6.4.3 第三课时 余弦定理、正弦定理的综合应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.3　余弦定理、正弦定理 第三课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 第六章　平面向量及其应用 学习单元3　平面向量的应用   [学习目标]　1.理解三角形的面积公式，并会正确应用．　2.理解并会正确应用余弦定理、正弦定理解决简单问题． 知识点1　三角形的面积公式 内容索引 知识点2　余弦、正弦定理在多边形中的应用 微点突破3　三角形中的射影定理 知识点3　余弦定理、正弦定理的综合应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　三角形的面积公式 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝__________， sin (A＋B)＝__________，cos (A＋B)＝____________； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 180°　 sin C　 －cos C 例1 求三角形的面积，关键是确定两边和夹角，注意灵活应用正、余弦定理． 思维提升 跟踪训练 (2)求△ABC的面积． 知识点2　余弦、正弦定理在多边形中的应用 　如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.   (1)求∠ABE的度数； [分析]　(1)由三角形内角和的关系求解即可； 例2 (2)求△ABD的面积． [分析]　 (2)先利用两角和的正弦公式求出sin 105°，再根据三角形面积公式求解即可． 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角． 思维提升 2．在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.   (1)求∠CBD的大小； 跟踪训练 (2)求AB的值． 知识点3　余弦定理、正弦定理的综合应用 sin C cos B 2．边化角：利用a＝________，_____＝2R sin B，c＝______________把条件转化为角的三角函数间的关系进行分析． 2R sin A　 b 2R sin C 例3 解三角形时，用正、余弦定理“角化边”或“边化角”，发现三角形中元素间的关系，关键是灵活运用它们解决问题． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 B C D 2 微点突破3　三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B，b＝____________________，c＝__________________________． 　c cos A＋a cos C　 a cos B＋b cos A 例1 例2 1．在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为(　　) A．等边三角形　　　　　 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C 跟踪训练 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b cos A＋a cos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．7.5 A 射影定理，得b cos A＋a cos B＝c＝c2⇒c＝1，即△ABC的周长为a＋b＋c＝5. 3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状是______________． 等腰三角形 由射影定理，得a＝b cos C＋c cos B＝2b cos C， ∴b cos C＝c cos B. 由正弦定理，得sin B cos C＝sin C cos B，即sin (B－C)＝0.又－π＜B－C＜π， ∴B－C＝0，即B＝C， ∴△ABC为等腰三角形． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60° 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45° 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求cos C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求四边形ABCD面积的最大值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1．三角形的面积公式S＝ab sin C＝_____________________ ＝______________． bc sin A ca sin B 　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； [解]　(1)由题意得S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2. 由cos B＝得a2＋c2－b2＝2ac cos B， 故2ac cos B＝2，∴ac cos B＝1. 又∵sin B＝，∴cos B＝或cos B＝－(舍)， ∴ac＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝. (2)若sin A sin C＝，求b. [解] (2)由正弦定理＝＝得＝. 又知ac＝，sin A sin C＝， ∴＝，∴＝， ∴b＝sin B＝×＝. 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b. (1)求C的大小； 解：(1)由正弦定理，得sin C cos A＋sin A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 即sin A＝sin A cos C， ∵A∈(0，π)，sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝. 