专题训练 平行四边形 期中试卷综合题选题训练-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

《平行四边形》期中试卷综合题选题训练 一．选择题（共12小题） 1．（2024春•乐清市期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交边AD于点E，∠BCD的角平分线CF交边AD于点F，若AB＝5，BC＝8，则线段EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DFC＝∠FCB， 又CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC， 同理可证：AE＝AB， ∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝10﹣8＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 2．（2024春•杭州校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC交BC于点E，若AB＝3，AC＝8，BD＝10，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OCAC＝4，OB＝ODBD＝5，而AB＝3，由OA2+AB2＝OB2＝25，证明∠OAB＝90°，求得BC，因为AE⊥BC于点E，所以S▱ABCDAE＝3×8，求得AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，AC＝8，BD＝10， ∴OA＝OCAC＝4，OB＝ODBD＝5，AB∥CD， ∴OA2+AB2＝42+32＝25，OB2＝52＝25， ∴OA2+AB2＝OB2， ∴△AOB是直角三角形，且∠OAB＝90°， ∴AC⊥AB，BC， ∵AE⊥BC于点E， ∴S▱ABCDAE＝3×8， ∴AE， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明∠OAB＝90°是解题的关键． 3．（2024春•瑞安市校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝AC＝4，则△OCE的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】由▱ABCD，AE平分∠BAD，可得∠BEA＝∠BAE，则，即E为BC的中点，，如图，作CF⊥AB于F，则，由勾股定理得，，则S▱ABCD＝AB×CF，进而可求S△OCE． 【解答】解：∵▱ABCD，AE平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA，∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴，即E为BC的中点， ∴； 如图，作CF⊥AB于F， ∵AC＝BC， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 4．（2024春•拱墅区校级期中）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案． 【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M， ∵S△DEC，S▱ABCD＝DC•EM＝c， ∴S△DECc， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝a，S△BQC＝b， ∴S四边形EPFQ＝a+b， 故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQc﹣a﹣b． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 5．（2024春•苍南县校级期中）如图，在▱ABCD中，BD＝2CD，BC＝15，F为AD的中点，E为OC的中点，则EF的值为（　　） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 【分析】连接DE，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得BD＝2OB＝2OD，AD＝BC＝15，推得OD＝CD，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得DE⊥OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：连接DE，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB＝2OD，AD＝BC＝15， ∵BD＝2CD， ∴OD＝CD， ∵E为OC的中点， ∴DE⊥OC， 在Rt△ADE中，F为AD的中点， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2024春•义乌市期中）将6张宽为1的小长方形如图1摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8 【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，由图形可知AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，则△AFB与△CED都是直角边为4的等腰直角三角形，得AB＝CD＝4，即可得出结论． 【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴AF⊥AD，CE⊥BC， ∴四边形AFCE是矩形， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF， 由图形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4， ∴△AFB与△CED都是直角边为4的等腰直角三角形， ∴AB＝CD＝4， ∴平行四边形ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝2×（44+4）＝16+8， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 7．