10.1.4 概率的基本性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

10.1　随机事件与概率 10.1.4　概率的基本性质 第十章　概率 学习单元9　随机事件与概率   [学习目标]　1.结合实例,理解概率的基本性质.　2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法. 知识点1　概率的基本性质 内容索引 知识点2　互斥事件与对立事件概率公式的应用 知识点3　概率性质的综合应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A)______0. 性质2　必然事件的概率为______，不可能事件的概率为______，即P(Ω)＝______，P(∅)＝______． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________． 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之____，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝______________________________． ≥　 　0　 1　 1 0 P(A)＋P(B) 和 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am) 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝___________，P(A)＝____________． 性质5　如果A⊆B，那么________________． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 1－P(A) 1－P(B)　 P(A)≤P(B)　 　(1)下列说法正确的个数是(　　) ①必然事件的概率等于1; ②某事件的概率等于1.1; ③某事件的概率是0. A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 例1 C (1)①③正确,②错误. (2)抛掷两枚硬币,事件A表示“至少一枚正面朝上”,事件B表示“两枚正面都不朝上”,则(　　) A.P(A)=P(B) B.P(A)>P(B) C.P(A)<P(B) D.P(A)+P(B)>1 B (2)记硬币正面向上为正,反面向上为反,抛掷两枚硬币的样本空间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)},共4个样本点,A={(正正),(正反),(反正)},共3个样本点,因此P(A)=,显然事件A与B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=,显然选项A,C,D不满足,B满足. 1.由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间,所以任何事件的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1. 2.利用概率性质进行判断时,要注意每一条性质使用的条件. 思维提升 1.若A,B为互斥事件,则(　　) A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1 C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1 跟踪训练 D 因为A,B为互斥事件,所以A∪B是随机事件或必然事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1. 2.下列说法正确的是(　　) A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率 B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小 C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件 D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 A 根据概率的性质可知,当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB), 故A中说法正确; 对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B中说法错误; 在条件P(A)+P(B)=1下,事件A与事件B不一定互斥,故事件A与B不一定是对立事件,故C中说法错误; 当事件A与事件B互斥时,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故D错误. 知识点2　互斥事件与对立事件概率公式的应用 　某商场有奖销售活动中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C). 例2 [解]　(1)由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=. (2)1张奖券的中奖概率. [解]　(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖,设“1张奖券中奖”为事件M, 则M=A∪B∪C. 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=. 故1张奖券的中奖概率为. (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [解]　(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 互斥事件、对立事件的概率公式的应用 1.互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式,运用该公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用概率加法公式得出结果. 2.当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1(A与B互为对立事件),求出符合条件的事件的概率. 思维提升 3.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求: (1)取得两个红球的概率; 跟踪训练 解:设取得两个红球为事件A,取得两个绿球为事件B,至少取得一个红球为事件C,易知A,B为互斥事件,B,C为对立事件. (1)7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有10×9=90(个), 其中事件A发生所包含的基本事件有7×6=42(个), 事件B发生所包含的基本事件有3×2=6(个), 所以P(A)=,P(B)=, 所以取得两个红球的概率为P(A)=. (2)取得两个同颜色的球的概率; 解: (2)取得两个同颜色的球的概率为P(A)+P(B)=. (3)至少取得一个红球的概率. 解: (3)至少取得一个红球的概率为P(C)=1-P(B)=1-. 知识点3　概率性质的综合应用 　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率; 例3 [解]　(1)从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥, 则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=, P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-. 解得P(B)=,P(C)=,P(D)=, 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,. (2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率. [解]　(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D,由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)=P(A)+P(D)=, 故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A∪D)=1-.   求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 思维提升 4.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个题,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少? 跟踪训练 解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2, 则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种; “甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种; “甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种; “甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种. 因此样本点的总数为6+6+6+2=20. (1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)=; 记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,则P(B)=. 