6.2.3 向量的数乘运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.3　向量的数乘运算 第六章　平面向量及其应用 学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算 [学习目标]　1.了解向量数乘的概念．　2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．　3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 知识点1　向量数乘运算 内容索引 知识点2　向量的线性运算 知识点3　向量共线定理 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　用已知向量表示未知向量 3 知识点1　向量数乘运算 知识点1　向量数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的__________，记作λ a，其长度与方向规定如下： (1)|λ a|＝|λ||a|. 向量　 数乘 λ>0　 λ<0　 　(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是( 　　) A．当λ<0时，λ a的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λ a与a是共线向量 C．|－λ a|＝λ|a| D．当λμ>0时，λ a的方向与μ a的方向一定相同 [分析]　根据向量数乘的概念． ABD 例1 根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λ a＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λ a和μ a与a同向，或者都是与a反向，所以λ a与μ a的方向一定相同，故D正确；对于C，|－λ a|＝|λ||a|，C错误． λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 思维提升 1．已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b|　　　　　　 B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 跟踪训练 C ∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同． ABC 知识点2　向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μ a)＝____________； (2)(λ＋μ)a＝____________； (3)λ(a＋b)＝______________． 特别地，有(－λ)a＝－(λ a)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λ a－λ b. (λμ)a λ a＋μ a λ a＋λ b 2．向量的线性运算 向量的_____________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________． 加、减、数乘 λμ1a±λμ2b 　(1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　) A．－a　　　　　　 B．－b C．－c D．以上都不对 [分析]　(1)直接利用向量加、减法的混合运算解答． 例2 C (1)原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． [分析] (2)把等式左侧变形，由向量和为0，可求x. 4b－3a (2)由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 思维提升 跟踪训练 ABD 知识点3　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λ a. 微提醒： 1．向量共线定理中规定a≠0. 2．λ的值是唯一存在的． 例3 (2)若8a＋k b与ka＋2b共线，求实数k的值． 例4 思维提升 跟踪训练 1 ①②③ ①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线． 知识点4　用已知向量表示未知向量 例5 D 用已知向量表示其他向量的两种方法 1．直接法 思维提升 2．方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 跟踪训练 B 〈课堂达标•素养提升〉 C C AB 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．下列说法中正确的是(　　) A．λ a与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λ a C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．(1)化简：6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：(1)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若A，B，C三点共线，求xy的最大值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)λ a(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λ a＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 2．(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是(　 　) A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍 B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 A中，∵－2a与a方向相反，两向量共线，且|－2a|＝2|a|，∴A正确； B中，∵ 3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|， ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的，∴B正确； C中，按照相反向量的定义可以判断正确； D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等向量，∴D不正确． 3．(多选)下列运算正确的是(　 　) A．·2a＝－6a B．2－＝3a C．－＝0 D．2＝6a－2b 由题意，A项，·2a＝－6a，A正确． B项，2－＝2a＋2b－2b＋a＝3a，B正确． C项，－＝a＋2b－2b－a＝0，C错误． D项，2＝6a－2b，D正确． 4．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝____________． b－a ∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴a－2c＋15c－12b＝0，化简得13c＝12b－a，∴c＝b－a. 