（2024春•萧山区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝3、S2＝14、S3＝5，则S4的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值． 【解答】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDFS， 由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积， ∴S＝S△CBE+S△CDF+3+S4+5﹣14， 即SSS+3+S4+5﹣14， 解得S4＝6， 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积＝△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2． 8．（2024春•奉化区校级期中）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④ 【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤． 【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°， ∴AO≠2BO，故①错误； ∵CG⊥BD， ∴∠GED＝∠CED， ∵BD平分∠ADC， ∴∠GDE＝∠CDE， 又∵DE＝DE， ∴△GED≌△CED（ASA）， ∴GE＝CE， ∵AC中点为F， ∴EF∥AD，故②正确； 如图所示，延长AB，DC交于点H ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠HBD＝90°， ∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD， ∴△ABD≌△HBD（ASA）， ∴AB＝HB， ∵点F为AC的中点， ∴BF是△AHC的中位线， ∴BF∥DH， ∴∠FBD＝∠HDE， ∵∠GDE＝∠CDE， ∴∠FBD＝∠GDE， ∵EF∥AD， ∴∠FEB＝∠GDE＝∠FBD， ∴FB＝FE， ∵EF是△AGC的中位线， ∴AG＝2FE， ∴AG＝2BF，故③正确； 如图所示，连接FD， ∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD， ∴△FOB≌△COD（ASA）， ∴FB＝CD， 又∵FB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确； ∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD， ∴FB≠2GE，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②③④． 故选：D． 【点评】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 9．（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断； B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断； C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积； D、同选项B同理可作判断． 【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD， ∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形， ∴S△EOGS▱AEOG，S△EOHS▱BEOH，S△FOHS▱OHCF，S△FOGS▱OGDF， ∴四边形EHFG的面积▱ABCD的面积， ∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积， 故A不符合题意； B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO， ∴S▱BEOH＝S▱GOFD， ∵， ∴S▱BEOH＝S▱OGDF2， ∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积， 故B不符合题意； C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积， 故C符合题意； D、∵， ∴， ∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•， ∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积； 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式和一条对角线平分平行四边形的面积是解本题的关键． 10．（2024春•钱塘区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（　　） ①∠EOD＝90°； ②S△DFC＝2S△AEO； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由△DCF的周长等于6，可得CD+CF+DF＝CD+CF+BF，即得到DF＝BF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，证明△OAE≌△OCF，得到AE＝CF，同理可得，ON＝OM，MN＝2ON，再由三角形的面积即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，可得，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，由平行线可得∠DCP＝∠ABC＝60°，进而可得∠CDP＝30°，得到CP＝1，由勾股定理可得，设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x，在Rt△DPF中，由勾股定理可得，求出x进而可得AE的长，即可判断④． 