解：(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即7＝a2＋b2－ab， ∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6， ∴S△ABC＝ab sin C＝×6×＝， 故△ABC的面积为. [解]　(1)由已知得AC＝AD＝CD＝BC＝， ∠DAC＝∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°， 所以 △BCD是等腰三角形，∠BCD＝60°＋90°＝150°， 所以∠DBC＝(180°－150°)＝15°， 所以∠ABE＝45°－15°＝30°. [解] (2)由(1)知△ABD中，∠ABD＝30°，∠DAB＝60°＋45°＝105°， 又sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝×＋×＝， 所以S△ABD＝×AB×AD×sin 105°＝. 解：(1)在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝ ＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°. 解：(2)∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝105°－90°＝15°， ∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝. 1．角化边：利用sin A＝，sin B＝_______，__________＝，cos A＝____________，______＝，cos C＝______________把条件转化为边的关系分析． m 　在△ABC中，2bc sin A＝(a2＋c2－b2)，△ABC外接圆半径为，S△ABC＝，求△ABC的周长． [分析]　先用余弦定理、正弦定理边化角，确定角B；再用正弦定理确定边b，最后利用面积公式和余弦定理求a＋c，得出周长． [解]　由余弦定理和2bc sin A＝(a2＋c2－b2)， 得b sin A＝a cos B. 由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B．又sin A＞0，∴tan B＝. 又0＜B＜π，∴B＝.又△ABC外接圆的半径为， ∴b＝2R sin B＝3. 又S△ABC＝ac sin B＝ac＝，∴ac＝9.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac，∴(a＋c)2＝b2＋3ac＝36， ∴a＋c＝6.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝9. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝1，c＝cos A＋a. (1)求B； 解：(1)在△ABC中，由b＝1，c＝cos A＋a， 得c＝b cos A＋a， 由正弦定理得sin B cos A＋sin A＝sin C＝sin (A＋B)＝ sin A cos B＋sin B cos A， 则sin A＝sin A cos B，而0<A<π，sin A>0， 因此cos B＝，又0<B<π， 所以B＝. (2)若a＝，求△ABC的面积． 解：(2)由(1)及余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B，即12＝()2＋c2－2c·， 解得c＝1或c＝2，当c＝1时，S△ABC＝ac sin B＝××1×＝， 当c＝2时，S△ABC＝ac sin B＝××2×＝， 所以△ABC的面积为或. 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为(　　) A．2　　　　　　　　 B． C． D． 由题意可知，a＝，b＝4，C＝， 所以S△ABC＝ab sin C＝××4×＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D．2 将c2＝a2＋b2－2ab cos C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，∴S△ABC＝ab sin C＝. 3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为(　　) A. B． C． D． 由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝. 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝bc，则b＝__________． 因为a cos B＋b cos A＝bc， 所以由正弦定理得，sin A cos B＋sin B cos A＝b sin C， 则sin (A＋B)＝sin C＝b sin C，又0<C<π，sin C≠0，所以b＝1， 即b＝2. 在△ABC中，2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，c＝，S△ABC＝，求a＋b的值． [分析]　由射影定理，确定角C，再由余弦定理和面积公式求a＋b. [解]　由射影定理，得2c cos C＝c，cos C＝，∴sin C＝.又S△ABC＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即a2＋b2－ab＝7，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5. 　在△ABC中，a cos B＋b cos A＝c sin C，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，m⊥n，求B. [解]　由射影定理，得c＝c sin C，sin C＝1.∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.又m⊥n，∴m·n＝cos A－sin A＝0，即tan A＝. 又0°＜A＜90°，∴A＝60°，B＝180°－(A＋C)＝30°. 由射影定理，得b＝b sin B，∴sin B＝1.又0＜B＜π，∴B＝，△ABC为直角三角形． [A组　必备知识练] 1．(多选)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A可能为(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．150° D．120° 因为S＝bc sin A＝，所以×2×sin A＝，所以sin A＝，因为0°<A<180°， 所以A＝60°或120°. 2．若A＝60°，AB＝2，△ABC的面积为，则BC＝(　　) A． B．1 C． D．2 由三角形面积公式可得△ABC的面积S＝AB·AC sin A＝， 又A＝60°，AB＝2，所以AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A， 又AB＝2，AC＝1，A＝60°，所以BC2＝4＋1－2＝3，所以BC＝. 3．