第6章 提升课 平面向量中的最值与范围问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

提升课　平面向量中的最值与范围问题 第六章　平面向量及其应用 学习单元2　平面向量基本定理及坐标表示 平面向量中的最值、范围问题其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、参数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值；另外一种思路是数形结合． 知识点1　向量线性运算中的最值与范围问题 内容索引 知识点2　向量数量积的最值、范围问题 知识点3　向量模的最值、范围问题 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　向量夹角的最值、范围问题 3 知识点1　向量线性运算中的最值与范围问题 例1 (－1，0) 跟踪训练 知识点2　向量数量积的最值、范围问题 C 例2 1．解决向量数量积的最值问题，一般是把该数量积转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，从而得到结论． 2．起点相同的两个向量的数量积的范围与最值问题通常利用极化恒等式解决问题． 思维提升 跟踪训练 C D 知识点3　向量模的最值、范围问题 例3 D 求向量模的最值(或范围)的方法 利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值(或范围). 思维提升 跟踪训练 A 设a与a－b夹角为θ.因为|b|＝|(a－b)－a|， 得|b|2＝|(a－b)－a|2＝(a－b)2－2(a－b)·a＋a2＝|a－b|2－2|a－b|·|a|cos θ＋|a|2 ＝1－4cos θ＋4，当cos θ＝－1时，|b|2取得最大值为9，|b|的最大值为3. C 知识点4　向量夹角的最值、范围问题 　已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ， 则cos θ的最小值为__________． 例4 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围． 思维提升 跟踪训练 C 〈课堂达标·素养提升〉 D C 3．已知向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝－4，则|a－b|的取值范围是__________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －2 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设x＝a＋(t2＋3)b，y＝－kt a＋b，若存在t∈[0，2]，使得x⊥y成立，求k的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [2，3] 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(1)如图，以O为原点，平行于BA的直线为x轴，平行于DA的直线为y轴建立平面直角坐标系． 设O，S与x轴的正半轴所成的角为α，0≤α<2π，则点S(2cos α，2sin α)，由题可知A(2，2)，B(－2，2)， M(2cos α，2)，N(2，2sin α)， p＝4cos α＋4，q＝－4＋4sin α， 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值． [分析]　根据题意以及三点共线的结论，得到m＋n＝1，然后利用基本不等式求解． [解]　由题意得＝＋＝－， 所以＝m＋n＝m＋n＝＋n， 由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)， 所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋＝ ，则＋的最小值为. 1．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是__________． 由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝ λ＋(1－λ). 又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)， 则＝－＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0).所以m＋n的取值范围是(－1，0). 　某中学数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为弧AC上的一点，且∠PBC＝α，则·的最小值为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．2－4 C．－2 D．2 [分析]　根据向量的运算可得·＝·－4，结合数量积的几何意义分析求解． 因为P为弧AC上的一点，则||＝2， 且||＝2， 可知·＝·(－)＝·－||2＝·－4， 由图形可知：当点P与点A重合时，向量在方向上的投影向量的模取到最小值， 此时·＝·－4≥2×2×－4＝－2， 所以·的最小值为－2. 2．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A． B． C． D．[0，1] 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中， 设E(x，0)，0≤x≤1.则M，C(1，1)， 所以＝，＝(1－x，1)， 所以·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋. 因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是. 3.如图，AB是圆O的一条直径，且AB＝4.C，D是圆O上的任意两点，CD＝2.点P在线段CD上，则·的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[，2] C．[3，4] D．[－1，0] 由题意知，连接PO，O为AB的中点，则＝＋，＝＋，＋＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－2＝||2－4， 又AB＝4，CD＝2，所以圆心O到直线CD的距离为 d＝ ＝， 又点P在线段CD上，所以≤||≤2，则3≤||2≤4， 所以－1≤||2－4≤0， 即·的取值范围为[－1，0]. 