7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 第七章　复数 学习单元4　复数的概念　复数的四则运算 复数的三角表示 [学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性；了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中，实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数的表示方法．　4.理解复数的分类以及复数相等的充要条件及其应用． 知识点1　复数的有关概念 内容索引 知识点2　复数的分类 知识点3　复数相等 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　复数的有关概念 复数 定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做____________，满足i2＝________ 表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______ 复数集 定义 全体复数构成的集合叫做________ 表示 通常用大写字母C表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 虚数单位 －1　 实部 虚部 复数集 　以2＋i的实部为虚部，2i＋1的虚部为实部的复数为__________． [分析]　根据复数的概念． 例1 2＋2i 2＋i的实部为2，2i＋1的虚部为2，故所求复数为2＋2i. 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 思维提升 跟踪训练 A 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 2．已知复数 (x＋y)＋(2－x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4, 则实数 x 和 y 的值分别是 (　　) A．2，－4 B．2，5 C．－2，4 D．－2，5 D 知识点2　复数的分类 实数 虚数 a＝0　 a≠0 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 例2 (2)纯虚数； (3)实数． [变设问]　若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 复数的分类问题可以转化为复数的实部和虚部应该满足的条件问题．所给复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z为实数⇔b＝0；(2)z为虚数⇔b≠0；(3)z为纯虚数⇔a＝0，且b≠0. 思维提升 3．若复数z＝a2－4＋(a－2)i为纯虚数，则实数a的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2或－2 C．－2 D．－4 跟踪训练 C 知识点3　复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当________且________． a＝c b＝d 　若z1＝－3－4i，z2＝(m2－3m－1)＋(n2－2n－3)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A．1或2　　　　　　　B．1或0 C．2或3 D．0或3 [分析]　由复数的定义先分别确定z1和z2的实部和虚部，再由复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等的条件可以分别确定m，n的值． 例3 C 由z1＝z2，得m2－3m－1＝－3，且n2－2n－3＝－4， 解得m＝2或m＝1，n＝1，所以m＋n＝3或2.   复数相等的充要条件是化虚数问题为实数问题的主要依据，分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部和实部相等，虚部和虚部相等列方程组求解． 思维提升 4．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　) A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3 C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0 跟踪训练 A 5．若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　) A．－2＋i B．4＋2i C．1－2i D．1＋2i B 〈课堂达标·素养提升〉 C 2．已知复数z＝2i，则z的实部是(　　) A．2 B．0 C．－2i D．2i B 由复数z＝2i，得z的实部是0. 3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 D 4．设m∈R，复数z＝(m2＋m－2)＋(m－1)i，其中i为虚数单位，若z为纯虚数，则m＝__________． －2 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A．－3　　　　　　　　 B．3 C．－1 D．1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．已知a2－1＋(a－1)i是纯虚数，则a等于(　　) A．±1 B．1 C．－1 D．0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 3．(多选)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则下列结论正确的是(　 　) A．z的实部是x B．z的虚部是yi C．若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2 D．当x＝0且y≠0时，z是纯虚数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z的实部是x，虚部为y，故A正确，B错误； 若z＝x＋yi＝1＋2i，则x＝1，y＝2，故C正确； 当x＝0且y≠0时，z＝yi是纯虚数，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 5．若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i，则xy＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是__________．(填序号) ①若a＝0，则a＋bi为纯虚数； ②若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； ③若b＝0，则a＋bi为实数； ④i的平方等于－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②③④ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．实数m取怎样的值时，复数z＝m－3＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)实数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)若m2－2m－15＝0，则z为实数，此时m＝－3或m＝5. (2)虚数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(2)若m2－2m－15≠0，则z为虚数，此时m≠－3且m≠5. (3)纯虚数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　) A．0 B．2 C．5 D．1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 9．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3－3i 13 11．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B． C．－ D．－2 x，y∈R，复数 (x＋y)＋(2－x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4， 因此解得所以实数 x 和 y 的值分别是－2，5. 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数； [解]　(1)当即m≠5且m≠－3时，z是虚数． [解] (2)当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． [解] (3)当即m＝5时，z是实数． 解：因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 因为复数z＝a2－4＋(a－2)i为纯虚数，则有解得a＝－2， 所以实数a的值为－2. 根据复数相等的定义可得，解得 由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi，则2＋xi＝y＋2yi，根据复数相等的充要条件得解得故x＋yi＝4＋2i. 1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2. 根据复数相等的充要条件可得解得所以a＋b＝4. 因为复数z＝(m2＋m－2)＋(m－1)i为纯虚数，所以解得m＝－2. 复数a2－1＋(a－1)i是纯虚数，所以得a＝－1. 由复数z＝m＋(m2－1)i<0，得解得m＝－1. 由复数相等的条件，得即所以xy＝. ①a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数，①错误； ②解得②正确； ③b＝0，a＋bi为实数，③正确； ④i2＝－1，④正确． 解：(3)若则z为纯虚数，此时m＝3. ∵故∴a2＋b2＝1. 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i， 即解得∴z＝3－i. 10．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________． 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，所以要求的复数为3－3i. 由题意知 解得或 所以实数对(x，y)表示的点有，，共有2个． 12．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围． 解：由z1＝z2，λ，m∈R， 可得整理得 λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－. ∵θ∈， ∴sin θ∈[0，1]， ∴λ∈. 解：(1)∵z1为纯虚数， ∴解得m＝－2. 解：(2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2；当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. $$