【解答】解：∵△DCF的周长等于6， ∴CD+CF+DF＝6， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝2，BO＝DO，AO＝CO，AB∥CD，AD∥BC， ∴CD+BC＝2+4＝6， 即CD+CF+BF＝6， ∴CD+CF+DF＝CD+CF+BF， ∴DF＝BF， ∴△BDF为等腰三角形， ∵BO＝DO， ∴FO⊥BD， 即EF⊥BD， ∴∠EOD＝90°，故①正确； 过点O作MN⊥BC于M，交AD与N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD，∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（AAS）， ∴AE＝CF， 同理可得，ON＝OM， ∴MN＝2ON， ∵，， ∴S△DFC＝2S△AEO，故②正确； 过点G作HK⊥AB于H，交CD于K， ∵AB∥CD， ∴HK⊥CD， ∴， ∵S▱ABCD＝AB•HK， ∴，故③正确； 过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC＝90°， ∵∠ABC＝60°，AB∥CD， ∴∠DCP＝∠ABC＝60°， ∴∠CDP＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， 设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x， ∴FP＝4﹣x+1＝5﹣x， 在Rt△DPF中，FP2+DP2＝DF2， ∴， 解得， ∴， ∵AE＝CF， ∴，故④正确； ∴说法正确的个数有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（2024春•义乌市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE＝35°，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB＝（　　） A．100° B．110° C．115° D．145° 【分析】分别延长AE、CB交于M，延长FG交BC于点N，先证明AM＝AC，再证明BG是△MCE的中位线，可得BG∥AM，可得∠GBN＝∠M＝55°，再证明△FEG≌△NCG（ASA），可得FG＝GN，再求解即可． 【解答】解：如图，分别延长AE、CB交于M，延长FG交BC于点N， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠ABC＝90°， ∵∠CAB＝∠BAE＝35°， ∴∠AMB＝∠ACB＝55°， ∴AM＝AC， ∴BD＝CD， ∵G为CE的中点， ∴CG＝EG， ∴BG∥AM， ∴∠GBN＝∠M＝55°， ∵EF⊥AB，∠ABC＝90°， ∴EF∥BC， ∴∠FEG＝∠NCG， 在△FEG和△NCG中， ， ∴△FEG≌△NCG（ASA）， ∴FG＝GN， ∴GB＝GN， ∴∠GBN＝∠GNB＝55°， ∴∠FGB＝∠GBN+∠GNB＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2024春•拱墅区校级期中）如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q，过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFQD B．四边形FBNP C．四边形MNCD D．四边形ABCD 【分析】连接PG，FN，根据平行四边形的性质可得△FPG的面积▱EFGH的面积，再利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而可得QF∥BC，进而可得△FPG的面积＝△FPN的面积，然后再根据MN∥AB，可证四边形FBNP是平行四边形，从而可得△FPN的面积▱FBNP的面积，进而可得▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积，即可解答． 【解答】解：连接PG，FN， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴△FPG的面积▱EFGH的面积， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵QF∥AD， ∴QF∥BC， ∴△FPG的面积＝△FPN的面积， ∵MN∥AB， ∴四边形FBNP是平行四边形， ∴△FPN的面积▱FBNP的面积， ∴▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积， ∴若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道四边形FBNP的面积， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 13．（2024春•萧山区校级期中）已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝　2　． 【分析】延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H，根据平行四边形的性质利用AAS证明△ADF≌△GFC，根据全等三角形的性质求出AG＝6＝AE，进而推出△AEG是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC＝CG＝4，BG＝8，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，延长AF、EC交于点G，过点A作AH⊥BG于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G， ∵F分别是CD的中点， ∴DF＝CF， ∴△ADF≌△GFC（AAS）， ∴AF＝FG＝3， ∴AG＝6＝AE， 又∠EAG＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴AG＝EG＝6， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， 设BE＝EC＝x，则AD＝2x， ∴CG＝2x， ∴EG＝3x＝6， ∴x＝2， ∴BG＝8， 在Rt△AGH中，∠G＝60°，AG＝6， ∴AH＝AG•sin60°＝63，HGAG＝3， ∴BH＝BG﹣BH＝5， ∴AB2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14．