第6章 章末检测(一)平面向量及其应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第六章　平面向量及其应用 章末检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度大小为(　　) A．v1＋v2　　　　　　　 B．v1－v2 C．|v1|＋|v2| D．|v1|－|v2| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 选项A，B表示的是向量(速度)，选项C，D表示的是向量模的运算(速度的大小).|v1|＋|v2|表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小，|v1|－|v2|表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 依题意，设2e1＋λe2＝t(μ e1＋e2)，又e1，e2是两个不共线的向量，所以tμ＝2，λ＝t，所以λμ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 CD 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，b＝6，c＝7，下面说法正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝5∶6∶7 B．cos A∶cos B∶cos C＝5∶6∶7 C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a，b满足(a＋b)·(a－2b)＝|b|2，|a|＝2|b|，则向量a与b的   夹角为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)若a与b的夹角为直角，求实数λ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若a与b的夹角为钝角，求实数λ的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知(sin C＋sin B)(c－b)＝a(sin A－sin B). (1)求角C的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b 由已知可得＝＋＝a＋b，故＝－＝－a－b. 3．已知在三角形ABC中，A＝，且c＝2b＝6，则角A所对边a的长度为(　　) A．3 B．3 C．3 D．3 由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋62－2×3×6×＝27，所以a＝3. 4．已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μ e1＋e2是共线向量，则(　　) A．＝－2 B．λμ＝－2 C．＝2 D．λμ＝2 5．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB>BC，CD中点为E，则·的值为(　　) A．－1 B．＋1 C．4 D．2 因为在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB>BC， 所以＝，故AB＝2，而＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝·＝·＋||2＝0＋×22＝2. 6. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即S＝ .现有面积为3的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则△ABC的周长是(　　) A．9 B．12 C．18 D．36 根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4＝a∶b∶c，不妨设a＝2k⇒b＝3k，c＝4k，k>0，由S＝＝＝3⇒k＝2， 所以△ABC的周长是a＋b＋c＝9k＝18. 7．已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λ b在向量a上的投影向量为2a，则λ＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． a＋λ b在向量a上的投影向量为a＝2a⇒＝2. (a＋λ b)·a＝|a|2＋λ|a|·|b|cos 120°＝1－λ＝2⇒λ＝－2. 8．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，·＝ －2，且满足sin B＋sin C＝2sin A，则该三角形的外接圆的面积为(　　) A．π B．π C．π D．π ∵·＝－·＝－||·||·cos A＝－2， ∴||·||＝4，即bc＝4，又sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理可知b＋c＝2a， ∴b2＋c2＋2bc＝4a2，即b2＋c2＝4a2－8，由余弦定理cos A＝及A＝， 得＝，解得a2＝，由＝2R得R2＝＝，∴S＝π R2＝π. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量a，b在由正方形组成的网格中位置如图所示(网格中面积最小的正方形边长为1)，则(　　) A．|b|＝ B．存在实数λ，使得b＝λ a C．(a＋2b)·b＝7 D．向量b在a方向上的投影向量为－a |b|＝ ＝，A正确； 由题图可知，向量a，b不共线，故不存在实数λ，使得b＝λ a，B错误； 设网格中方向向右、向上的单位向量分别为e1，e2，且e1⊥e2，则a＝3e1，b＝e1＋e2，所以(a＋2b)·b＝(5e1＋2e2)·(e1＋e2)＝7，C正确； 由题图可知，向量b在a方向上的投影向量方向向 右、模长为1，所以向量b在a方向上的投影向量 为a，D错误． 10．下列说法正确的是(　　) A．若·>0，则△ABC是锐角三角形 B．若点G为△ABC的垂心，则＋＋＝0 C.方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量是共线向量 D．