精品解析： 上海市普陀区2024-2025学年下学期九年级3月考数学试卷

2024学年第二学期九年级数学学科3月阶段测试试卷 （时间：100分钟，减分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与y轴的交点坐标，掌握一次函数与y轴交点的横坐标为零是解题的关键． 把代入一次函数求得y的值即可解答． 【详解】解：把代入一次函数可得：． 所以一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故选B． 2. 在中，，，那么长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边、余弦为邻边比斜边、正切为对边比邻边是解题的关键． 先作出图形，然后结合图形，根据锐角的正切函数定义求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，， ∴，即，解得：， 由勾股定理可得：． 故选：C． 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 与轴交于正半轴 C. 对称轴在轴左侧 D. 不经过第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据此一一判断即可得到答案； 【详解】解：∵，∴图象开口向下，故选项 A正确，不符合题意； 令，即，∴与轴的交点坐标为，即交于轴的 正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项 C正确，不符合题意； 令时，，解得：，，故与轴的交点，，又知道与轴的交点坐标为，所以图象一定经过点第一象限，故选项D错误，符合题意； 故选：D 4. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的意义是代表一组数据波动的大小，波动越小方差越小，根据此判断即可； 【详解】解：由图可以看到：乙的成绩波动最小，所以方差最小；甲的波动最大，所以方差最大，进而得到， 故选项A，C，D错误，不符题意；选项B正确，符合题意； 故选：B． 5. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误； B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误； C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确； D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答． 二、填空题:(本大题共 12 题，每题4分，满分48分) 7. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：，解得的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 8. 已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．先求得一次函数的增减性，即可得出． 【详解】解：一次函数的图象经过点、，且， 一次函数随的增大而增大， 故答案为：． 9. 一个不透明的布袋中有8个球，分别印有数字1、2、3、4、5、6、7、8，其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球印有的数字不大于5的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率的公式，根据公式算出答案即可； 【详解】解：共有8个数，就是共有8种等可能的结果，其中数字不大于5的等可能结果有1、2、3、4、5，共5种， ∴数字不大于5=． 10. 内角为的正多边形的边数是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等是解题的关键． 先根据内角求出外角，再根据正多边形的边数等于外角和除以外角度数即可求解． 【详解】解：由题意可得：一个外角为：， ∴边数为：． 故答案为：12． 11. 在矩形中，，对角线与交于点，那么的周长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的性质；根据勾股定理可以算出对角线长为10，进而即可求出答案 【详解】解：在矩形中， ∴, ∴, 所以的周长为， 故答案为：18 12. 如图，在中，点在上，，设，那么________．（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键． 先表示，再由表示，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如果二次函数y=x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m=_____． 【答案】5 【解析】 【分析】把函数化成， 根据题意可得出m的值. 【详解】解：二次函数y=x2﹣4x+m﹣1图象的顶点在x轴上, ,m-5=0,即m=5, 故答案为: 5. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质. 14. 某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点作，在中，米，，可得米，在中，，可得（米），再求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得四边形是矩形，米，，， 米，， 在中，米，， 米， 在中，， （米）， （米． 乙楼高为米． 故答案为： 15. 在等边中，，点在分别在上，，那么___________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】先根据题意得到，进而得到，进而得到答案即可； 【详解】解：在等边中， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 即 解得：或， 故答案为：2或4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是要判断出三角形相似． 16. 在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 【答案】． 【解析】 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可； 【详解】解：在矩形中， ∴ ∵点A在上， ∴的半径为5， ∵如果与相交， ∴的半径r满足， ∵点B在内， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意． 17. 如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．先作出平行四边形的高，即是梯形的高，根据梯形面积公式算出的长，进而算出的长度，根据勾股定理即可解决问题； 【详解】解：过点D作于点，过点作于， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得：， 由题易得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，已知的半径为5，点 在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F，先确定，由勾股定理得，可得，然后根据圆周角定理得到，继而得到点D、E为翻折前后的对应点，然后证明，再由等腰三角形的性质，结合解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴点E为点D关于的对称点， ∴由翻折得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，难度较大，方法不唯一，解题的关键在于辅助线的添加，合理利用圆的有关性质． 三、解答题：（本大厘共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的性质、零次幂、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的性质、零次幂化简，然后根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，点在双曲线上，且纵坐标为10，直线经过点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）将直线向下平移个单位，与第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定与性质、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据反比例函数求得点P的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得、，即；再证明，利用相似三角形的性质可得，进而得到，即，最后代入反比例函数解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵点在双曲线上，且纵坐标为10， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图：设平移直线向下平移个单位后的解析式为：， ∵平移后的直线第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点， ∴，， ∴， 如图：过B作轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵该直线与第一象限中双曲线交于点， ∴，解得：． 21. 如图，点A、、、在上，，点为中点，点平分，交于点． （1）求证：； （2）如果，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据垂径定理可得，再根据圆周角定理可得，即、重合；进而得到，最后根据垂径定理可得； （2）如图：连接，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点为中点， ∴， ∵点平分， ∴， ∴、重合， ∵，交于点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：． ∴的半径为5． 22. 某所大学共有5000名师生，后勤管理部门为了提高学校的午餐供应质量，随机调查了若干名师生，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不充整）． 