（2024春•瑞安市校级期中）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，交BC于点F，折痕为BD，若∠CBD＝∠CBE，∠E＝120°，则∠DFC的度数为 　40°　． 【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处， ∴∠E＝∠A＝120°，∠ABD＝∠DBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝60°， ∵∠CBD＝∠CBE， ∴∠CBDDBE， ∴， ∴∠CBE＝∠CBD＝20°， ∴∠DFB＝∠E+∠CBE＝140°， ∴∠DFC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．（2021•新化县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝　2　． 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE＝∠BEC，即可得CB＝CE，利用等腰三角形的性质可得BF＝EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴CB＝CE． ∵CF⊥BE， ∴BF＝EF． ∵G是AB的中点， ∴GF是△ABE的中位线， ∴GFAE， ∵AE＝4， ∴GF＝2． 故答案为2． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键． 16．（2024春•义乌市校级期中）如图，▱ABCD的面积为16，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 　8　． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，设AD与BC之间的距离为h，则S▱ABCD＝h•BC，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 设AD与BC之间的距离为h，则S▱ABCD＝h•BC， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形ABCD的面积的一半是解题的关键． 17．（2024春•鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD中，将△ABE和△CDF分别沿着BE，DF折叠得到△BGE和△DHF，点G，H恰好落在对角线BD上，且，连结EH，若EH⊥BD，则 　　． 【分析】如图，连接GF，EF交BD于O，过C作CK⊥BD于O，连接CO，证明△ABE≌△GBE≌△CDF≌△HDF，四边形BEDF为平行四边形，四边形EGFH是平行四边形，且GF⊥BD，设GH＝a，则BG＝3a＝DH，设GF＝b，S△EGH＝S，S△ABE＝S△BGE＝S△CDF＝S△DFH＝S△BFG＝S△DHE＝3S，S△GFH＝S，利用等面积法可得，，由勾股定理可得：DK2+CK2＝CD2，可得，再进一步求解即可． 【解答】解：如图，连接GF，EF交BD于O，过C作CK⊥BD于O，连接CO， ∵▱ABCD， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠BCD， ∴∠ABD＝∠CDB， 由对折可得：，， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF， 结合对折可得：△ABE≌△GBE≌△CDF≌△HDF， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴OB＝OD，OE＝OF， 同理可得：四边形EGFH是平行四边形，且GF⊥BD， ∴OG＝OH， ∴BG＝DH， ∵， ∴， 设GH＝a，则BG＝3a＝DH，设GF＝b，S△EGH＝S， ∴，， ∴S△ABE＝S△BGE＝S△CDF＝S△DFH＝S△BFG＝S△DHE＝3S，S△GFH＝S， ∴， ∵， ∴， ∵四边形DGFC的面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：DK2+CK2＝CD2， ∴， ∴， 同理可得： ， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（2024春•钱塘区校级期中）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片ABCD，∠A＝60°，对角线BD⊥AB，点E，F分别在边AD和BC上，EF交BD于点P．将纸片沿EF折叠，点A落在▱ABCD外的点A'处，B落在对角线BD上的点G处，A'G交AD于点H，连接FH．若PF＝GH，CD＝6，则FH＝　　． 【分析】连接PH，利用直角性质求得AD＝2AB＝12，，由折叠的性质以及BD⊥AB，推出EF是线段BG的垂直平分线，则BP＝PG，求得，证明四边形PFGH是平行四边形，得到FH＝2HO，在Rt△HGO求得HO即可． 【解答】解：连接PH， ∵平行四边形纸片ABCD，∠A＝60°，且BD⊥AB，CD＝6， ∴AB＝CD＝6，∠ADB＝30°， ∴AD＝2AB＝12，， 由折叠的性质知BF＝FG，AE＝A'E，∠A'＝∠A＝60°，EF是线段BG的垂直平分线，则BP＝PG， ∵BD⊥AB， ∴AB∥EF∥A'G，即HG⊥BD， ∴∠HGD＝∠BPF＝90°，由平行四边形的性质得∠HDG＝∠FBP＝90°﹣60°＝30°， ∵PF＝GH， ∴△HGD≌△BPF（AAS）， ∴， ∵HG⊥BD， ∴，HD2＝HG2+DG2，即， ∴HG＝2， ∵HG∥FP，HG＝FP， ∴四边形PFGH是平行四边形， ∴，HO＝FO， ∵∠HGO＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 19．（2024春•苍南县校级期中）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若BD＝5，则B′D的长度为 　　． 【分析】由平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得∠B′OD＝60°，然后证明△B′OD是等边三角形，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝5， ∴． 