已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|a－λ b|的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．5 C． D． 依题意，建立如图所示的坐标系， 则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，a－λ b＝(2－2λ，1＋λ)， |a－λb|＝＝＝ ≥，当且仅当λ＝时取“＝”，所以|a－λ b|的最小值是. 4．若|a|＝2，|a－b|＝1，则|b|的最大值为(　　) A．3 B．5 C．3 D．2 5．若单位向量e1，e2的夹角为120°，则当|e1－λe2|(λ∈R)取得最小值时，λ的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－ D． 由题意知e1·e2＝cos 120°＝－，因为|e1－λe2|2＝λ2＋λ＋1＝＋，所以当λ＝－时，|e1－λe2|取得最小值. ∵|a|＝1，∴设a＝(1，0)，b＝(x，y)，∴b－a＝(x－1，y)， 由2|b－a|＝b·a得，2 ＝x，则x>0， ∴4(x－1)2＋4y2＝x2，∴y2＝－x2＋2x－1， ∴cos θ＝＝＝＝＝＝， ∴当＝1，即x＝1时，cos θ取最小值. 6．已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 设a，b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2， cos θ＝＝＝＝＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，所以0<cos θ≤，当cos θ＝时，θ＝， 所以a，b的夹角的最小值为. 7．若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈， 则a与a＋b的夹角取值范围是____________． 根据题意，设|a＋b|＝t，则|a|＝|b|＝λt，设a与a＋b的夹角为θ，由|a＋b|＝t，得a2＋2a·b＋b2＝t2，又|a|＝|b|，所以a2＋a·b＝，所以cos θ＝＝＝＝.又λ∈， 则≤cos θ≤， 又0≤θ≤π，所以θ∈. 1．已知＝2≠0，且关于x的方程x2＋x＋a·b＝0无实根，则向量a与b的夹角的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 因为关于x的方程x2＋x＋a·b＝0无实根，则|a|2－4a·b<0， 设向量a与b的夹角为θ，则|a|2－4·cos θ<0， 又＝2≠0，代入整理得：cos θ>，因为θ∈[0，π]，故θ∈. 2．扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，则·的最小值为(　　) A．－ B．0 C．－ D． 由题设知，＝－，＝－， ∴·＝(－)·(－)＝ 2－·(＋)＋·， ∵·＝－，||2＝1，∴·＝－·(＋)，要使·的值最小，即，＋同向共线．又|＋|＝||＝1，∴(·)min＝－1＝－. [，5] 向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1， 由(a－c)·(b－c)＝－4，得a·b－c·(a＋b)＋c2＝－4，即a·b＋5＝c·(a＋b)， 则|a·b＋5|＝|c·(a＋b)|≤|c||a＋b|＝＝， 当且仅当c，a＋b同向共线时等号成立，整理得(a·b)2＋8a·b＋12≤0，解得－6≤a·b≤－2， 因此|a－b|＝＝∈[，5]，所以|a－b|的取值范围是[，5]. 4．如图，△ABC是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．则·(＋)的最小值为__________． － 在边长为2的△ABC中，取BC的中点D，连接AD并取其中点O，连接PO，则OD＝AD＝，于是·(＋)＝2·＝2(＋)·(＋)＝2(－)·(＋)＝2||2－2||2≥－2×＝－，当且仅当点P与点O重合时取等号，所以·(＋)的最小值为－. [A组　必备知识练] 1．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．1 由＝t得 ＝＋t(－)， 则＝(1，0)＋t[(0，2)－(1，0)]＝(1－t，2t)，||＝＝＝ ，则当t＝时，||有最小值． 2．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是(　　) A． B． C． D． 向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|≤|a|＋|b|＝8，当且仅当a，b同向时取等号； |a＋b|≥||b|－|a||＝2，当且仅当a，b反向时取等号， 所以|a＋b|的取值范围是. 3．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为边AB的中点，F为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[2，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[1，4] 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则D(0，1)，E(1，0). 设F(2，m)(0≤m≤1)，∴＝(1，－1)， ＝(2，m－1)， ∴·＝2－m＋1＝3－m.∵0≤m≤1，∴2≤3－m≤3， 即·的取值范围为[2，3]. 4．已知△ABC，点D在线段BC上(不包括端点)，向量＝x＋y，＋的最小值为(　　) A．2 B．2＋2 C．2＋3 D．2＋2 △ABC，点D在线段BC上(不包括端点)，故存在λ，使得＝λ，即－＝λ－λ，即＝λ＋(1－λ)，因为向量＝x＋y，所以y＝λ，x＝1－λ，可得x＋y＝1，x>0，y>0，由基本不等式得 ＋＝(x＋y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝2＋3， 当且仅当y＝x，即y＝2－，x＝－1时等号成立． 5．