故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=. (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解: (2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C, 则事件为“甲、乙两人都抽到判断题”,由题意得P()=, 故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()= 1-. 〈课堂达标·素养提升〉 1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(　　) A.0.42　　　　　　　　 B.0.28 C.0.3 D.0.7 C ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率 是1-0.42-0.28=0.3. 2.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(A∩B)=0,那么P(A∪B)等于(　　) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 A ∵P(A∩B)=0,∴A,B互斥, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7. 3.(多选)一个质地均匀的骰子,掷一次骰子并观察向上的点数.A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”,B表示事件“骰子向上的点数为奇数”,则(　 ) A.P(A)= B.P(B)= C.P(A+B)= D.P(A∩B)= ACD 掷一枚骰子并观察向上的点数,样本空间为{1,2,3,4,5,6},共6个样本点,则A={3,4,5,6},共4个样本点,所以P(A)=,故A正确; B={1,3,5},共3个样本点,所以P(B)=,故B错误; 由选项A,B知,A+B={1,3,4,5,6},共5个样本点,所以P(A+B)=,故C正确; 由选项A,B知,A∩B={3,5},共2个样本点,所以P(A∩B)=,故D正确. 4.张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的概 率为　　　　　.  由题意得,张三不输的情况有:和棋或者获胜,所以张三不输的概率P=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A.0　　　　　　　　　　 B.0.3 C.0.6 D.0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 因为某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率为,则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为(　　) A. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 因为事件A,B,C两两互斥,所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=, 所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知A,B,C,D四个开关控制着1,2,3,4号四盏灯,只要打开开关A则1,4号灯就会亮,只要打开开关B则2,3号灯就会亮,只要打开开关C则3,4号灯就会亮,只要打开开关D则2,4号灯就会亮.开始时,A,B,C,D四个开关均未打开,四盏灯也都没亮.现随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,则其中2号灯灯亮的概率为(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 由题意,随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD 6种情况,其中只有打开AC开关时2号灯不会亮,其余情况2号灯均会亮,所以2号灯灯亮的概率为1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.一次考试中,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.9 13 因为一次考试中,小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是0.6,所以他的数学和物理至少有一门超过90的概率为P=0.8+0.7-0.6=0.9. 6.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-. 又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,解得P(A)=. 7.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值; 解:记事件“在数学竞赛中,有k人获奖”为Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥. (1)因为获奖人数不超过2人的概率为0.56, 所以P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3. (2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2. 8.一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为黑球};A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=. 根据题意,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥. 法一:由互斥事件概率公式,得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二:(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-. (2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.某班共有48名同学,其中12名同学精通乐器,8名同学擅长舞蹈,从该班中任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”,B=“选中的同学擅长舞蹈”,若P(A∪B)=,则P(AB)=(　　) A. C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 由题知,P(A)=,P(B)=, 因为P(A∪B)=, 所以P(A)+P(B)-P(AB)=,即-P(AB)=,解得P(AB)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知事件A与事件B互斥,如果P(A)=0.4,P(B)=0.3,那么P(A∪B)=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.7 13 事件A与事件B互斥,则P(AB)=0,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7. 11.甲、乙两人从1,2,3,…,10中各取一数(不重复),已知甲取到的数是5的 倍数,则甲数大于乙数的概率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 甲、乙两人从1,2,3,…,10中各取一数(不重复),甲取到的数是5的倍数,设甲取的数为m,乙取的数为n,其样本点记为(m,n),所以样本空间Ω={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(10,1),(10,2),(10,3),(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)},共含有18个样本点, 事件“甲数小于乙数”包括(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),共5个样本点, 故甲数大于乙数的概率P=1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.从1~30这30个整数中随机选择一个数,设事件M表示选到的数能被2整除,事件N表示选到的数能被3整除.求下列事件的概率: (1)这个数既能被2整除也能被3整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个, ∴P(MN)=. (2)这个数能被2整除或能被3整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)1~30这30个整数中能被2整除的有15个,能被3整除的有10个,所以P(M)=,P(N)=, P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=. (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (3)由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件, 则P()=1-P(M∪N)=1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由题图知3支球队共有球员20名. 则P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D. 则D=A∪B∪C, ∵事件A,B,C两两互斥, ∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=. 13 (2)该队员最多属于两支球队的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E, 则为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”, ∴P(E)=1-P()=1-. 联立 $$