6.4.1 平面几何中的向量方法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 第六章　平面向量及其应用 学习单元3　平面向量的应用   [学习目标]　1.会用向量方法解决简单的平面几何问题．　2.体会向量在解决数学问题中的作用． 知识点1　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 内容索引 知识点2　用向量解决平面几何中的垂直问题 知识点3　用平面向量求几何中的长度问题 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　用向量解决几何中的夹角问题 3 知识点1　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 向量a(a≠0)与b______⇔存在唯一λ∈R，使b＝λ a. 平行 例1 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步骤” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．证明两条线段平行，可以利用两个向量平行的充要条件． 思维提升 1．在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量方法证明： (1)DE∥BC； 跟踪训练 (2)D，M，B三点共线． 知识点2　用向量解决平面几何中的垂直问题 例2 用向量方法分析问题有两个角度思考：一是用平面向量基底的角度分析，二是建立平面直角坐标系，用坐标的角度分析． 思维提升 2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF. 跟踪训练 知识点3　用平面向量求几何中的长度问题 　用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍． [分析]　以平行四边形的相邻两边为基底，表示两条对角线对应的向量进行思考． 例3 思维提升 跟踪训练 B 4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 知识点4　用向量解决几何中的夹角问题 例4 用向量法求角度的策略 1．将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． 2．要注意，两向量的夹角和要求角的关系． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 C BD 1∶1 设G为BC的中点，由题意知O为△ABC的重心，则 AO∶OG＝2∶1，所以S△AOB∶S△ABG＝AO∶AG＝2∶3，同理S△AGC∶S△AOC＝3∶2.而S△ABG＝S△ACG，故S△AOB∶S△AOC＝1∶1. 4．正方形OABC的边长为1，D，E分别为AB，BC的中点， 则cos ∠DOE＝__________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10．在正方形OABC(O为坐标原点)中，若点B的坐标为(3，4)，则点A   的坐标可以是_________________．(写出一个符合要求的坐标即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．已知点A(2，0)，B(8，3)，C(6，－1)，D为线段BC的中点，E为线段AB上靠近B的三等分点． (1)求D，E的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)按角分类，判断△ADE的形状，并说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　在梯形ABCD中，AB∥DC，点P，Q分别是AC与BD的中点，试用向量方法证明PQ∥AB. [分析]　先用向量表示向量，再通过向量的运算，得出向量用向量的表达式，从而确定PQ∥AB. [证明]　设＝λ(λ＞0且λ≠1). ∵＝－＝＋－ ＝＋－＝＋(－)－(＋)＝－－＝－·λ＝，∴∥. ∵PQ与AB不共线，∴PQ∥AB. 证明：如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 令||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形， ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥. ∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC. (2)连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M， ∴＝(－1，1)－＝，＝ (1，0)－＝， ∴＝－，∴∥. ∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线． 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [分析]　法一：以，为基底，表示 ，，计算·＝0，得出⊥即可． 法二：正方形的邻边相互垂直，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算进行思考． [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2) ＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 证明：法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45° ＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 法二：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0＜λ＜)， 则D(0，1)，P， E，F， ∴＝，＝， ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. [证明]　如图，在平行四边形ABCD中设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b，||＝|a|，||＝|b|， ∴||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 同理||2＝|a|2－2a·b＋|b|2. ∴||2＋||2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|AB|2＋|AD|2). 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍． 解决向量模问题的策略 1．利用|a|2＝a2将向量的模的运算转化为向量数量积运算． 2．若a＝(x，y)，则|a|＝ ，进行坐标运算． 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2　　　　　　　 B． C．3 D． ∵BC的中点为D，＝， ∴||＝. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 　在四边形ABCD中，＝2m－2n，＝－m＋3n，＝2n，其中m，n为不共线的向量． (1)判断四边形ABCD的形状，并给出证明； [分析]　(1)根据向量线性运算判断，的关系即可； (1)[证明]　因为＝－m＋3n，＝2n， 所以＝－＝2n－(－m＋3n)＝m－n， 又因为＝2m－2n，所以＝2， 又因为A，B，C，D四点不共线，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD为梯形． (2)若|m|＝2，|n|＝1，m与n的夹角为60°，F为BC中点，求∠FAB. [分析]　 (2)利用向量数量积先求||，||和·，然后由向量夹角公式可得． (2)[解]　因为＝2m－2n， 所以||＝ ＝ ＝2， 因为F为BC中点，所以＝(＋)＝m， 所以||＝|m|＝2，所以·＝m·(2m－2n)＝2m2－2m·n＝8－2＝6， 所以cos ∠FAB＝＝＝， 因为∠FAB∈，所以∠FAB＝. 