设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (1)[证明]　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)[解]　∵8a＋k b与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋k b＝λ(k a＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，求证：x＋y＝1. [证明]　∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ)－λ，又∵＝x＋y，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1. 1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解． 5．设e1，e2是空间内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝__________． 依题意，＝e1＋2e2，故＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2. 已知A，B，D三点共线，可设＝λ， 则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋k e2)＝λe1＋kλ e2， 所以解得k＝1. 6．若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有________．(填序号) ①a＝2e1，b＝－2e1； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点．若＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b　　　　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b [分析]　利用向量的加法运算即可． 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 7．已知D为△ABC的边BC的中点．若＝a，＝b，则＝(　　) A．2b＋a　　　　　　　 B．2b－a C．2a－b D．2a＋b 如图所示，由＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋， 所以＝2－＝2b－a. 1．已知|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝(　　) A．－b　　　　　　　 B．b C．－b D．b 由|a|＝5，|b|＝7得|a|＝|b|， 又因为b与a的方向相反，所以a＝－b. 2．已知向量a，b，那么＋2b等于(　　) A．a－2b B．a－4b C．a D．b ＋2b＝a－2b＋2b＝a. 3．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　　) A．m＝ma－mb B．a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 对于A选项，m＝ma－mb，A正确； 对于B选项，a＝ma－na，B正确； 对于C选项，若m＝0，则a，b不一定相等，C错误； 对于D选项，若a＝0，则m，n不一定相等，D错误． 2. (多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　) A．＝　　　　　 B．＝ C．＝－ D．＝ 因为，方向相同，且||＝3||，所以＝，A正确； 因为，方向相同，且2||＝3||， 所以＝，B正确； 因为，方向相反，且2||＝3||，所以＝－，C正确； 因为，方向相反，且||＝||，所以＝－，D错误． 3．设O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋＋2＝(　　) A． B． C． D． 由图形可知＋＝0，故＋＋2＝＋＝＋＝. 4．设e1，e2是两个不共线的向量．若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ ∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1. ∵e1与e2不共线， ∴∴ 5.(a＋2b)－(5a－2b)＋a＝____________． －a＋b 原式＝a＋b－a＋b＋a＝ a＋b＝－a＋b. 6．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点， 则＝____________．(用，表示) － 利用向量加减法运算的三角形法则，可得＝－，＝＋， ∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－. 又∵＝，∴＝－. (2)已知3－4＝0，求未知向量x. 解：(2)因为3－4＝3a＋2b＋4x＝0，所以x＝－a－b. 8．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)解：∵ka＋b与a＋kb反向共线，∴存在实数λ(λ<0)， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0， ∴(舍去)或∴k＝－1. [B组　关键能力练] 9．在△ABC中，D是AB边上的一点．若＝＋λ，则λ等于(　　) A． B． C． D． ∵A，B，D三点共线， ∴＋λ＝1，λ＝. 10．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，DC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝－ 因为AB∥CD，AB＝2CD，M为AB的中点，所以四边形AMCD为平行四边形，对于A：＝＋＝＋，正确； 对于B：＝＋＝＋＝＋ ＝＋，正确； 对于C：＝＋＝－＝－，错误； 对于D：＝－＝－，错误． 11．已知向量a，b，x满足关系式3a＋4＝0，那么可用向量a，b 表示向量x＝__________． a＋b 因为3a＋4＝0，所以，x－b＝a，则x＝a＋b. 12．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________． ∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心，∴＋＝3， ∴m＝3. 13．已知向量a，b不共线，＝a＋2b，＝2a－b，＝xa＋yb. (1)若＝－2，求x，y； 解：(1)由题意可得：＝－2＝(2a－b)－2(a＋2b)＝－5b， 且＝xa＋yb，所以x＝0，y＝－5. 解：(2)若A，B，C三点共线，则＝λ＋(1－λ)，λ∈R， 则λ(a＋2b)＋(1－λ)(2a－b)＝(2－λ)a＋(3λ－1)b＝xa＋yb， 可得x＝2－λ，y＝3λ－1， 则xy＝(2－λ)(3λ－1)＝－3λ2＋7λ－2＝－3＋，当λ＝时，xy取到最大值. [C组　素养培优练] 14．在三角形ABC中，已知E，F分别是线段AB，AC上的点，且＝，＝.若M，N分别为线段EF，BC的中点． (1)用，表示. 解：(1)如图，因为M，N分别是EF，BC的中点， 所以＝＋，＝＋. 又因为＝，＝， 所以＝×＋×＝＋， 所以＝－＝＋－＝＋. 解：(2)由(1)知，＝＋，＝＋. 假设A，M，N三点共线，则，共线， 所以∃λ∈R，使得＝λ，即＋＝＋， 整理可得，＋＝0. 因为，不共线，所以有此时λ无解， 所以假设不成立，所以A，M，N三点不共线． $$