7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7．2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 第七章　复数 学习单元4　复数的概念　复数的四则运算 复数的三角表示   [学习目标]　1.掌握复数代数形式的加、减运算．　2.理解复数加法的运算律，并能与实数加法的运算律进行比较． 3．了解复数加、减运算的几何意义． 知识点1　复数的加、减法运算 内容索引 知识点2　复数加、减法的几何意义 知识点3　复数模的综合问题 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　复数的加、减法运算 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝_______________． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝______________； (2)(z1＋z2)＋z3＝_________________. (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 　计算： (1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)； [分析]　根据复数的加减运算法则即可求解． 例1 [解]　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R). [分析]　根据复数的加减运算法则即可求解． 复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 思维提升 1．已知复数z＝1＋i，则3＋2i－z＝(　　) A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i C．2＋i D．0 跟踪训练 C 由题意，z＝1＋i时，3＋2i－z＝2＋i. 2．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝__________． 知识点2　复数加、减法的几何意义 例2 复数与向量的对应关系的两个关注点 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应． 2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变． 思维提升 3．设z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1－z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．－1 跟踪训练 C z1－z2＝(2＋i)－(3＋ai)＝(2－3)＋(1－a)i＝－1＋(1－a)i. ∵z1－z2对应的点为(－1，1－a)，该点在实轴上， ∴1－a＝0，∴a＝1. 4．已知实数a，b满足a<b，i为虚数单位，则复数a(－1＋i)＋b(1－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 复数a(－1＋i)＋b(1－i)＝(b－a)＋(a－b)i， 则复数a(－1＋i)＋b(1－i)在复平面内对应的点为(b－a，a－b)，因为a<b，所以b－a>0，a－b<0，所以点(b－a，a－b)位于第四象限． 知识点3　复数模的综合问题 　已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R. (1)求实数a的值； [分析]　(1)由已知求得z1＋z2，再由虚部为0求解实数a的值； 例3 [解]　(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i. 又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0， 解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3. (2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围． [分析]　(2)数形结合求解|z|的取值范围． 两个复数差的模的几何意义 1．|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． 2．|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． 3．涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 思维提升 5．复平面内点A，B对应的复数分别是zA＝3＋2i，zB＝－2＋4i，则A，B两点间的距离是__________． 跟踪训练 6．已知a，b∈R，复数z1＝a(a－b)＋i，z2＝b(b－a)－i，且z1＋z2＝0，若z＝a＋bi，则|z－2i|的最小值为__________． 〈课堂达标·素养提升〉 1．计算(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i　　　　　　　 B．1－i C．i D．－i A 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点的坐标为(－1，－3)，位于第三象限． B －3－4i 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝ (　　) A．－2－2i　　　　　　　 B．6＋8i C．2－2i D．－6－8i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 由复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝(2＋3i)＋(－4－5i)＝ －2－2i. 2．设(2－3i)a＋b＝3i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝1，b＝2 C．a＝－1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 因为a，b∈R，(2a＋b)－3ai＝3i， 所以2a＋b＝0，－3a＝3，解得a＝－1，b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1 13 6．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应点A和B，则|AB|＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 |AB|＝|(1＋i)－(1＋3i)|＝|－2i|＝2. 7．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. (1)求z1－z2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i. (2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．已知复数z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R. (1)若z1＋z2是纯虚数，求a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若z1＋z2>0，求|z1|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10．复数z1＝a＋3i，z2＝－4＋bi，其中a，b为实数，若z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，则a＋b＝(　　) A．－7 B．－6 C．6 D．7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －4 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝_______________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)5i－； [分析]　根据复数的加减运算法则即可求解． [解]　(2)5i－＝5i－(7＋5i)＝－7. [解]　(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋i＝ －a＋(4b－3)i(a，b∈R). 因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i， 则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝. 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝(a＋c，b＋d)与复数z1＋z2对应，向量＝(a－c，b－d)与复数z1－z2对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)对应的复数； [解]　(1)因为＝－，所以对应的复数为－3－2i. (2)对应的复数； [解]　(2)因为＝－，所以对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对应的复数及||的长度． [解]　(3)因为＝＋， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以||＝ ＝. [解]　(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi， 由|z－z2|＝2⇒|x＋(y－1)i|＝2，所以＝2， 得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2， ∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈， ∴|z|＝ ＝ ＝. ∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈，故|z|∈. |AB|＝||＝|(－2＋4i)－(3＋2i)|＝|(－2－3)＋(4－2)i|＝|－5＋2i| ＝ ＝. 复数z1＋z2＝b(b－a)－i＋a(a－b)＋i＝a2＋b2－2ab＝0，所以a＝b， 所以|z－2i|＝＝＝ ， 因为a∈R，所以当a＝1时，|z－2i|＝≥ . 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A. B．5 C．2 D．10 依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 4．已知复数z满足|z|＋z＝2＋4i，则＝__________． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＋z＝2＋4i， ∴＋a＋bi＝2＋4i，即解得则有z＝－3＋4i，＝－3－4i. 3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　) A．1 B． C．3 D．5 由题意可得：z1＝2＋i，z2＝－1＋i，则z1＋z2＝1＋2i，故|z1＋z2|＝ ＝. 4．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数－2ai在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，可得a＝－2，即z＝2＋2i，可得＝2－2i，则－2ai＝2－2i＋4i＝2＋2i在复平面内对应的点为Z(2，2)位于第一象限． 由题意可得z1－z2＝0，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i， 根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1. 解：(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量，如图中. 解：(1)由题意得z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i， 因为z1＋z2是纯虚数，所以得a＝1. 解：(2)因为z1＋z2>0，所以得a＝2. 故|z1|＝|4－4i|＝4. [B组　关键能力练] 9．(多选)设复数z1＝2－i，z2＝2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为(　　) A．z2是纯虚数 B．z1－z2对应的点位于第二象限 C．|z1＋z2|＝3 D．1＝2＋i 对于A：z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确； 对于B：z1－z2＝2－3i，其在复平面上对应的点为(2，－3)，在第四象限，B错误； 对于C：z1＋z2＝2＋i，则|z1＋z2|＝＝，C错误； 对于D：z1＝2－i，则1＝2＋i，D正确． 由题意z1＋z2＝a－4＋(3＋b)i，z1－z2＝a＋4＋(3－b)i， 因为z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，所以得所以a＋b＝－7. 11．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0， zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝_______． 因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得 故a－b＝－4. 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z＋2i|＝|a＋bi＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝ ， |z|＝|a＋bi|＝ ， ∵|z＋2i|＝|z|，∴ ＝ ， ∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1， ∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可). [C组　素养培优练] 13．若定义一种运算：(a，b)＝ac＋bd.已知z为复数，且(2，)＝6－4i. (1)求复数z； 解：(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则＝a－bi， 因为(2，)＝4＋2z＝4(a－bi)＋2(a＋bi)＝6a－2bi＝6－4i， 解得a＝1，b＝2， 可得z＝1＋2i. (2)设t，x为实数，若(t＋cos x，i)－(1，1)为纯虚数，求t的最大值． 解：(2)(t＋cos x，i)－(1，1)＝t＋cos x＋2i－sin x－i＝t＋cos x－sin x＋i， 由题意可得t＋cos x－sin x＝0⇒t＝sin x－cos x＝sin ， 当sin ＝1时，t取最大值. $$