6.2.4 第二课时 向量的数量积(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.4　向量的数量积 第二课时　向量的数量积(二) 第六章　平面向量及其应用 学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算   [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点1　向量数量积的运算律 内容索引 知识点2　利用数量积求向量的模和向量的夹角 微点突破　向量数量积的应用(教参独具) 知识点3　与垂直有关的问题 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λ a)·b＝λ(a·b)＝a·(λ b)(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 2．平面向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________________ ____________________ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b ＋2b·c＋2a·c 微提醒： 1．a·b＝b·c推不出a＝c. 2．(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　 　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 例1 ACD 根据数量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； 因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形的三边， 所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确． 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 思维提升 1．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则(e1＋2e2)·(3e1－4e2)＝(　　) A．－6　　　　　　　　　 B．－4 C．－2 D．－1 跟踪训练 B 2．给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) ② ①若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0， ∴a·(b－c)＝0， ∴a⊥(b－c). 这里b＝c是a⊥(b－c)的特殊情况，①错误． ②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝|a|2－|b|2， ∴②正确． ③(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b ＝|a|2＋2a·b＋|b|2， ∴③错误． 综上，正确的是②. 知识点2　利用数量积求向量的模和向量的夹角 　已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． [分析]　直接用平面向量数量积及向量模的求解公式． 例2 例3 思维提升 3．已知平面向量a，b的夹角为θ，且满足：|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则(　　) A．|a＋b|＝4　　　　　　 B．θ＝60° C．|a－b|＝3 D．θ＝30° 跟踪训练 B 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角 为__________． 知识点3　与垂直有关的问题 B 例3 解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 思维提升 跟踪训练 A 6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝______． 〈课堂达标·素养提升〉 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. B C 4．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝__________． 16 ∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16. 微点突破　向量数量积的应用(教参独具) (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． B 例1 例2 跟踪训练 [－4，14) 角度2　利用向量判断三角形的形状 　利用向量的数量积在判断三角形的形状时，方法一：主要转化为根据角是锐角、直角还是钝角；方法二：转化为边，即向量的模的关系． A 例3 B 例3 C 跟踪训练 C 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于(　　) A．－2　　　　　　　　 　 B．－1 C．1 D．2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 13 6．已知单位向量a，b，满足|3a＋b|＝2，则a·(a＋2b)＝___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1 13 由单位向量a，b，可得|a|＝1，|b|＝1， 因为|3a＋b|＝2，可得9a2＋b2＋6a·b＝4，即9＋1＋6a·b＝4，解得a·b＝－1， 所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1＋2×(－1)＝－1. 7．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1.若c＝2a－b，d＝a＋2b，求： (1)c·d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)|c＋2d|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若c＝ta＋b，t∈R，且a⊥c，求t的值及|c|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10．(多选)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0且|a|＝2，则(　 　) A．|b|＝2 B．a＋b＝0 C．|a－2b|＝6 D．a·b＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 120° 13 12．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余 弦值为______，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 且a，b，c之间的夹角均为120°， 所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0， 所以(a－b)⊥c. (2)若|k a＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知：e＝1，e＝1，e1·e2＝1×1×＝， 所以(e1＋2e2)·(3e1－4e2)＝3e＋2e1·e2－8e＝3＋1－8＝－4. 2 法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二：(数形结合法) 由|a|＝2|b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为 2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||. 又因为∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 　已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； [分析]　利用平面向量数量积的运算法则和向量夹角公式求解． [解]　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝， 即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． [分析]　利用平面向量数量积的运算法则和向量夹角公式求解． [解]　(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2 ＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝. 又因为θ∈[0，π]，故θ＝. 1．求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开平方． 2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． |a＋b|＝ ＝ ＝＝， |a－b|＝＝＝＝， 由a·b＝|a||b|cos θ＝2×1×cos θ＝1， ∴cos θ＝， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，所以|a－b|＝＝ ＝， 设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝， 又因为θ∈， 所以θ＝. 　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．－4 C． D．－ [分析]　由向量数量积公式确定m·n与n2的关系，再由向量垂直的充要条件确定t. 由题意知，＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2. 因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0， 所以t＝－4. 5．