6.2.1 向量的加法运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 第六章　平面向量及其应用 学习单元1　平面向量的概念　平面向量的运算 [学习目标]　1.理解并掌握向量加法的概念．　2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算．　3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 知识点1　向量加法的定义及运算法则 内容索引 知识点2　向量加法的运算律 知识点3　向量加法的实际应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　向量加法的定义及运算法则 1．向量加法的定义 求________________的运算，叫做向量的加法． 两个向量和 2．向量求和的法则 三角形 0＋a 平行四边形 ________的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，______的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 位移　 力 　(1)如图①所示，求作向量a＋b； 例1 [分析]　(1)两个向量共线时，把一个向量的起点与另一个向量的终点重合即可得和向量． (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.   [分析] (2)两个向量不共线时，既可以用三角形法则，也可以用平行四边形法则求和向量． 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系 思维提升   区别 联系 三角形法则 1.首尾相接 2.适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一部分 平行四边形法则 1.共起点 2.仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练 D 0 知识点2　向量加法的运算律 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是__________的非零向量时，等号成立． 方向相同 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 　如图，四边形ABDC为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD，CD＝2AB，E为CD的中点．试求： 例2 向量加法运算律的意义和应用原则 1．意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． 2．应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 思维提升 跟踪训练 B 知识点3　向量加法的实际应用 　 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 例3 [变设问2]　若条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向(相当于与河岸的夹角)的正切值． 应用向量解决平面几何问题的基本步骤 1．表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． 2．运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． 3．还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 思维提升 5.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 B B BD 等腰直角三角形 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [C组　素养培优练] 14．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 向量 求和 的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的________法则． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝________＝a 向量 求和 的法则 平行 四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA， OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________法则 [解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． [解]　(2)法一：(三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二：(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b， ＝c. 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 1．在矩形ABCD中，＝(　　) A．＋　　　　　　 B．＋ C．＋ D．＋ 由题设，＋＝，＋＝＋＝，＋＝＋＝，＋＝，故A，B，C错误，D正确． 2．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量． (1)＋＝________； 　 (1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)＋＝________； (2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝. (3)＋＝________． (3)因为＝，故＋＝＋＝0. (1)＋； [解]　由已知得四边形ACEB，四边形ABDE均为平行四边形． (1)＋＝. (2)＋＋； [解]　(2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＋. [解]　(3)＋＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝0. 3．四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋等于(　　) A． B． C． D． ＋＋＝＋＋＝＋＝. 4．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________． 2 |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2. [解]作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝，∴α＝60°， 从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． 解：由本例解图可知||＝||＝×20 ＝10(m/min)＝(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km). 解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min， ||＝|v水|＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2，即为所求． 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°， ∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)， ||＝||cos 60°＝10×＝5(N). ∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N． 1. ＋＋＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．0 ＋＋＝. 2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝(　　) A． B． C． D． 根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝. 3．(多选)下列等式不正确的是(　　) A．a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b B．＋＝0 C.＝＋＋ D．|a＋b|＝|a|＋|b| B错误，＋＝0；D错误，当且仅当a，b方向相同时成立． 4．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是_________________． 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(如图). 则|＋|＝||＝. 又∵AB＝AC＝1，且BD＝AC， ∴AB＝BD＝1，且AB2＋BD2＝AD2， 从而△ABD为等腰直角三角形． 因此平行四边形ABDC为正方形， 故△ABC为等腰直角三角形． [A组　必备知识练] 1．化简：＋＋＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． ＋＋＝＋＋＝＋＝. 2．在四边形ABCD中，＝＋，则(　　) A．四边形ABCD一定是矩形 B．四边形ABCD一定是菱形 C．四边形ABCD一定是正方形 D．四边形ABCD一定是平行四边形 由＝＋及向量加法的平行四边形法则知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形． 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 以OP，OQ为邻边作平行四边形，可知OF为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知OF对应的向量即为所求向量． 4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　 　) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 根据向量加法的平行四边形法则知＋＝，故A正确； ＋＋＝0≠，故B错误； ＋＋＝＋＝，故C正确； ＋＋＝＋＝0，故D正确． 5．化简：(＋)＋(＋)＋＝__________． (＋)＋(＋)＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋＋＝＋(＋)＝＋0＝. 6．在边长为1的等边△ABC中，|＋|＝__________，|＋|＝__________． 易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 7．如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋； 解：(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋； 解：(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)＋＋. 解：(3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 8．河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度． 解：设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度．过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度， ∴||＝ ＝20(km/h)， tan ∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°， ∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行． [B组　关键能力练] 9．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向正北方向航行km D．向正东方向航行km 如图，易知tan α＝＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，所以a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km. 10．(多选)设a＝＋，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．a＋b<|a|＋|b| 由题意，a＝＋＝＋＋＋＝0， 易知A，C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误． 11．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________． 如图，由题意知△ABD为等边三角形，所以|＋|＝||＝||＝1. 12．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________． 如图所示，延长AG交BC于点E，则E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED， 则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0. 13．如图所示，P，Q分别是△ABC的边BC上不同的两点，且＋＝0.求证：＋＝＋. 证明：因为＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋. 又因为＋＝0，所以＋＝＋. 解：设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0. 因为a，b的合力为c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|. 如图，在平行四边形OB′C′A′中， 因为⊥，＝， 所以||>||，||>||，即|a|>|b|，|a|>|c|. 故细绳OA受力最大． $$