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，a＝2，若△ABC有两解，则b的取值范围是(3，2) A选项，在三角形ABC中，若·>0，则A为锐角，但B，C两个角是否有钝角无法判断，所以A选项错误； B选项，在Rt△ABC中，∠C为直角，则C是△ABC的垂心， 则＋＋＝＋≠0，所以B选项错误； C选项，北偏西的向量与方向为东偏南的向量，由图可知，这两个向量共线，所以C选项正确； D选项，a×sin B＝2×＝3，所以a sin B<b<a， 即3<b<2时三角形ABC有两解，D选项正确． 对于A，由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝5∶6∶7，A对； 对于B，由余弦定理可得cos A＝＝＝，cos B＝＝＝，cos C＝＝＝， 所以，cos A∶cos B∶cos C≠5∶6∶7，B错； 对于C，因为a<b<c，则C为最大角，又因为cos C＝>0，则C为锐角，故△ABC为锐角三角形，C对； 对于D，由题意知，A为最小角，则cos 2A＝2cos 2A－1＝2×2－1＝≠cos C， 因为A∈，则2A∈(0，π)，则C≠2A，D错． 由向量a，b满足(a＋b)·(a－2b)＝|b|2，|a|＝2|b|，则a2－a·b－2b2＝b2，则a·b＝b2.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，则θ＝. 13．在△ABC中， D为AC上一点且满足 ＝，若P为BD的中 点，且满足 ＝λ＋μ，则λ＋μ的值是__________． 如图 因为＝，所以＝， 则＝＋＝＋×＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝. 14．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为__________． 在△ABC中，B＝，b＝6，a2＋c2＝2ac， 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝2ac－2ac cos ＝3ac， 解得ac＝6，所以S△ABC＝ac sin B＝×6×＝3. 解：设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1，－2)·(1，λ)＝1－2λ. (1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1－2λ＝0，所以λ＝. 解：(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0，且cos θ≠－1，所以a·b<0且a与b不反向．由a·b<0，得1－2λ<0，故λ>，由a与b共线得λ＝－2，故a与b不可能反向． 所以λ的取值范围为. 16．(15分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； 解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C三点共线， ∴存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得 (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； 解：(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2). 解：(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x，5－y). ∵＝(－7，－2)，∴解得 即点A的坐标为(10，7). 解：(1)由(sin C＋sin B)(c－b)＝a(sin A－sin B)及正弦定理， 得(c＋b)(c－b)＝a(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)设c＝3，·＝1，求△ABC的周长． 解：(2)∵·＝1，∴ab cos C＝1，∵C＝，∴ab＝2， ∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，c＝3，∴9＝(a＋b)2－2ab－ab， ∴a＋b＝，∴△ABC的周长为3＋. 18．(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，||＝2||＝4，∠DAB＝45°. (1)若k－与共线，求k的值； 解：(1)，不共线，以它们为基底．由已知＝＋＝＋.又k－与共线，所以存在实数λ，使得k－＝λ＝ λ＋λ，即解得 (2)若P为AD边上的动点，求(＋)·的最大值． 解：(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，∠BAD＝45°，则AD＝. 设＝x，x∈[0，1]，则＋＝2＋＝－2x， ＝＋＝(1－x)＋， (＋)·＝(－2x)· ＝||2＋(1－2x)·－2x(1－x)||2 ＝×42＋(1－2x)×4××cos 45°－2x(1－x)×2＝4x2－12x＋12＝4＋3， 所以x＝0时，(＋)·取得最大值12. 19．(17分)某小区拟对一扇形区域AOB进行改造，如图所示，平行四边形OMPN为休闲区域，阴影部分为绿化区，点P在弧AB上，点M，N分别在OA，OB上，且OA＝4米，∠AOB＝，设∠POB＝θ. (1)请求出休闲区域OMPN的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最大值，最大值为多少平方米？ 解：(1)由题意∠AOB＝，∠POB＝θ，PN∥MO，OP＝OA＝4， 在△OPN中，∠ONP＝，∠OPN＝－θ， 由正弦定理得＝， 即＝，即ON＝sin ， 则休闲区域面积S＝2S△OPN＝OP·ON·sin θ＝sin θsin ， 即S＝sin θsin ，其中0<θ<， 而S＝sin θsin ＝sin θ ＝(sin θcos θ－sin 2θ) ＝ ＝sin －， 因为0<θ<，所以<2θ＋<， 则当2θ＋＝，即θ＝时，休闲区域面积S取得最 大值，且最大值为Smax＝. (2)设＝x＋y，求x2＋y2的取值范围． 解：(2)由(1)知＝＝，OP＝OA＝4， 所以ON＝sin ，OM＝PN＝4×sin θ＝sin θ， 由题意＝x＋y＝＋， 所以x＝sin θ，y＝sin ， 所以x2＋y2＝＝ ＝＝－＝－sin ， 因为0<θ<，所以<2θ＋<， 所以sin ∈，－sin ∈ ， 所以x2＋y2＝－sin ∈. $$