7.2.2 复数的乘、除运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

第七章　复数 学习单元4　复数的概念　复数的四则运算 复数的三角表示 7．2　复数的四则运算 7．2.2　复数的乘、除运算   [学习目标]　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 知识点1　复数乘法的运算法则和运算律 内容索引 知识点2　复数除法的运算法则 知识点3　在复数范围内解方程 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝_______________________． (ac－bd)＋(ad＋bc)i 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 z2z1 交换律 z1z2＝____________ 结合律 (z1z2)z3＝_____________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________________ z1(z2z3)　 z1z2＋z1z3 　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； [分析]　复数的乘法把虚数单位i看作一个字母，相当于多项式的乘法． 例1 [解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [分析]　复数的乘法把虚数单位i看作一个字母，相当于多项式的乘法． [解]　(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 1．两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)然后再进行复数的加、减运算． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. 思维提升 1．复数z＝(－2＋i)(2＋2i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 跟踪训练 C z＝(－2＋i)(2＋2i)＝－6－2i，复数z在复平面内对应的点(－6，－2)位于第三象限． AD 知识点2　复数除法的运算法则 　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A．3＋5i　　　　　　　 B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i [分析]　根据复数的除法运算公式，即可化解求值． 例2 A －2＋i 复数的除法运算法则的应用 复数的除法运算法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 思维提升 跟踪训练 B A 知识点3　在复数范围内解方程 　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； [分析]　1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，再利用求根公式求得方程的另一个根． 例3 (2)求方程的另一个根． [分析]　1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，再利用求根公式求得方程的另一个根． 思维提升 5．若2i－3(i为虚数单位)是关于x的实系数方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则p－q＝________． 跟踪训练 －14 〈课堂达标·素养提升〉 B A 3．若复数z满足z(2－i)＝2i，则在复平面内z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B －2 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　) A．2i－13　　　　　　 B．13＋2i C．13－2i D．－13－2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝－2i－13＝－13－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 13 14 解：(1)由z1＝1－ai，z2＝3－4i，得z1＋z2＝4－(4＋a)i，而z1＋z2是实数， 于是4＋a＝0，解得a＝－4，所以z1·z2＝(1＋4i)(3－4i)＝19＋8i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．设复数z1＝1－ai(a∈R)，z2＝3－4i. (1)若z1＋z2是实数，求z1·z2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则复数z的实部为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．在复数范围内，把多项式x2＋1分解为一次因式的积：x2＋1＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (x－i)(x＋i) 13 14 x2＋1＝x2－i2＝(x－i)(x＋i). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．(多选)在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则(　　) A．z2＋z＋1＝0 B．z2＝－ C．z3＋1＝0 D．z＝()2 根据题意，z＝－＋i； 对A：z2＋z＋1＝＋＋1＝＋＋1＝0，正确； 对B：由A知，z2＝－－i，又＝－－i，显然z2≠－，错误； 对C：z3＝z2·z＝＝1，故z3＋1＝2，错误； 对D：()2＝＝－＋i＝z，正确． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， 则＝＝＝＋i. 微提醒：在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘分母的共轭复数c－di，即复数除法的实质是分母“实数化”． (1)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. (2)计算：＝__________． [分析]　根据复数的除法运算公式，即可化解求值． (2)法一：＝＝＝－2＋i. 法二：＝＝＝ ＝＝－2＋i. 3．已知复数z＝，则复数z的实部与虚部之和为(　　) A．0 B．1 C． D．