10.3 频率与概率-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

10.3　频率与概率 学习单元10　事件的相互独立性　频率与概率 10.2　事件的相互独立性   [学习目标]　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.　2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.　3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率. 知识点1　频率的稳定性 内容索引 知识点2　游戏的公平性判断 知识点3　用随机模拟估计概率 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　频率的稳定性 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的________性．因此，我们可以用频率fn(A)________概率P(A). 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 稳定 稳定 估计 (多选)下述关于频率与概率的说法中,错误的是(　 　) A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品 B.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率,即使随机试验的次数超过10 000,所估计出的概率也不一定很准确 [分析]　根据频率与概率的关系,结合各选项的描述判断正误. 例1 ABC 对于A: 从中任取100件,可能有10件次品,A错误; 对于B: 做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的频率是,不是概率为,B错误; 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,与描述不符,C错误; 对于D:10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,D正确. 　某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:时)进行了统计,统计结果如下表所示: 例2 (1)将各组的频率填入表中; 分组 [0, 900) [900, 1 100) [1 100, 1 300) [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率               [解]　(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. [解]　(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600, 所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是=0.6, 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 1.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率. 2.频率本身是随机的,在试验前不能确定. 3.概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关. 思维提升 1.下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸地摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 跟踪训练 D 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2.当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 2.下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表: (1)计算各组优等品频率,填入上表; 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率             解:(1)根据优等品频率=, 可得优等品的频率从左到右依次为:0.9,0.92,0.97,0.94,0.954,0.951. (2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率. 解: (2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近, 故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95. 知识点2　游戏的公平性判断 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么? [分析]　计算和为偶数时的概率,概率是就公平,否则不公平. 例3 [解]　该方案是公平的,理由如下: 各种情况如表所示: 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1=,(2)班代表获胜的概率P2=,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.   4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 [变条件]　若把游戏规则改为:两人各自转动转盘一次,转盘停止后,两个指针指向的两个数字相乘,如果是偶数,那么(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.游戏规则公平吗?为什么? 解:不公平.因为乘积出现奇数的概率为,而出现偶数的概率为. 1.游戏规则是否公平,要看对游戏的双方来说,获胜的可能性或概率是否相同.若相同,则规则公平,否则就是不公平的. 2.具体判断时,可以求出按所给规则双方的获胜概率,再进行比较. 思维提升 3.下面有两个游戏规则,袋子中分别装有红球和白球,从袋中无放回地取球,分别计算甲获胜的概率,并说明哪个游戏是公平的? 跟踪训练 游戏一 游戏二 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球,再取1个球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 解:在游戏一中,取出的两个球同色的概率为, 取出的两个球不同色的概率为,所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,因此游戏一中的规则不公平. 游戏二中,取出的两个球同色的概率为, 取出的两个球不同色的概率为,所以甲、乙获胜的概率均为,因此游戏二中的规则是公平的. 知识点3　用随机模拟估计概率 1.利用随机模拟试验,只适用于试验结果是有限个的情形. 2.利用随机模拟试验,关键是建立好适当的模型. 3.利用随机模拟的方法估算概率的步骤:一是建立概率模型;二是进行模拟试验;三是统计计算,随着模拟的数量的不断增加,模拟结果就越来越接近概率. 　甲,乙二人进行乒乓球比赛,规定:胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分.已知甲,乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟实验:用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,当出现随机数4或5时,表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局,所以3个随机数为一组,现产生了20组随机数: 123　344　423　114　423　453　354　332　125　342 534　443　541　512　152　432　334　151　314　525 (1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值; [分析]　(1)由频率可得到概率估计值; 例4 [解]　(1)设事件A为 “甲获胜”, 计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验,其中事件A发生了13次, 对应的数组为:123,423,114,423,332,125,342,512,152,432,334,151,314,用频率估计事件A的概率近似值为P(A)==0.65. (2)计算甲获胜的概率. [分析] (2)事件“甲获胜”可分类为:第一次和第二次比赛胜利;第一次比赛失败,第二、三次比赛胜利;第一、三次比赛胜利,第二次比赛失败. [解]　(2)设事件Ai为第i局“甲获胜”,则P(Ai)=0.6, A=A1A2+A3. 根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 P(A)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.   在使用整数随机数进行模拟试验时,首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (1)试验的基本结果是等可能的时,样本空间即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点. (2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 思维提升 4.采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数: 7527　0293　7140　9857　0347 4373　8636　6947　1417　4698 0371　6233　2616　8045　6011 3661　9597　7424　7610　4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　) A.0.852　　　　　　　 B.0.819 2 C.0.8 D.0.75 跟踪训练 D 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组,所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75. 〈课堂达标·素养提升〉 1.某同学做立定投篮训练,共做3组,每组投篮次数和命中的次数如表: B 根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,则使误差较小、可能性大的估计值是(　　) A.0.58　　　　　　　　　 B.0.61 C.0.62 D.0.68   第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 124 174 366 命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61 由题可知,试验次数越多,频率越接近概率,对可能性的估计误差越小,可能性越大,所以合计列对应的频率最为合适. 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来1 534石(古代容量单位),验得米内夹谷(假设一粒米与一粒谷的体积相等),抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.213石 B.152石 C.169石 D.196石 C 根据题意,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则样本中夹谷的频率为,则这批米内夹谷约为1 534×≈169(石). 3.