若·＝||2＝4，且||＝1，则·的最大值为__________． ·＝(＋)·＝·＋· ＝－4＋·＝||·||·cos ∠BAP－4 ＝1×2×cos ∠BAP－4≤2－4＝－2， 当且仅当cos ∠BAP＝1时，等号成立． 6．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为__________． 根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， ∴A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，∴＝(4，－3)， 设＝λ(λ∈[0，1])，则＝＋＝＋λ＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0，1]， ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，∴当λ＝0时，·(－)的最大值为9. 7．已知·＝0，M是线段BC的中点． (1)若||＝2||，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； 解：因为·＝0，所以⊥， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在 直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)令||＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以－＝(2a，－a)， ＋＝(2a，a).设向量－与向量＋的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝. (2)若O是线段AM上任意一点，且||＝2||＝2，求·＋·的最小值． 解：(2)因为||＝2||＝2，则C(0，1)，B(2，0)，M， 设O，x∈[0，1]， ∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2·＝2＝(x2－x)＝－. 当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 8．已知向量a＝(，－1)，b＝. (1)求与a平行的单位向量c； 解：(1)设c＝(x，y)，根据题意得 解得或∴c＝或c＝. 解：(2)∵a＝(，－1)，b＝，∴a·b＝0. ∵x⊥y，∴x·y＝0，即－kt|a|2＋(t2＋3)|b|2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1，∴t2－4kt＋3＝0. 问题转化为关于t的二次方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内有解． 令f(t)＝t2－4kt＋3，则当2k≤0，即k≤0时，∵f(0)＝3， ∴方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内无解； 当0<2k≤2，即0<k≤1时，由Δ＝16k2－12≥0， 解得k≤－或k≥，∴≤k≤1； 当2k>2，即k>1时，由f(2)≤0得4－8k＋3≤0， 解得k≥，∴k>1. 综上，k的取值范围为. [B组　关键能力练] 9．已知平面非零向量a，b的夹角为60°，且满足a·b＝|2a＋b|，则|a||b|的最小值为(　　) A． B．12 C．8 D．24 由已知非零向量a，b的夹角为60°， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝|a||b|， 由a·b＝|2a＋b|，两边平方得 |a|2|b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4a2＋b2＋2|a||b|≥4|a||b|＋2|a||b|＝6|a||b|， 当且仅当2|a|＝|b|时等号成立，所以|a||b|≥24，所以|a||b|的最小值为24. 10．在△ABC中，点D满足＝2，若线段BD上的一点P满足＝x＋y(x>0，y>0)，则y－x的取值范围是__________． ∵＝2，∴＝3，∴＝x＋3y. ∵B，P，D三点共线，∴x＋3y＝1，∵x>0， ∴y＝(1－x)<，∴0<y<， ∴y－x＝y－(1－3y)＝4y－1∈. 11．如图，正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围是__________． 正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点M到其中心O的距离||∈[，2]， 因此·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1∈[2，3]，所以·的取值范围是[2，3]. 12．已知向量a＝(cos (－θ)，sin (－θ))，b＝，sin . (1)求证：a⊥b； (1)证明：a＝(cos (－θ)，sin (－θ))，b＝，sin ⇒a＝(cos θ，－sin θ)，b＝(sin θ，cos θ)⇒a·b＝cos θsin θ－sin θcos θ＝0， 故a⊥b. (2)若存在不为0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k a＋t b，满足x⊥y，试求此时的最小值． (2)解：显然|a|＝|b|＝ ＝1， x⊥y⇒x·y＝·(－k a＋t b)＝0， 故可得－k|a|2＋t(t2＋3)|b|2＋a·b＝0， 即－k＋t(t2＋3)＝0⇒k＝t(t2＋3)， ∴＝t2＋t＋3＝＋， 所以当t＝－时，取得最小值. [C组　素养培优练] 13．如图，圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N.设p＝·，q＝·. (1)求pq的取值范围； 所以pq＝16(cos α＋1)(sin α－1) ＝16(cos αsin α＋sin α－cos α－1). 令sin α－cos α＝t∈[－，]， 则cos αsin α＝，pq＝－8(t－1)2， 所以当t＝－时，pq有最小值为－8(3＋2)＝－24－16， 当t＝1时，pq有最大值0， 所以pq的取值范围是[－24－16，0]. (2)求的最小值． 解：(2)＝＝， 令sin α＋1＝m∈(0，2]， 原式＝＝m－2＋≥2－2＝－1， 当且仅当m＝＝时，即sin α＝－时等号成立． 所以的最小值为－1. $$