如图，连接OB′． 根据折叠的性质知：∠AOB＝∠AOB′＝60°，BO＝B′O， ∴∠BOB′＝∠AOB+∠AOB′＝120°， ∴∠B′OD＝180°﹣∠BOB′＝60°， ∵BO＝B′O，DO＝BO， ∴B′O＝OD， ∴△B′OD是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，证明△B′OD是等边三角形是解题的关键． 三．解答题（共11小题） 20．（2024春•长兴县期中）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长． 【分析】（1）先由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE＝HF，GE∥HF，则可得出结论． （2）先由平行四边形的性质及BD＝10，得出OB＝OD＝5，再根据AE＝CF、AE+CF＝EF及OA＝OC得出AE＝OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BD＝10， ∴OB＝OD＝5， ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF， ∵AE+CF＝EF， ∴2AE＝EF＝2OE， ∴AE＝OE， 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线， ∴EGOB＝2.5． ∴EG的长为2.5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 21．（2024春•海曙区校级期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； 乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48． 【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴AEAO，CFCO， ∴AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故甲方案正确； 乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故乙方案正确； （2）解：由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∴AO﹣AE＝CO﹣CF， ∴OE＝OF， ∴EF＝2OE， ∵EF＝2AE， ∴2OE＝2AE， ∴OE＝AE＝CF＝OF， ∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×4＝16， ∴S▱ABCD＝2×16＝32， ∴▱ABCD的面积是32． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 22．（2024春•宁波期中）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案； ②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（2024春•上城区校级期中）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． （3）在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为　　． 【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解； （2）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t＝4t﹣12时，③当12﹣t＝36﹣4t时，④当12﹣t＝4t﹣24时，即可求解； （3）设边CD上的高为h1边BC上的高为h2，S△PBC＝S△CDF，可得S△DPF＝S△PAB，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠CBP， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP， ∵AB＝BP， ∴AB＝BP＝AP， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠ABP＝60°， ∴∠ABC＝120°； （2）∵PD∥BQ， ∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形， ：12（s）， ∴0≤t＜12， ①0≤t＜3时，12﹣t＝12﹣4t，解得：t＝0（不合题意，舍去）； ②3＜t≤6时，当12﹣t＝4t﹣12，解得：t＝4.8； ③6＜t≤9时，12﹣t＝36﹣4t，解得：t＝8； ④9＜t≤12，当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6； 综上所述：t为4.8秒或8秒或9.6秒； （3）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S△PCD+S△DPF＝S△PAB+S△PCD， ∴S△DPF＝S△PAB， ∵△ABP是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定及性质，等积转换，平行四边形的判定等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 24．（2024春•镇海区校级期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （1）如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求点D在格点上； （2）如图2，在▱ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD＝DE，∠AFE＝∠B，请证明四边形ABEF是等邻边四边形； （3）如图3，在▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，M、N分别为CD、BC边上一点（N不与两端点重合），连结AM、AN，AM＝AB，DM＝3，当四边形ANCM是等邻边四边形时，请直接写出BN的长度． 