第二章 相交线与平行线专题训练：平行线“拐点”模型 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

专题：平行线“拐点”模型 考点1: “猪蹄”模型 如图，AB∥CD，则∠APC＝∠A＋∠C(过拐点P作AB或CD的平行线可证) 证明过程： 如图所示，AB∥CD，若点E在直线AB，CD之间，证明：∠BED＝∠B＋∠D. 过程如下：如图所示，过点E作EF∥AB， 则∠B＝∠ .( ) ∵AB∥CD (已知)，EF∥AB.(辅助线的作法) ∴EF∥CD . ( ) ∴∠ ＝∠D . ( ) ∴∠B＋∠D＝∠BED. · 拓展：如图，AB∥CD，过拐点作平行线得∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠5. 总结：左边角度之和等于右边角度之和. 练习1. 1. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为( ) A．2α B．2β C．α＋β D．(α＋β) 2. 如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于( ) A．132° B．134° C．136° D．138° 3. 如图所示的是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时∠DEF＝120°，∠BCD＝110°.则∠CDE的度数为 . 4. 如图，直线l1∥l2，∠B＝∠C，∠1＝40°，求∠2的度数． 5. 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并书写具体证明． (1)如图①，已知：AB//CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分∠AME，∠CNE．求证：MG//NH． 从本题能得到的结论是： ． (2)如图②，已知：AB//CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分∠BMF，∠CNE．求证：MG//NH． 从本题能得到的结论是： ． (3)如图③，已知：AB//CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MG，NH分别平分∠AMF，∠CNE，相交于点O．求证：MG⊥NH． 从本题能得到的结论是： ． ① ② ③ 考点2: “铅笔”模型 如图，AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°(过拐点E作AB或CD的平行线可证) 证明过程： 如图所示，AB∥CD，若点E在直线AB，CD之间，证明：∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 过程如下：如图所示，过点E作EF∥AB， 则∠B＋∠ ＝180°.( ) . ∵AB∥CD (已知)，EF∥AB.(辅助线的作法) . ∴EF∥CD( ) ∴∠D＋∠ ＝180°.( ) ∴∠B＋∠BED＋∠D＝∠B＋∠ ＋∠ ＋∠D＝360°. · 拓展：如图，AB∥CD，过拐点作平行线，有4个拐点就作4条平行线， 得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝900° 总结：有(n－2)个拐点，∠1＋∠2＋…＋∠n＝ (n－1)·180° 练习2. 1. 如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为 　 　°． 6. 如图，a//b，M、N分别为a、b上，P为两平行线间一点，则∠1＋∠2＋∠3＝　 　． 7. 如图，已知AB∥CD，∠A＝110°，∠AEC＝80°，求∠C的度数. 8. 如图所示，AB∥CD，BE和DF相交于点E. (1)若∠B＝110°，∠D＝145°求∠BEF的度数； (2)猜想∠B，∠D，∠BEF之间的数量关系，并说明理由. 9. 如图所示，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝40°，求的度数． 考点3: “鹰嘴”模型 如图， AB∥CD，则∠AEC＝∠C－∠A (过点E作AB或CD的平行线可证) 证明过程： 如图所示，AB∥CD，点M与直线CD分别在直线AB的两侧，证明：∠BMD＝∠D－∠B. 过程如下：如图所示，过点M作MN∥AB， 则∠1＝∠ .( ) ∵AB∥CD (已知)，MN∥AB(辅助线的作法) . ∴MN∥CD. ( ) ∴∠NMD＝∠ .( ) . ∴∠BMD＝∠NMD－∠1＝∠ －∠ . · 拓展：如图，AB∥CD. 练习3. 1. 如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E＋∠D的度数为( ) A．60° B．30° C．90° D．80° 2. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD， ∠BAE＝84°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是( ) A.36° B.38° C.39° D.42° 3. 如图，AB∥CD，∠A＝32°，∠C＝70°，则∠F ＝ . 4. 如图，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为 . 5. 如图，已知AB∥CD，点F在其外部，∠1＝116°，∠3＝17°，则∠2＝ . 6. 如图，AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，求∠C的度数． 巩固练习： 1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的大小是( ) A．150° B．130° C．140° D．120° 2. 如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( ) A．β＝α＋γ B．α＋β＋γ＝180° C．α＋β－γ＝90° D．β＋γ－α＝180° 3. 一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC＋∠BCD＝　 　°． 4. 如图，AB∥CD，∠ABE＝120°，∠ECD＝25°，则∠E＝ . 5. 如图，AB∥CD，∠BAF＝∠EAF，∠FCD＝∠ECF，∠AEC＝128°，则∠AFC的度数为________． 6. 如图，已知：AB∥CD，∠ABP和∠CDP的平分线相交于点E，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F， ∠BFD＝54°，则∠BPD＝ ，∠BED＝ . 7. 已知AB∥CD. (1)如图①，点E是直线AB，CD之间的一点，连接AE，CE，∠BAE和∠DCE的平分线交于点F，请写出∠AEC和F的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若点E是直线AB上方一点，∠BAE和∠DCE的平分线交于点F，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由. 8. 直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠FPE＝∠α． (1)若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠1＋∠2＝　 　°. (2)若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明. (3)若点P在直线CD的下方，如图③，②中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$