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验,发现正面朝上出现了560次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A.0.56,0.56 B.0.56,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.56 B 某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验,发现正面朝上出现了560次, 那么出现正面朝上的频率为=0.56; 由于每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的概率相等,都是,故出现正面朝上的概率为=0.5. 4.在用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4人,求选出2个男生、2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是　　　　　　　　　　　　　　　　. 选出的4个人中,只有1个男生 1~4代表男生,5~9代表女生,4678表示一男三女,即“4678”代表的含义是选出的4个人中,只有1个男生. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在抛掷硬币试验中,记事件A为“正面朝上”,则下列说法正确的是(　　) A.抛掷两枚硬币,事件“一枚正面,一枚反面”发生的概率为 B.抛掷十枚硬币,事件B为“抛掷十枚硬币,正面都朝上”没有发生,说明P(B)=0 C.抛掷100次硬币,事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5 D.当抛掷次数足够大时,事件A发生的频率接近于0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 抛掷两枚硬币,出现的基本事件为(正,反),(正,正),(反,正),(反,反),所以事件“一枚正面,一枚反面”发生的概率为P=,故A错误; “抛掷十枚硬币,正面都朝上”没有发生,不能说明P(B)=0,应有P(B)=,故B错误; 抛掷100次硬币,事件A发生的频率与抛掷50次硬币A发生的频率不能判断谁更接近于0.5,故C错误; 根据频率与概率的关系知,当抛掷次数足够大时,事件A发生的频率接近于0.5,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%.用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,顺次产生的随机数如下: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 631　257　393　027　556　488　730　113　137　989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191,271,932,812,631, 393,137,共7组随机数,所以所求概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABC 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　 　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥, P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故选项A,B,C都正确,选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.小明和小展按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜,你认为这个游戏规则　　　　.(填“公平”或“不公平”)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 不公平 当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论是第二个人取1支还是取2支,第一个人在第二次取铅笔时,都可取完,即第一个人一定能获胜,所以不公平. 5.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有50个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%,则口袋中白色球的个数可能是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 ∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%,∴摸到白色球的频率为1-30%-40%=30%,故口袋中白色球的个数可能是50×30%=15. 6.随着经济的发展,人民生活水平得到提高,相应的生活压力也越来越大,对于娱乐生活的需求也逐渐增加.根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据,得到下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值. 剧本类别 A类 B类 C类 D类 E类 演出场次 400 200 150 100 150 好评率 0.9 0.8 0.6 0.5 0.6 (1)从上表各类剧中随机抽取1场剧,估计这场剧获得了好评的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解:(1)设“随机抽取1场剧,这场剧获得好评”为事件N. 获得了好评的场次为400×0.9+200×0.8+150×0.6+100×0.5+150×0.6=750,所以P(N)=. (2)为了了解A,B两类剧比较受欢迎的原因,现用分层随机抽样的方法,按比例分配样本,从A,B两类剧中取出6场剧,对这6场剧的观众进行问卷调查.若再从这6场剧中随机抽取2场,求取到的2场剧中A,B两类剧都有的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解: (2)根据题意,A,B两类剧演出场次之比为400∶200=2∶1. 所以A类剧抽取4场,记为a1,a2,a3,a4,B类剧抽取2场,记为b1,b2, 从中随机抽取2场,所有取法为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3) ,(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15种. 取到的2场中A,B两类剧都有的取法为(a1,b1),(a2,b1),(a3,b1),(a4,b1),(a1,b2),(a2,b2),(a3,b2),(a4,b2),共8种, 所以取到的2场中A,B两类剧都有的概率P=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [B组　关键能力练] 7.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验最可能的是(　　) A.抛一枚硬币,正面朝上的概率 B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率 C.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取 一个球恰好是红球的概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 用频率估计概率,可知某一结果出现的概率在30%~35%之间; 对于A,抛一枚硬币,正面朝上的概率为=50%,A错误; 对于B,掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率为≈16.7%,B错误; 对于C,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取 一个球恰好是红球的概率为≈66.7%,C错误; 对于D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取 一个球恰好是蓝球的概率为≈33.3%,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(多选)一部机器有甲乙丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,以下说法正确的是(　　) A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B.有两个零件发生故障的概率比只有一 个零件发生故障的概率更大 C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AD 由题图可得,在一个生产周期内,机器正常的概率为=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,A正确; 有两个零件发生故障的概率为=0.3,只有一个零件发生故障的概率为=0.45,则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小,B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 乙零件发生故障的概率为=0.4,甲零件发生故障的概率为=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小,C错误; 由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛,假设比赛打满3局,赢得2局或3局者胜出,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2,3时,表示一局比赛甲获胜;否则,乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,产生20组随机数: 423　123　423　344　114　453　525　332　152　342 534　443　512　541　125　432　334　151　314　354 据此估计甲获得冠军的概率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.65 由题意得甲获胜的情况有: 423, 123, 423, 114, 332, 152, 342, 512, 125, 432, 334, 151, 314, 共13种,所以估计甲获得冠军的概率为P==0.65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [C组　素养培优练] 10.某校开展定点投篮项目测试,规则如下:共设定两个投篮点位,一个是三分线上的甲处,另一个是罚篮点位乙处,在甲处每投进一球得3分,在乙处每投进一球得2分.如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试,否则将进行第三次投篮,每人最多投篮3次,如果最终得分超过3分则通过测试,否则不通过.小明在甲处投篮命中率为,在乙处投篮命中率为,小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投. (1)求小明得3分的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解:(1)设小明在甲处投进为事件A,在乙处投进为事件B, 于是P(A)=,P(B)=, 小明得3分的概率P=P(A )=P(A)P()P()=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解: (2)小明选择都在乙处投篮,测试通过的概率 P1=P(BB)+P( BB)+P(B B)=, 小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投,测试通过的概率 P2=P(AB)+P(A B)+P(BB)=, P1-P2=>0,所以选择都在乙处投篮通过率更大. $$