在△ABC中，b＝，a＝1，B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C．2 D．3 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得13＝1＋c2－2c cos 60°，即c2－c－12＝0，解得c＝4或c＝－3(舍去)，则S△ABC＝ac sin B＝×1×4×sin 60°＝. 4．在△ABC中，A＝60°，c＝4，a＝2，则＝(　　) A．3 B． C． D． 由余弦定理得28＝b2＋16－4b，即b2－4b－12＝0，解得b＝6或 b＝－2(舍去)，故＝＝＝. 5．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝________． 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°， S△ABC＝AB·AC sin A＝，可得sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60°. 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝， b＝，A＝60°，则B＝__________，△ABC的面积是__________． 在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝， 又因为b<a，所以B<A，所以B＝45°，则C＝75°，则S△ABC＝ab sin C＝×××sin 75°＝. 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a sin C＋a cos C. (1)求A； 解：(1)因为b＝a sin C＋a cos C，由正弦定理得，所以sin B＝sin A sin C＋sin A cos C， 又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以cos A sin C＝sin A sin C，因为0<C<π，sin C≠0， 所以cos A＝sin A，则tan A＝，又0<A<π，所以A＝. (2)若△ABC的面积为，b＝2，求a. 解：(2)由(1)及已知有S＝bc sin A＝×2×c×＝，则c＝3， 则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋27－2×2×3×＝13，所以a＝. 8．如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且·＝0，sin ∠BAC＝，AB＝3，BD＝. (1)求AD的长； 解：(1)∵·＝0，∴AD⊥AC，∴sin ∠BAC＝sin ＝ cos ∠BAD＝， 在△ABD中，由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD， 即18＋AD2－6AD·＝3，∴AD2－8AD＋15＝0， 解得：AD＝3或AD＝5. ∵∠ADC<，∴∠ADB>，∴AB>AD，∴AD＝3. 解：(2)由(1)知：cos ∠BAD＝， ∴sin ∠BAD＝ ＝， 在△ABD中，由正弦定理得：sin ∠ADB＝＝＝， ∵∠C＋∠DAC＝∠C＋＝∠ADB， ∴cos C＝cos ＝sin ∠ADB＝. [B组　关键能力练] 9．在△ABC中，C＝，AB＝，AC＋BC＝5，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C．3 D．4 在△ABC中，C＝，AB＝c＝，AC＋BC＝b＋a＝5， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝(a＋b)2－2ab－ab，解得ab＝4， 所以S△ABC＝ab sin ＝×4×＝. 10.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为(　　) A.4 B．4 C．8 D．4 因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cos ∠ADC＝＝， 因此cos ∠ADB＝－，所以sin ∠ADB＝，又B＝45°，DA＝7， 由正弦定理，可得＝，所以AB＝＝＝4. 11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝__________． 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝5ac， 由正弦定理，得sin2B＝5sinA sin C＝， 所以sin A sin C＝， 所以＝＝. 12．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝__________，sin ∠BAC＝__________． 如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD， ∴BC＝3，DC＝2，AC＝ ＝. 在△ABC中，由正弦定理知，sin ∠BAC＝＝＝. 13．在△ABC中，a＝3，b＝2，sin A＋sin B＝. (1)求sin B的值； 解：(1)由正弦定理，sin A＋sin B＝可化为＋＝(R为△ABC外接圆的半径)，解得2R＝，则sin B＝＝＝. 解：(2)因为△ABC为锐角三角形，所以cos B＝＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即c2－12c＋5＝0，解得c＝或c＝. 当c＝时，a2＞b2＋c2，此时A为钝角，舍去； 当c＝时，a＞c，且a2＜b2＋c2，所以此时△ABC为锐角三角形， 所以c＝，则△ABC的面积S＝ac sin B＝×3××＝. [C组　素养培优练] 14.如图，在△ABC中，(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3. (1)求∠ACB； 解：(1)∵(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，∴由正弦定理可得(sin A cos C＋sin C cos A)＝2sin2B，∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sinB＝2sin2B.又∵sinB≠0，∴sin B＝.∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝，∴∠ACB＝π－∠CAB－B＝. 解：(2)四边形ABCD的面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1·sin ∠ADC＝＋3sin ≤＋3，当且仅当∠ADC－＝， 即∠ADC＝时，等号成立． $$