【分析】（1）根据题意利用网格特点做出图形即可； （2）连接AE，证明△ABE≌△AFE（AAS），则BE＝EF，即可得到结论； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【解答】（1）解：如图1，四边形ABCD即为所求； （2）证明：连接AE，如图2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴∠AEB＝∠AED， ∵∠AFE＝∠B，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（AAS）， ∴BE＝EF， ∴四边形ABEF是“等邻边四边形”； （3）解：BN的长度为4或7或．理由如下： 在▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝8， ∴∠D＝∠B＝60°，BC＝AD＝8，AB＝CD， 过点M作MH⊥AD于H，则∠MHD＝∠MHA＝90°， ∴∠DMH＝30°， ∴， ∴，， ∴， 当CN＝CM时，设BN＝x，则CM＝CN＝BC﹣BN＝8﹣x， ∴CD＝AB＝CM+DM＝11﹣x， ∵AM＝AB， ∴AM＝11﹣x， ∴11﹣x＝7， 解得x＝4， 即BN＝4， 当AN＝AM时，则AB＝AN＝AM＝7， ∵∠B＝60°， ∴△ABN是等边三角形， ∴BN＝AB＝7； 当AN＝CN时，设BN＝m，则AN＝CN＝8﹣m，作NG⊥AB于点G，如图4， 则∠BGN＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BNG＝30°， ∴， ∴ ∴ 在Rt△ANG中，AN2＝GN2+AG2， ∴， ∴9m＝15， ∴ 即， ∵AM＝AB＝CD＞CM， ∴AM＝CM这种情况不存在， 综上可知，BN的长度为4或7或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． 25．（2024春•西湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5cm，AB＝12cm，CD＝6cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示：AP＝　3t cm　，DQ＝　（6﹣t）cm　； （2）当四边形APQD是平行四边形时，求t的值； （3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值． 【分析】（1）根据图形和线段和差即可求解； （2）由（1）得AP＝3t cm，DQ＝（6﹣t）cm，根据平行四边形的性质得出AP＝DQ，进而得出3t＝6﹣t，解方程即可； （3）分两种情况：①当PQ＝PD时，②当PQ＝DQ＝6﹣t时即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，AP＝3t cm，DQ＝（6﹣t）cm， 故答案为：3t cm，（6﹣t）cm； （2）∵四边形APQD是平行四边形， ∴AP＝DQ， ∴3t＝6﹣t， 解得：； （3）分两种情况： ①当PQ＝PD时，作DN⊥AB于点N，作QM⊥AB于点M，CE⊥AB于点E， 则DM＝QN，cm，ME＝CQ＝t cm， ∴PN＝AP﹣AN＝（3t﹣3）cm，PM＝BP﹣BE﹣ME＝（9﹣4t）cm， ∵PQ＝PD， ∴PN＝PM， ∴3t﹣3＝9﹣4t， 解得：； ②当PQ＝DQ＝（6﹣t）cm时， 由勾股定理得：PQ2＝QM2+PM2＝42+（9﹣4t）2，即（6﹣t）2＝42+（9﹣4t）2， 整理得：15t2﹣60t+61＝0， ∴Δ＝（﹣60）2﹣4×15×61＝﹣60＜0， 此时t无实数根， 综上可知：△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，t的值为． 【点评】此题属于二次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用及一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26．（2024春•温州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB上一点，AE＝2，BE＝6，作EF∥AC交BC于点F，取EF上一点H，以AB，BH为邻边向上作▱ABHD，交AC于点G， （1）求证：△ADG≌△HBE． （2）记▱ABHD面积为a，四边形GHFC面积为b， ①求a与b的关系式． ②连结CD，若△ACD为直角三角形时，求的值． 【分析】（1）先证明四边形AEHG为平行四边形，得出AE＝GH，再根据SAS证明△ADG≌△HBE； （2）①延长DH交BC于点M，证明△ABC，△BEF，△MHF，△MGC为等腰直角三角形，得出BE＝BF＝6，MH＝MF，MG＝MC，BC＝AB＝6+2＝8，求出，得出，，根据S四边形CGHF＝S△MCG﹣S△MHF得出即可； ②分三种情况进行讨论：当∠ADC＝90°时，当∠DAC＝90°时，当∠DCA＝90°时，分别求出结果即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是平行四边形， ∴AB∥DH，AB＝DH，AD＝BH，∠ADG＝∠EBH， ∵EF∥AC， ∴四边形AEHG为平行四边形， ∴AE＝GH， ∴AB﹣AE＝DH﹣GH， 即BE＝DG， ∵AD＝BH，∠ADG＝∠EBH， 在△ADG和△HBE中， ， ∴△ADG≌△HBE（SAS）； （2）解：①延长DH交BC于点M，如图： ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴， ∵EF∥AC， ∴∠BEF＝∠CAB＝45°，∠BFE＝∠BCA＝90°， ∵AB∥DH， ∴∠DMC＝∠ABC＝90°， ∴△ABC，△BEF，△MHF，△MGC为等腰直角三角形， ∴BE＝BF＝6，MH＝MF，MG＝MC，BC＝AB＝6+2＝8， ∵S▱ABHD＝AB×BM＝a， ∴8BM＝a， 解得：， ∴，， ∴S四边形CGHF＝S△MCG﹣S△MHF ， ∴； ②根据勾股定理得： BH2＝BM2+MH2 ， ∵AD＝BH， ∴， ， 根据勾股定理得： DC2＝DM2+MC2 ， AC2＝AB2+BC2＝82+82＝128， 当∠ADC＝90°时，AC2＝AD2+CD2， ∴， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当∠DAC＝90°时，AC2+AD2＝CD2， ∴， 解得：a＝24， ， ∴； 当∠DCA＝90°时，AD2＝CD2+AC2， ∴， 解得：a＝88， 此时，不合题意，舍去； 综上分析可知：或3． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 27．（2024春•奉化区校级期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4cm，求△APF的面积． （3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到∠DPC＝∠DCP，得到DP＝DC，证明△PDC是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）作CH⊥AD，求出S△PCD，根据三角形面积公式得到S△APF＝S△PCD，得到答案； （3）分0＜t≤3、3＜t≤6、6＜t≤9、9＜t≤12四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝DC， ∵CD＝CP， ∴PC＝CD＝PD， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠D＝∠B＝60°； （2）作CH⊥AD于H， 则DHPDCD＝2， 由勾股定理得，CH2， ∴S△PCD4×24， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD， ∴S△PBC＝S△FABS平行四边形ABCD， ∴S△ABP+S△PCDS平行四边形ABCD， ∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD， ∴S△APF＝S△PCD＝4（cm2）； （3）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC． 要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒， ①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0，不合题意，舍去； ②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得，t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得，t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得，t＝9.6； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 28．（2024春•龙湾区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，并交边AD，BC于点E，F．ED＝3，BE＝11.4，CF＝2BF＝8，FD＝10，G为DF中点，点P在射线BE上． （1）求证：BE∥DF． （2）当以点B，G，P，D为顶点的四边形为平行四边形时，求PE的长． （3）连结BG，GP，以BG，GP为邻边构造▱BGPH，当GH与四边形ABCD的某一条边平行时，求出所有满足条件的GH的长． 【分析】（1）可推出∠ABC+∠ADC＝180°，进而得出∠CBE+∠ADF＝90°，进而得出∠AEB＝∠ADF，从而BE∥DF； （2）可得出BG∥DP，从而PB＝DGDF＝5，进而得出结果； ∴PE＝BE﹣PB＝11.4﹣5＝6.4； （3）设GH和PB交于点O，分四种情形：当 GH∥AD时，可得出四边形DEOC是平行四边形，从而OG＝DE＝3，从而得出BG＝2OG＝6，当GH∥CD时，可推出四边形DEOG是等腰梯形，从而OG＝DE＝3，进而得出GH＝2OG＝6，同样方法得出当GH∥AB和当GH∥BC时的结果． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE，分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠CBE， ∴∠CBE+∠ADF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABC+∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠ADF， ∴BE∥DF； （2）解：如图1， ∵DG∥BP，点B，G，P，D为顶点的四边形为平行四边形， ∴BG∥DP， ∴PB＝DGDF＝5， ∴PE＝BE﹣PB＝11.4﹣5＝6.4； （3）解：如图2， 当 GH∥AD时，设GH和PB交于点O， ∵BE∥DG， ∴四边形DEOC是平行四边形， ∴OG＝DE＝3， ∵四边形BGPH是平行四边形， ∴BG＝2OG＝6， 如图3， 当GH∥CD时， ∠DGO＝∠CDF＝∠ADF， ∵BE∥DF， ∴四边形DEOG是等腰梯形， ∴OG＝DE＝3， ∴GH＝2OG＝6， 如图4， 当GH∥AB时， ∠GOB＝∠ABE＝∠CBE， ∵BE∥DF， ∴四边形GOBF是等腰梯形， ∴OG＝BF＝4， ∴GH＝2OG＝8， 如图5， 当GH∥BC时， ∵BE∥DF， ∴四边形BGPH是平行四边形， ∴OG＝BF＝4， ∴GH＝2OG＝8， 综上所述：GH＝6或8． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的判定等知识，解决问题的关键是分类讨论． 29．（2024春•萧山区校级期中）如图，▱ABCD中，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G． （1）若E为BC中点，求证：BF＝CG； （2）若AB＝5，BC＝10，∠B＝60°，当点E在线段BC上运动时，FG的长度是否改变？若不变，求FG；若改变，请说明理由； （3）在（2）的条件下，H为直线AD上的一点，设BE＝x，若A、B、E、H四点构成一个平行四边形，请用含x的代数式表示BH． 【分析】（1）证明△BEF≌△CEG（AAS）即可解决问题． （2）结论：FG的长度不变．FG＝5．证明∠BAC＝90°，再证明四边形AFGC是平行四边形，推出FG＝AC即可解决问题． （3）分两种情形：如图3中，当点H在线段AD上时，作HM⊥BC于M．