午餐情况 自带 食堂堂食 食堂外卖 百分比 （1）调查中样本容量为___________， （2）根据条件，将条形统计图-1补充完整： （3）学校食堂供应A、、三种外卖套餐，价格分别为15元，20元，30元，食堂外卖套餐销售量比例如图-2所示，请估计全校每天食堂外卖销售额为多少元？ 【答案】（1）500 （2）见解析 （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、样本容量、有理数的混合运算、用样本估计整体等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用自带人数除以自带所占的百分比即可； （2）用样本容量乘以食堂外卖所占百分比，求得食堂外卖的人数，然后补全统计图即可； （3）先求出A套餐所占的百分比，然后根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：，即调查中样本容量为500． 故答案为：500． 【小问2详解】 解：食堂外卖的人数为：人． 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：A套餐所占的百分比为， 由题意可得： 元． 23. 如图，已知▱ABCD中，AB=AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE． (1)求证：四边形ACDE是菱形； (2)联结OB，交AC于点F，如果OF=OC，求证：2AB2=BF•BO． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先证明四边形AEDC是平行四边形，再证明AE=AC即可解决问题． (2)证明△BAF∽△BOE，可得=，即可解决问题． 【详解】(1)证明：∵CO⊥BC， ∴∠BCE=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠AEC+∠B=90°，∠ACE+∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠AEC， ∴AE=AC， ∴AE=AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE∥CD，AB=CD=AE， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∵AE=AC， ∴四边形AEDC是菱形． (2)解：联结OB交AC于F． ∵四边形AEDC是菱形， ∴∠AEC=∠ACE， ∵OF=OC， ∴∠OFC=∠OCF=∠AFB， ∴∠AFB=∠AEO， ∵∠ABF=∠OBE， ∴△BAF∽△BOE， ∴=， ∴BA•BE=BF•BO， ∵BE=2BA， ∴2AB2=BF•BO． 【点睛】本题考查菱形的性质和判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： （3）抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设顶点式，再代入原点坐标即可求解； （2）设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，构造，即可求解； （3）先求出直线的表达式为，设，则平移后的抛物线表达式为，与抛物线的联立求得，过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，可得，则，解得：，故，，由点的平移求得，再验证点在原抛物线上即可． 【小问1详解】 解：∵顶点为， ∴设解析式为：， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结， ∵顶点为， ∴对称轴为直线，， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 设， ∴平移后的抛物线表达式为， 与抛物线的联立得：， 解得：， ∴， 过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H， ∴.， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴，， ∴， 将代入原抛物线解析式得：， ∴点Q在原抛物线上， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，函数图像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键在于构造相似三角形． 25. 如图-1，已知扇形的半径为，点是上动点，点是中点，与交于点，点为线段上一点，且，射线交半径于点，设． （1）如图-2，当时，求证：； （2）求的正切值（用关于的代数式表示）； （3）当为以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理推论得到，而，然后得到，再证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据三角形中位线得到，那么，，，则； （3）过点P作平行线交延长线于点E，先确定当为以为腰的等腰三角形时，只有，根据平行线加角平分线得到，可得，则，那么，而，则在中，，而，故设，则，则由勾股定理得，整理得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图： ∵点是中点，过圆心， ∴，点C为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至点，使得，连接， 由（1）得点C为中点， ∴为中位线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴； 【小问3详解】 解：过点P作平行线交延长线于点E， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴当为以为腰的等腰三角形时，只有， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴设，则， ∴由勾股定理得，， ∴， 整理得，， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点，正确构造平行线得到相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级数学学科3月阶段测试试卷 （时间：100分钟，减分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 一次函数的图像与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，那么长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 与轴交于正半轴 C. 对称轴在轴左侧 D. 不经过第一象限 4. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 二、填空题:(本大题共 12 题，每题4分，满分48分) 7. 函数的定义域是_____． 8. 已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为___________． 9. 一个不透明的布袋中有8个球，分别印有数字1、2、3、4、5、6、7、8，其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球印有的数字不大于5的概率是___________． 10. 内角为的正多边形的边数是___________． 11. 在矩形中，，对角线与交于点，那么的周长为___________． 12. 如图，在中，点在上，，设，那么________．（用向量、表示） 13. 如果二次函数y=x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m=_____． 14. 某校学生开展综合实践活动，测量建筑物高度，如图，小华在甲楼的楼顶，测得乙楼的楼顶处俯角为，测得乙楼底处俯角为，甲、乙两楼垂直于地面，两楼之间水平距离为150米，那么乙楼高为___________米．（保留根号） 15. 在等边中，，点在分别在上，，那么___________． 16. 在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 17. 如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为___________． 18. 如图，已知的半径为5，点 在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 三、解答题：（本大厘共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，点在双曲线上，且纵坐标为10，直线经过点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）将直线向下平移个单位，与第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，求的值． 21. 如图，点A、、、在上，，点为中点，点平分，交于点． （1）求证：； （2）如果，求的半径． 22. 某所大学共有5000名师生，后勤管理部门为了提高学校的午餐供应质量，随机调查了若干名师生，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不充整）． 午餐情况 自带 食堂堂食 食堂外卖 百分比 （1）调查中样本容量为___________， （2）根据条件，将条形统计图-1补充完整： （3）学校食堂供应A、、三种外卖套餐，价格分别为15元，20元，30元，食堂外卖套餐销售量比例如图-2所示，请估计全校每天食堂外卖销售额为多少元？ 23. 如图，已知▱ABCD中，AB=AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE． (1)求证：四边形ACDE是菱形； (2)联结OB，交AC于点F，如果OF=OC，求证：2AB2=BF•BO． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： （3）抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 25. 如图-1，已知扇形的半径为，点是上动点，点是中点，与交于点，点为线段上一点，且，射线交半径于点，设． （1）如图-2，当时，求证：； （2）求的正切值（用关于的代数式表示）； （3）当为以为腰的等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $