； [分析]　先确定两个向量的夹角，再利用向量数量积公式求解． [解]　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)·； [分析]　先确定两个向量的夹角，再利用向量数量积公式求解． [解]　(2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)·. [分析]　先确定两个向量的夹角，再利用向量数量积公式求解． [解]　(3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 2．已知向量a与b的夹角为60°，其中＝3，＝2，则a·b＝(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．5 C．3 D．2 a·b＝cos 60°＝3×2×＝3. 3．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1， 则cos θ＝＝， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b________，叫做向量a在向量b上的________向量． 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×cos 120° ＝5×4×＝－10. [解] (2)a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝e＝－e. 4．已知向量a与单位向量b的夹角为，且＝3，则b在a方向上的投影向量为(　　) A.　　　　　　　　 B．b C．a D．a b在a方向上的投影向量为cos ·＝×a＝a. 1．若a，b均为非零向量，则a·b＝是a与b共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 一方面：设a，b的夹角为θ.由a·b＝，可得θ＝0，此时a与b共线； 另一方面：由a与b共线，可得θ＝0或θ＝π，此时有a·b＝或a·b＝－， 即此时a·b＝不一定成立． 结合以上两方面有a·b＝是a与b共线的充分不必要条件． 2．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 3．(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 因为a·b＝0，所以a⊥b或a＝0或b＝0，A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，D正确． 因为a与b的夹角为60°，所以a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e. [A组　必备知识练] 1．已知＝，＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．－3 C．－3 D．3 由平面向量数量积的定义可得a·b＝·cos 120°＝ ×2×＝－3. 2．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是(　　) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 △ABC为锐角三角形， 对于A，与的夹角是钝角，A错误； 对于B，与的夹角是锐角，B正确； 对于C，与的夹角是锐角，C错误； 对于D，与的夹角是钝角，D错误． 3．在Rt△ABC中，C为直角顶点，BC＝4，则·的值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 如图， ∵C为直角，BC＝4， ∴·＝||||cos B＝＝4×4＝16. b在a上的投影向量的模是|b|cos θ＝2×cos 60°＝2×＝1. 5．已知＝4，e为单位向量，a与e的夹角为，则a·e＝__________． －2 由数量积的定义可知：a·e＝cos ＝4×1×＝－2. 解：(1)由a·b＝|a||b|cos θ，得cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°. 解：(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝e＝－e. [B组　关键能力练] 7．在△ABC中，＝a，＝b，若a·b>0，则下列结论正确的为(　　) A．△ABC一定为钝角三角形 B．△ABC一定不为直角三角形 C．△ABC一定为锐角三角形 D．△ABC可为任意三角形 因为a·b>0，所以a·b＝·＝×cos ∠BAC>0，所以cos ∠BAC>0，所以∠BAC为锐角，但是不能确定其他角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定△ABC的形状，故△ABC可为任意三角形． 8．(多选)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，则(　　) A．·＝1 B．2·＝1 C．(－)·＝1 D．(－)·＝1 如图，连接AD，BE，CF，交于点O， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 对于A，·＝1·2·cos 60°＝1，A正确； 对于B，2·＝·＝2·1·cos 60°＝1，B正确； 对于C，·＝·＝·＝·1·cos 30°＝，C错误； 对于D，·＝·＝1·1·cos 180°＝－1，D错误． 9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是_______________． 由题意得·＝||·||cos ∠BAC，即8＝4×4×cos ∠BAC， 所以cos ∠BAC＝.又因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°. 又因为AB＝AC，所以△ABC是等边三角形． 10．如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则·＝__________． 因为△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形， 所以∠DBE＝∠BDE＝60°，∠ABE＝120°， 在△ABE中，AB＝BE＝1，所以∠DAE＝30°，∠AED＝90°， 所以＝，所以·＝··cos ∠DAE＝2××＝3. [C组　素养培优练] 11.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量； 解：(1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)， 四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)求·的取值范围． 解：(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求||的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO(或MA)重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为. $$