6.4.3 第二课时 正弦定理 -【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.3　余弦定理、正弦定理 第二课时　正弦定理 第六章　平面向量及其应用 学习单元3　平面向量的应用 [学习目标]　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．　2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形的形状. 知识点1　已知两角及一边解三角形 内容索引 知识点2　已知两边及其中一边的对角解三角形 微点突破2　三角形解的个数的判断 知识点3　利用正弦定理判断三角形的形状 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　已知两角及一边解三角形 正弦定理及其变形 正弦 2R sin C sin A∶sin B∶sin C　 　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． [分析]　由三角形内角和定理，确定角A，再由正弦定理分别求a，c. 例1 思维提升 1．在△ABC中，解三角形． (1)b＝4，c＝8，B＝30°； 跟踪训练 知识点2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 [变条件]　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 1．用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． 2．用三角形内角和定理求出第三个角． 3．根据正弦定理求出第三条边． 其中要注意讨论该角是否可能有两个值． 思维提升 跟踪训练 B B 知识点3　利用正弦定理判断三角形的形状 　在△ABC中，sin A＝2sin B cos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，判断△ABC的形状． [分析]　先用正弦定理把sin2A＝sin2B＋sin2C化成边的关系，确定A为直角．再由B＋C＝90°，sinA＝2sin B cos C确定B，C，判断此三角形的形状． 例3 判断三角形的形状时，既可以化边为角，也可以化角为边进行分析转化． 思维提升 跟踪训练 C 〈课堂达标·素养提升〉 B C 3．在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 由a＝2R sin A，b＝2R sin B及a＝b sin A， 得sin A＝sin B·sin A. 又A∈(0，π)，sin A＞0，∴sin B＝1.又0°＜B＜180°，∴B＝90°，△ABC为直角三角形． 微点突破2　三角形解的个数的判断 △ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 C 例1 如图所示，要使△ABC有两解，则以B为圆心，2为半径的圆与射线AC有两个交点，  △ABC有两解的充要条件为b sin A<a<b， 代入题设得2<b<4. 　不解三角形，判断下列三角形解的个数： (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 例2 (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)a＝15，b＝12，B＝60°.   1．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　 ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 ABD 跟踪训练 B 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝2解三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8．在△ABC中，3b cos C＝c(1－3cos B)，则c∶a＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3∶1 由3b cos C＝c(1－3cos B)及正弦定理可得3sin B cos C＝sin C(1－3cos B)，化简可得sin C＝3sin (B＋C).又A＋B＋C＝π，∴sin C＝3sin A，∴由正弦定理可得c∶a＝sin C∶sin A＝3∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)若c＝3，且ab＝9，求△ABC周长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， ∴9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， ∴(a＋b)2＝27＋9＝36，∴a＋b＝6， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋3＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(1)①，③. (2)在(1)的条件下，求B及c的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝________＝__________＝2R(R为△ABC的外接圆的半径) 正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝_________________； (2)sin A＝，sin B＝________，sin C＝； (3)a∶b∶c＝_________________________； (4)＝＝＝＝2R； (5)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A； (6)a>b⇔sin A>sin B [解]　∵B＝30°，C＝105°， ∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2(＋)， ∴A＝45°，a＝4，c＝2(＋). 1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 2．因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 解：(1)由正弦定理，得sin C＝＝＝1. ∵c>b，∴C>30°，∴30°<C<150°，∴C＝90°， ∴A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝ ＝4， ∴C＝90°，A＝60°，a＝4. (2)a＝6，b＝6，A＝30°. 解：(2)由＝，得sin B＝＝＝. ∵b>a，∴B>30°，∴30°<B<150°，∴B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°. 又＝，∴c＝＝＝＝12； 当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°， ∴c＝a＝6. 综上，B＝60°，C＝90°，c＝12或B＝120°，C＝30°，c＝6. 　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． [分析]　先由正弦定理确定sin C，再根据c＞a，得C＞A，确定C有两种情况，分别确定B，b. [解]　∵＝， ∴sin C＝＝＝， ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 解：∵＝， ∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝，∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝ ＝. