6.4.3 第一课时 余弦定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时　余弦定理 第六章　平面向量及其应用 学习单元3　平面向量的应用   [学习目标]　1.会用向量方法证明余弦定理．　2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题并会判断三角形的形状． 知识点1　已知两边一角解三角形 内容索引 知识点2　已知三边解三角形 知识点3　判断三角形的形状 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　已知两边一角解三角形 1．余弦定理 余弦定理文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的__________ 余弦定理符号语言 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝_______________， b2＝________________， c2＝________________ 余弦定理使用范围 任意三角形 平方的和　 积的两倍 b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 2.解三角形 三角形中三个角和它们的对边叫做三角形的元素．已知三角形的__________，求其他元素的过程叫做解三角形． 几个元素 例1 若已知两边及其夹角，求第三边，可直接用余弦定理求得；若已知两边和其中一边的对角，求第三边，可由余弦定理列出一个一元二次方程解出第三边． 思维提升 跟踪训练 2 3 知识点2　已知三边解三角形 余弦定理推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则 cos A＝___________，cos B＝___________，cos C＝____________． 例2 已知三边解三角形时，往往先求两个较小边所对的角，再用三角形的内角定理确定第三个角． 思维提升 3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　) A．75°　　　　　　　　　 B．90° C．135° D．120° 跟踪训练 D 知识点3　判断三角形的形状 若在△ABC中，A为最大角，则△ABC为锐角三角形⇔a2＜b2＋c2；△ABC为直角三角形⇔__________________；△ABC为钝角三角形⇔__________________． a2＝b2＋c2 a2＞b2＋c2 　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状． [分析]　由余弦定理把已知条件中的角化成边，化简即可． 例3 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： 1．先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． 2．先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 思维提升 5．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形　　　　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 跟踪训练 D 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形． B 〈课堂达标·素养提升〉 1．在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC中最大内角等于(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．90° D．120° D B 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状是________________． 直角三角形 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2＋b2<c2，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．已知一个三角形的三边分别是4，5，7，这个三角形是________(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 钝角 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6 000密位，写成“60－00”，578密位写成“5－78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab.则角C用密位制表示正确的是(　　) A．2－50 B．5－00 C．10－00 D．20－00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围 成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； [分析]　(1)直接用余弦定理即可． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝. (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形． [分析]　(2)由余弦定理得一个关于a的一元二次方程，解得a的值，再确定角A，C. [解] (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，A＝30°，C＝120°； 当a＝2时，由a2＝b2＋c2，得A＝90°，C＝60°. 故a＝，A＝30°，C＝120°或a＝2，A＝90°，C＝60°. 1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝__________． 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝__________． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得5＝b2＋22－2×2b cos A， 因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，解得b＝3. 　已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC各角的度数． [分析]　直接利用余弦定理的推论． [解]　由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝， cos B＝＝＝. ∵A，B∈(0，π)，∴A＝，B＝， ∴C＝π－A－B＝π－－＝. 边长为7的边所对的角α满足cos α＝＝， ∵0°<α<180°，∴α＝60°. ∴边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是180°－60°＝120°. 4．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C. 解：∵a∶b∶c＝1∶∶2，可设a＝x，b＝x，c＝2x(x>0)， 由余弦定理得，cos A＝＝＝， ∵0<A<π，∴A＝. 同理可求得B＝.∴C＝π－(A＋B)＝. [解]　由余弦定理的推论得a cos B＋a cos C＝a×＋a×＝＋＝b＋c， ∴b(a2＋c2－b2)＋c(a2＋b2－c2)＝2bc(b＋c)， 即a2(b＋c)＋(b－c)(c2－b2)＝2bc(b＋c)， ∴a2－(b－c)2＝2bc，即a2＝b2＋c2，∴A为直角，故△ABC为直角三角形． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b cos C＋c cos B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 根据余弦定理知， b cos C＋c cos B＝b×＋c× ＝＋＝a＝，所以a2＝b2＋c2，则A＝，故△ABC为直角三角形． 在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，由余弦定理得cos A＝＝＝－，而A为△ABC的内角，故A＝120°. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝bc，则角A为(　　) A． B． C． D． 因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 因为b cos C＋c cos B＝a sin A， 所以由余弦定理的推论得，b·＋c·＝a sin A，整理，得a＝a sin A， 因为a≠0，所以sin A＝1.又A∈(0，π)，所以A＝.故△ABC为直角三角形． [A组　必备知识练] 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　) A．　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 ∵A＋C＝，∴B＝π－(A＋C)＝.∵a＝3，c＝2，∴由余弦定理得b＝＝＝. 由余弦定理可得cos C＝<0，则C为钝角，即△ABC是钝角三角形． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b－c＝1，则cos B＝(　　) A. B． C． D． 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 因为b－c＝1，a＝，所以c2＋(c＋1)2－c(c＋1)＝7， 即c2＋c－6＝0，解得c＝2或c＝－3(舍)， 所以b＝3，c＝2，cos B＝＝＝. 4．在△ABC中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，则AB＝________． 因为在△ABC中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，所以由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 30°，即1＝AB2＋4－2AB，解得AB＝. 设三边分别为a＝4，b＝5，c＝7，其所对应的角分别为A，B，C， 根据大边对大角的结论知角C最大，则由余弦定理知cos C＝＝＝－<0，又因为C∈(0，π)，所以C∈，所以三角形是钝角三角形． 6．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0. (1)求A的大小； 解：(1)∵cos A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0， ∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－，0°<A<180°，∴A＝120°. (2)若a＝2，b＝2，求c的值． 解：(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， ∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 解：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc， 而a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状． 解：(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.① 又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3， ∴∴b＝c＝，∴△ABC为等边三角形． [B组　关键能力练] 8．(多选)有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m，m＋1，m＋2，则实数m的值不可能为(　 　) A．1 B． C．2 D． 由题意知，内角为120°所对边为m＋2，则在三角形中， 由余弦定理得：cos 120°＝＝－，化简可得：2m2－m－3＝0，解得m＝或m＝－1(舍). 因为a2－c2＋b2＝ab，所以cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝，由题知，2π＝6 000密位，所以＝1 000密位，依题意，1 000密位表示为10－00． 或 根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为＝或＝. 11．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰的长度之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据上述信息， 可得cos 36°＝__________． 在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，＝. 设AB＝2x，BC＝(－1)x， 则cos 36°＝＝ ＝. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2，2cos2－cos2C＝1. (1)求C的大小； 解：(1)在△ABC中，∵2cos2－cos2C＝1，A＋B＝π－C，∴2sin2－cos2C＝1， ∴cos 2C＋1－2sin2＝cos2C＋cos C＝0， ∴2cos2C＋cosC－1＝0， 解得cos C＝或cos C＝－1(舍去). 又∵0＜C＜π，∴C＝. (2)求的值． 解：(2)∵a＝3，b＝2， ∴在△ABC中，由余弦定理得c＝ ＝＝，∴＝. [C组　素养培优练] 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos2＋cosA＝. (1)求A； (1)解：因为cos2＋cosA＝， 所以sin2A＋cosA＝， 即1－cos2A＋cosA＝，解得cos A＝. 又0＜A＜π，所以A＝. (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． (2)证明：由(1)知cos A＝＝， 即b2＋c2－a2＝bc.① 又b－c＝a，② 将②代入①，得b2＋c2－3(b－c)2＝bc， 整理可得2b2－5bc＋2c2＝0， 解得b＝2c或b＝. 又因为b－c＝a＞0，所以b＝2c， 所以a＝c，故b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形． $$