2 因为z＝＝＝－i，所以复数z的实部与虚部之 和为＋＝1. 4．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数为(　　) A．－i B．－1 C．－3i D．－3 依题意，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，所以＝＝＝－i. 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0. 若Δ＝b2－4ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根x＝. 若Δ＝b2－4ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0. 可化为x2＋x＋＝0，配方，得＝. 在复数范围内，若Δ＝b2－4ac<0，则x＋＝________________， 所以原方程的根为x＝______________________． 微提醒：实系数的一元二次方程，如果有虚数根，那么它们成对出现且互为共轭复数． ±i　 －±i [解]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0， ∴得 ∴b＝－2，c＝2. [解]　(2)方程x2－2x＋2＝0， Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0， ∴x＝＝＝1±i， ∴另一个根为1－i. 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为： 1．当Δ≥0时，x＝. 2．当Δ<0时，x＝， 即若方程有一个虚根，另一根必为此根的共轭复数． 由题意2i－3是关于x的实系数方程2x2＋px＋q＝0的一个根， 则2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，即10－3p＋q＋(2p－24)i＝0， 即得∴故p－q＝－14. 1．若复数z＝i(1－i)，则|z|＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C．2 D． 因为z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝. 2．复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 z＝＝＝＝1＋2i，所以复数z＝(其中i为虚数单位)的虚部为2. 由复数z(2－i)＝2i，可得z＝＝＝－＋i， 可得复数z对应的点为，位于第二象限． 4．设为复数z的共轭复数，若复数z满足z2＋2z＋3＝0，则z＋＝__________． 对于方程x2＋x＋3＝0，Δ＝22－4×3<0，由题意可知，z，是关于实系数方程x2＋2x＋3＝0的两个虚根，由根与系数的关系可得z＋＝－2. 2．i是虚数单位，等于(　　) A．1＋i B．－1－i C．1＋3i D．－1－3i ＝＝＝＝－1－3i. 3．若复数z满足z·－2z＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， ∴z·－2z＝a2＋b2－2a－2bi＝1＋2i， ∴解得 ∴z＝1－i对应的点为(1，－)，位于第四象限． 4．(多选)已知复数z＝(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．z的虚部为2 B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z的共轭复数＝4－2i D．|z|＝2 z＝＝＝＝－4＋2i， 所以z的虚部为2，故A正确； 复数z在复平面对应的点为(－4，2)在第二象限，故B正确； 复数z的共轭复数＝－4－2i，故C错误； |z|＝ ＝2，故D正确． 因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0， 所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 6．复数z＝－，则1＋z＋z2＝__________． ∵z＝－＝＝－＝－＋i， ∴1＋z＋z2＝1－＋i＋＝＋i＋＝0. (2)若是纯虚数，求z1. 解：(2)依题意，＝＝＝是纯虚数， 因此解得a＝－，所以z1＝1＋i. 8．已知复数z＝. (1)求复数z； 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. 解：(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 所以实数a＝－3，b＝4. [B组　关键能力练] 9．已知z＝m＋ni，其中m，n∈R，若＝，则m＋n＝(　　) A． B．－ C． D．－ ＝＝＝＝－－i，则z＝－＋i， 所以m＝－，n＝，m＋n＝. 10．(多选)已知复数 z＝1＋i，则(　　) A．|z|＝2 B．z·＝2 C．(z－1)2 024＝－1 D．若关于 x的方程 x2－ax＋2＝0(x∈C，a∈R)的一个根为 z， 则 a＝2 复数 z＝1＋i，则|z|＝ ＝，故A错误； 因为z·＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝1＋1＝2，故B正确； 因为(z－1)2 024＝(1＋i－1)2 024＝i2 024＝(i4)506＝1，故C错误； 因为关于x的方程 x2－ax＋2＝0(x∈C，a∈R)的一个根为z， 所以(1＋i)2－a(1＋i)＋2＝2i－a－ai＋2＝2－a＋(2－a)i＝0， 由复数相等可知2－a＝0，即a＝2，故D正确． 由z(1－i)＝|1＋i|，得z＝＝＝＝＋i， 所以复数z的实部为. 13．已知复数z为纯虚数，是实数，i是虚数单位． (1)求复数z； (1)由已知复数z为纯虚数，设z＝bi(b≠0且b∈R)， 所以＝＝＝＝＋i. 又因为是实数，所以＝0， 解得b＝－2，即z＝－2i. (2)因为z＝－2i， 所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝m2－4－4mi. 又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限， 所以解得m<－2， 即实数m的取值范围为(－∞，－2). [C组　素养培优练] 14．(多选)已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　) A．(1－i)(1＋i) B． C． D．(1－i)2 M＝{i，－1，－i，1}． A．(1－i)(1＋i)＝12－i2＝2，不属于； B．＝＝＝－i，属于； C．＝＝＝i，属于； D．(1－i)2＝－2i，不属于． $$