5．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，＝λ＋μ. (1)求λ和μ的值； 解：(1)根据题意，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点， 则＝＋＋＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2. 又由＝λ＋μ可得λ＝－，μ＝2. (2)若AB＝2，BC＝6，∠ABC＝45°，求与所成角的余弦值． 解：(2)∠AFD是与所成的角，设向量与所成的角为θ， 因为＝＋＝＋， 所以||2＝||2＋||2＋·＝9＋8－12＝5. 因为＝＋＝＋，所以||2＝||2＋||2＋·＝2＋36＋12＝50. 则||＝，||＝＝5. 因为·＝·＝· ＝－||2＋||2＋·＝－18＋4＋9＝－5， 所以cos θ＝＝＝－， 所以与所成角的余弦值为－. 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．正三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定 (＋)·(－)＝2－2＝0， 即||＝||，即CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 2．(多选)在△ABC中，D为BC中点，且＝2，则(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．⊥(＋) D．∥(＋) 因为＝2，则A，E，D三点共线，且||＝2||， 又因为AD为中线，所以点E为△ABC的重心，连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以∥(＋). 3．已知O是三角形ABC内一点，若＋＝－，则S△AOB∶S△AOC＝__________． 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝，＝， 故cos ∠DOE＝＝＝. [A组　必备知识练] 1．在四边形ABCD中，＝，·＝0，则四边形ABCD是(　　) A．梯形　　　　　　　　 B．菱形 C．矩形 D．正方形 由＝，得BC∥AD，BC＝AD，四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，所以AB⊥BC，即∠ABC＝，故四边形ABCD为矩形． 2．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为(　　) A． B．2 C．5 D．10 ∵·＝－6＋6＝0，∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积 S＝||||＝××2＝10. 3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　) A． B．2 C．3 D．2 以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a). 因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8， 所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2. 4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2，延长DP交BC于点M，则(　　) A．＝－ B．＝4 C．·＝1 D．·＝ 依题意，因为在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝，＝2， 所以＝＝＝2，即M为BC的中点， 所以＝＝(＋)＝－，故A正确； 因为，不共线，所以≠4，故B错误； ·＝2×1×cos ＝1，故C正确； ·＝·(＋)＝2＋·－2＝，故D正确． 5．在△ABC中，M是BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心， 则(＋)·(＋)＝__________． 据题意及向量的加法，知＋＝2， 所以(＋)·(＋)＝·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝. 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G分别是AD，BC的三等分点.设＝a，＝b. (1)用a，b表示，. 解：(1)＝－＝－＝b－a； ＝＋＝＋＝＋＝a＋b. (2)如果|b|＝|a|，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：(2)EF⊥EG.证明如下： 由(1)知，＝b－a，＝b＋a， ∴·＝·＝b2－a2＝×|a|2－|a|2＝0. ∴⊥，∴EF⊥EG. 7.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是 CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n， 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． [B组　关键能力练] 8．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A＝(　　) A． B． C． D． 因为·＝||·||·cos ∠BOC＝2cos ∠BOC＝－1，所以cos ∠BOC＝－，则∠BOC＝，所以A＝. 9．已知O为△ABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足＝(1－λ)＋λ(λ∈R)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 由动点P满足＝(1－λ)＋λ(λ∈R)，且1－λ＋λ＝1，所以P，C，D三点共线，又因为D为AB的中点，所以CD为△ABC的边AB的中线，所以点P的轨迹一定过△ABC的重心． 由题意，设点A(x，y)，可得＝(x，y)，＝(3，4)，＝(3－x，4－y), 因为四边形OABC为正方形，可得⊥且||＝||，可得 解得x＝或x＝－. 当x＝时，可得y＝，此时点A； 当x＝－时，可得y＝，此时点A. 11．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为________． 由AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，得·＝－8. ∵＝－＝－ ＝(＋)－ ＝－＋，∴||＝ ＝ ＝. 解：(1)因为＝7，＝1，故D的坐标为(7，1)， ＝(6，3)，故＝＝(4，2)， 所以＝＋＝(6，2)，即E的坐标为(6，2). 解：(2)△ADE为钝角三角形， 理由如下：由(1)可知＝(4，2)，＝(5，1)，＝(－1，1)， 因为·＝4×5＋2×1＝22>0，所以∠DAE为锐角． 易得＝(－5，－1)，因为·＝5－1＝4>0，所以∠ADE为锐角． 因为·＝·＝－4＋2＝－2<0，所以∠AED为钝角． 故△ADE为钝角三角形． [C组　素养培优练] 13．设P1P2…P2 024是半径为1的圆O内接正2 024边形，M是圆O上的动点． (1)求|＋＋＋…＋－|的取值范围． 解：(1)由已知可得，|＋＋＋…＋－|＝＝. 因为P1P2…P2 024是半径r＝1的圆O内接正 2 024边形，M是圆O上的动点， 所以0≤≤2r＝2， 所以，|＋＋＋…＋－|∈. (2)试探究||2＋||2＋…＋是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 解：(2)是定值，定值为4 048. 因为P1P2…P2 024是半径为1的圆O内接正2 024边形， 所以||＝||＝…＝＝||＝1， 所以＋＋…＋＝0， 所以||2＋||2＋…＋ ＝(－)2＋(－)2＋…＋ ＝(||2＋||2＋…＋)－ 2·(＋＋…＋)＋2 024||2 ＝2 024－2·(＋2＋…＋＋2 024＝4 048. $$