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝3，a＝，则A＝(　　) A． B． C． D． 在△ABC中，因为＝，所以＝，故sin A＝，又a<b，故A＝. [解]　由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2， ∴A＝90°，B＋C＝90°.又sinA＝2sin B cos C， ∴2sin B cos (90°－B)＝2sin2B＝1. ∵0＜sinB≤1，∴sin B＝. 又0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin ＝，a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形　　　　　 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 在△ABC中，sin ＝，由于B∈(0，π)，∴∈，故＝，∴B＝， 又a sin B＝c sin A，故sin A sin B＝sin C sin A，而A∈(0，π)，∴sin A≠0， 则sin B＝sin C，而B，C∈(0，π)，则B＝C，B＋C＝π(舍)， 故C＝B＝，∴A＝，即△ABC为等边三角形． 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　) A．3　　　　　　　　 B．5 C． D． 因为B＝，C＝，所以A＝，则B对的边最大， 由＝，可得b＝＝＝5. 2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 在△ABC中，由正弦定理知＝＝，所以＝，故C正确，其余选项不一定成立． 4．在△ABC中，a＝2b，sin A＝，则sin B＝__________． sin B＝sin A＝×＝. 　在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则(　　) A．2≤b<4　　　　　　　 B．b≥4 C．2<b<4 D．0<b<2 [解]　(1)sin B＝sin 120°＝×＝.∵b＜a，∴B＜A，B为锐角， ∴三角形有一解． [解] (2)sin B＝sin 60°＝×＝.∵b＞a，∴B＞A，∴B为锐角或钝角． 而＜＜1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°，满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解． [解] (3)sin A＝＝＝＞1，与0＜sin A≤1矛盾，故三角形无解． A中，∵＝，∴sin B＝＝1， ∴B＝90°，即只有一解，A正确； B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解，B正确； C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解，C错误； D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴只有一解，D正确． 2．在△ABC中，a＝4，A＝45°，b＝m，若满足条件的△ABC有两个，则m的可能取值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 因为A＝45°，a＝4，b＝m，且满足条件的△ABC有两个， 则b sin A<a<b，即m<4<m，解得4<m<8. [A组　必备知识练] 1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝4，A＝30°，则B＝(　　) A．30°　　　　　　　　 B．30°或150° C．60° D．60°或120° 因为△ABC中，BC＝4，AC＝4，A＝30°， 所以＝，sin B＝＝＝， 因为AC>BC，可得B>A，即30°<B<180°， 所以B＝60°或120°. 2．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下叙述或变形中正确的有( 　　) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C．＝ D．A>B⇔sin A>sin B A选项，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，A正确； B选项，由正弦定理得a＝b⇔A＝B，而当sin 2A＝sin 2B时，则2A＝2B或2A＋2B＝π，则A＝B或A＋B＝，B错误； C选项，由正弦定理得＝， 所以＝， C正确； D选项，A>B⇔a>b，由正弦定理得a>b⇔sin A>sin B，D正确． 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝__________，b＝__________． 在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝， 又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. 解：∵＝，∴a＝＝＝10. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋). 解：由三角形内角和定理得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 根据正弦定理，得b＝＝＝＝， c＝＝＝＝＝＋1， 所以C＝105°，b＝，c＝＋1. [B组　关键能力练] 6．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶(2k)，则k的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B． C． D．(0，1) 由正弦定理＝＝及sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶(2k)得 a∶b∶c＝k∶(k＋1)∶(2k)，不妨设a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，m>0， 因为所以解得k>，即k的取值范围是. 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝＝，则C＝(　　) A． B． C． D． 因为＝＝，有正弦定理得，＝＝，则b2＝ac，c2＝ab， 所以＝，故b3＝c3，即b＝c，代入上边等式可得，a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，故C＝. 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则△ABC的周长为__________． 2＋3 因为A∶B∶C＝1∶1∶4，A＋B＋C＝π.则A＝B＝，C＝，＝＝＝2， 则a＝b＝2×＝，c＝2×＝3，故△ABC周长为2＋3. 10．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A. (1)求C的大小； 解：(1)∵a＝2c sin A，由正弦定理得sin A＝2sin Csin A. ∵sin A≠0，∴＝2sin C， ∴sin C＝，∴C＝60°或C＝120°. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°. [C组　素养培优练] 11．在△ABC中，a＝2，b＝，同时还可能满足以下某些条件：①A＝；②B＞A；③sin B＜sin A；④c＝4. (1)直接写出所有可能满足的条件序号； 解：(2)由正弦定理＝，可得＝， ∴sin B＝＝＝.∵a＞b，∴A＞B，∴B＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得22＝()2＋c2－2××c×，解得c＝＋1或c＝－＋1(舍). $$