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 设a与b的夹角为θ，因为(a＋b)⊥b， 所以(a＋b)·b＝a·b＋b2＝|a||b|cos θ＋|b|2＝2|b|2cos θ＋|b|2＝0，所以cos θ＝＝－， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. ∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λ a－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝12λ－18＝0， ∴λ＝. 2．已知单位向量a，b的夹角为，则|5a＋6b|＝(　　) A．9 B． C．10 D．3 由题意得|5a＋6b|2＝25a2＋60a·b＋36b2＝61＋60×1×1×cos ＝91. 故|5a＋6b|＝. 3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为(　　) A． B． C． D． 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0， 3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝. 角度1　极化恒等式及其推论 1．极化恒等式 a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)公式推导： ⇒a·b＝. (2)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，则·＝(||2－||2). 2．三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝ ||2－||2. (1)推导过程：由 ·＝2－2＝2－＝||2－||2. 所以·＝||2－||2. 　如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围为(　　) A．(0，16)　　　　　　　 B． C．(0，4) D． 取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是，即，又由·＝(＋)·(＋)＝||2－＝PE2－4，所以·∈. 　如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是A，D上的两个三等分点，·＝4，·＝－1 ，则· 的值是__________． 法一：因为·＝·＝＝＝4， ·＝·＝＝－1， 因此2＝，2＝，·＝·＝＝＝. 法二：(极化恒等式) ·＝·＝||2－||2＝4，① ·＝·＝||2－||2＝－1，② ·＝·＝||2－||2. 因为E，F是AD上的两个三等分点， 所以||＝||，||＝||， 联立①②解得：||2＝，||2＝， 所以·＝. 1．正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆与AB，AD分别交于E，F于两点，若P为劣弧EF上的动点，则·的最小值为__________． 5－2 设CD中点为G连接PG(图略)，由极化恒等式可知，·＝|PG|2－|DG|2＝|PG|2－1， 因为PGmin＝AG－1＝－1，所以(·)min＝(－1)2－1＝5－2. 2．半径为2的圆O上有三点A，B，C满足＋＋＝0，点P是圆内一点(不含边界)，则·＋·的取值范围是__________． 易知||＝|＋|＝2，且＝＋，由平行四边形性质可知▱ABOC为菱形，且△ABO与△ACO均为等边三角形． 取AO中点M(图略)，由极化恒等式得·＋·＝||2－||2＋||2－||2， ∴·＋·＝2||2－4，易知||∈[0，3)， ∴·＋·的范围是[－4，14). 　若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0， 又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||＝||， 所以△ABC是等腰三角形． 　在△ABC中，若·>||2，则此三角形为(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角直角三角形 D．等腰三角形 如图所示：延长AB至D.在△ABC中，若·>||2，则·>·，整理得·(－)>0，即：·>0，即||||·cos ∠DBC>0， 整理得：cos ∠DBC>0， 故0<∠DBC<，由于∠ABC＋∠DBC＝π，所以π>∠ABC>. 故△ABC为钝角三角形． 3．在△ABC中，若·＝0，且·＝，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 在△ABC中，·＝0，可得AC⊥BC，C＝， 且·＝，可得cos A＝，所以A＝，所以三角形是等腰直角三角形． 4．在△ABC中，向量和满足(＋)·＝0，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．三边不等的三角形 在△ABC中，＝－，∵(＋)·＝0，∴(＋)(－)＝0， ∴||2＝||2，即||＝||.∴△ABC为等腰三角形． 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝1×1×＝， 所以a·b＝(e1＋2e2)·(－3e1＋2e2)＝－3|e1|2＋4|e2|2－4e1·e2＝－3×12＋4×12－4×＝－1. 2．已知菱形ABCD的边长为1，若∠BAD＝60°，则|＋2|＝(　　) A． B．2 C． D． |＋2|2＝(＋2)2＝||2＋4||2＋4·＝1＋4＋4×1×1×cos 60°＝7. 所以|＋2|＝. 3．已知平面向量a，b满足：|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，若(λ a＋b)⊥(a－b)(λ∈R)，则λ＝(　　) A．0 B．1 C． D． 由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 120°＝1×2×＝－1， 由(λ a＋b)⊥(a－b)得(λ a＋b)·(a－b)＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0， ∴λ－(1－λ)－4＝0，解得λ＝. 4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．e1在e2方向上的投影向量为cos θ e2 B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ， 则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θ e2＝cos θ e2，故A正确； e＝e＝1，故B正确； (e1＋e2)(e1－e2)＝e－e＝0， 故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确； e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误． 5．已知向量⊥，||＝3，则·＝________． ∵⊥，∴·＝·(－)＝·－||2＝·－9＝0，即·＝9. 解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9. 解：(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97， ∴|c＋2d|＝. 8．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝. (1)求a与b的夹角θ； 解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7， ∴1－2×1×2×cos θ＋4＝7，∴cos θ＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 解：(2)∵a⊥c，c＝ta＋b，∴a·(ta＋b)＝0，∴ta2＋a·b＝0， ∴t＋1×2×＝0，∴t＝1， ∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3， ∴|c|＝. [B组　关键能力练] 9．已知a，b为单位向量，且|a－2b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 设a，b的夹角为θ，则0≤θ ≤π，由已知可得|a|＝|b|＝1，|a－2b|＝|a＋b|， 所以(a－2b)2＝(a＋b)2，即a2－4a·b＋4b2＝a2＋2a·b＋b2， 即|a|2－4|a|·|b|cos θ＋4|b|2＝|a|2＋2|a|·|b|cos θ＋|b|2，即5－4cos θ＝2＋2cos θ， 解得cos θ＝，故θ＝. 因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0， 再由a·b＋a2＝0，且|a|＝2，可得a2＝b2＝4，所以|b|＝2，a·b＝－4，A选项正确，D选项错误； 设a，b的夹角为θ，cos θ＝＝－1，即向量a，b的夹角θ＝π，故向量a，b共线且方向相反，所以a＋b＝0，B选项正确； |a－2b|＝＝＝＝6，C选项正确． 11．已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝，|c|＝2，则a与c的夹角为__________． 设a与c的夹角为θ，由a＋b＋c＝0可得：b＝－(a＋c)， 两边取平方，b2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2a·c＝a2＋c2＋2|a|·|c|cos θ，可得： cos θ＝＝＝－，因为0°≤θ≤180°，故θ＝120°. ∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2，设a，b夹角为θ， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝， ∴a在b方向上的投影向量为|a|cos θ＝5×·＝b，即b＝λb，解得λ＝1. (2)解：因为|k a＋b＋c|>1，所以(k a＋b＋c)2>1， 即k2a2＋b2＋c2＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c>1. 因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－， 所以k2－2k>0，解得k<0或k>2， 所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞). $$