第6章 平面向量及其应用 章末综合提升-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第六章　平面向量及其应用 章末综合提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4).若a∥b， 则λ＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，k a－b与a垂 直，则k＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考点2　平面向量的模与夹角 4．(2023·北京卷)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(2)如图所示，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE， 易得四边形ABEC为平行四边形，∴AB＝CE，AC＝BE. 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC， AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE cos ∠ACE，两式相加 得BC2＋AE2＝2(AB2＋AC2)， 即BC2＋AE2＝2(b2＋c2)＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考点1　平面向量的平行与垂直 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝，b＝.若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1　　　　　　 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μ b＝. 因为⊥，所以·＝0， 即＋＝0，整理得λμ＝－1. 法一：因为a∥b，所以a＝k b，k∈R， 即(2，5)＝k(λ，4)，得解得 法二：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝. 由题意知(k a－b)·a＝0，即k a2－b·a＝0. 因为a，b为单位向量，且夹角为45°， 所以k×12－1×1×＝0，解得k＝. 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足＝，＝，则＝________． 法一：因为＝，即2＝2， 则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0， 又因为＝，即2＝3， 则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以＝. 法二：设c＝a－b，则＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b， 由题意可得：2＝2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2， 整理得：c2＝b2，即＝＝. 考点3　平面向量的数量积 6．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 法一：以为基底向量，可知＝＝2，·＝0， 则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－||2＋||2＝－1＋4＝3. 法二：如图，以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则E，C，D，可得＝，＝， 所以·＝－1＋4＝3. 法三：由题意可得：ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得 cos ∠DEC＝＝＝， 所以·＝cos ∠DEC＝××＝3. 7．(多选)(2021·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．·＝· D．·＝· A项，∵||＝＝1，||＝＝1， ∴||＝||，A选项正确； B项，易知||＝ ＝， ||＝＝，由于α，β的大小关系不确定，从而不能确定||＝||是否成立，B选项不正确； C选项，∵·＝(1，0)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos (α＋β)， ·＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)， ∴·＝·，C选项正确； D选项，∵·＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α， ·＝(cos β，－sin β)·(cos (α＋β)，sin (α＋β)) ＝cos β·cos (α＋β)－sin β·sin (α＋β) ＝cos (β＋α＋β) ＝cos (α＋2β)， ∴·＝·不一定成立． D选项不正确． 8．(2023·天津卷)在△ABC中，∠A＝，||＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为 __________；若＝，则·的最大值为__________． a＋b 因为E为CD的中点，所以＝＋. 因为D为AB的中点，所以＝，所以＝＋.又＝a，＝b，所以＝a＋b. 因为＝，所以－＝(－)，即＝＋＝a＋b， 于是·＝·＝(2a2＋5a·b＋2b2).记AB＝x，AC＝y， 则·＝(2a2＋5a·b＋2b2)＝ (2x2＋5xy cos 60°＋2y2)＝， 在△ABC中，根据余弦定理：BC2＝x2＋y2－2xy cos 60°＝ x2＋y2－xy＝1， 于是·＝＝， 由x2＋y2－xy＝1和基本不等式，x2＋y2－xy＝1≥2xy－xy＝xy， 故xy≤1，当且仅当x＝y＝1取得等号，则x＝y＝1时，·有最大值. 考点4　与平面向量有关的最值问题 9．(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________．若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 　 ∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°， ·＝λ·＝λ·cos 120°＝λ×6×3×＝－9λ＝－，解得λ＝. 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， ∵BC＝6，∴C. ∵＝3，∠ABC＝60°， ∴A的坐标为A. 又∵＝，则D.设M， 则N(其中0≤x≤5)， ＝，＝， ·＝＋2＝x2－4x＋＝2＋， ∴当x＝2时，·取得最小值. 考点5　正、余弦定理的应用 10．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 法一：∵a cos B－b cos A＝c， ∴sin A cos B－sin B cos A＝sin C， ∴sin (A－B)＝sin C，∴A－B＝C(A－B＋C＝π舍去). 又C＝，∴A－B＝.又A＋B＝，∴B＝. 法二：由a cos B－b cos A＝c，得sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin A cos B＋cos A sin B， ∴cos A sin B＝0.又知sin B≠0， ∴cos A＝0.又∵A∈(0，π)，∴A＝. ∴B＝－C＝－＝. 11．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． 因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝. 12．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 法一：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC，即()2＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，即AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋或AC＝1－(舍).由于AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝∠CAD＝30°.S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即×2×(＋1)×＝×2×AD×＋×(＋1)×AD×，即×(＋1)＝AD＋AD，解得AD＝2. 法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，得sin C＝. 又知0°＜C＜120°，∴C＝45°，∴B＝75°. 在△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－30°－75°＝75°， ∴△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB.又AB＝2，∴AD＝2. 考点6　解三角形的综合应用 13．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； 解：(1)由＝＝2bc＝2，得bc＝1. (2)若－＝1，求△ABC面积． 解： (2)由正弦定理得－＝－＝＝1， 即sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin C＝sin (A＋B)， 得－sin B＝2cos A sin B. ∵sin B≠0，∴cos A＝－. 又∵A∈(0，π)，∴sin A＝， ∴S△ABC＝bc sin A＝×1×＝. 14．(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； 解：由题意知S△ABC＝，BD＝DC，∴S△ADC＝. (1)∵S△ADC＝DA·DC·sin ∠ADC＝，DA＝1，∠ADC＝，∴DC sin ＝，∴DC＝2， ∴BD＝2，易知∠ADB＝. 在△ADB中，由余弦定理可知，AB2＝BD2＋DA2－2DA·DB cos ∠ADB，即AB2＝22＋12－2×1×2×＝7， ∴AB＝， ∴cos B＝＝＝， ∴sin B＝＝＝， ∴tan B＝＝. 又AE＝2AD＝2，∴BC2＝12，∴BC＝2. ∵S△ADC＝AD·DC·sin ∠ADC＝，AD＝1，DC＝， ∴sin ∠ADC＝1，∴AD⊥BC，∴b＝c. 又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. $$