当点H′在DA的延长线上时，分别求解即可． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BF∥CG， ∴∠BFE＝∠G， ∵BE＝CE，∠BEF＝∠GEC， ∴△BEF≌△CEG（AAS）， ∴BF＝CG． （2）解：结论：FG的长度不变．FG＝5． 理由：如图2中，取BC的中点J，连接AC，AJ． ∵AB＝BJ＝5，∠B＝60°， ∴△ABJ是等边三角形， ∴JA＝JB＝JC＝5， ∴∠BAC＝90°，ACAB＝5， ∵EF⊥AB， ∴∠CAB＝∠EFB＝90°， ∴AC∥FG， ∵AF∥CG， ∴四边形AFCG是平行四边形， ∴FG＝AC＝5． （3）解：如图3中，当点H在线段AD上时，作HM⊥BC于M． 在Rt△EHM中，∵∠HEM＝∠ABC＝60°，EH＝AB＝5， ∴EMHE，HMEM， ∴BH． 当点H′在DA的延长线上时，同法可得BH′， 综上所述，BH的长为或． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 30．（2024春•苍南县校级期中）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中∠F，∠A为直角，∠E＝30°，∠B＝45°，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，DE∥BC，连结BD，CE，发现四边形BCED是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段CD的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　． （3）计算▱BCED的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【分析】（1）在Rt△DOE中，利用直角三角形的性质求得，在Rt△BOC中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由CD＝OD+OC求解； （2）根据平行四边形的判定定理解答即可； （3）过点O作OH⊥BC于点H，交DE于点G，利用，求得，利用，求得OH＝1，从而求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． （4）作CM⊥OE于M，BN⊥OD交DO延长线于N，证明△BON≌△COM（AAS），得到BN＝CM，然后由三角形面积公式计算出，从而得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，∠E＝30°，DE＝2， ∴， 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠B＝∠C＝45°，BC＝2， ∴OC＝OB， ∴2OC2＝BC2＝4， ∴， ∴； （2）∵DE＝BC＝2（已知），DE∥BC（已知）， ∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点O作OH⊥BC于点H，交DE于点G，如图3， ∵DE∥BC，OH⊥BC， ∴OG⊥DE， ∵∠E＝30°，DE＝2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C＝45°，BC＝2， ∴， ∵， ∴ ∴OH＝1， ∴， ∴． （4）△DOB与△COE的面积比是定值；理由如下： 作CM⊥OE于M，BN⊥OD交DO延长线于N，如图4， ∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵∠BNO＝∠CMO＝90°，OB＝OC， ∴△BON≌△COM（AAS）， ∴BN＝CM， ∵OD＝1，， ∴， ∴△DOB与△COE的面积比是定值． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《平行四边形》期中试卷综合题选题训练 一．选择题（共12小题） 1．（2024春•乐清市期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交边AD于点E，∠BCD的角平分线CF交边AD于点F，若AB＝5，BC＝8，则线段EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（2024春•杭州校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC交BC于点E，若AB＝3，AC＝8，BD＝10，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•瑞安市校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝AC＝4，则△OCE的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•拱墅区校级期中）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（　　） A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b 5．（2024春•苍南县校级期中）如图，在▱ABCD中，BD＝2CD，BC＝15，F为AD的中点，E为OC的中点，则EF的值为（　　） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 6．（2024春•义乌市期中）将6张宽为1的小长方形如图1摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8 7．（2024春•萧山区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝3、S2＝14、S3＝5，则S4的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2024春•奉化区校级期中）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④ 9．（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 10．（2024春•钱塘区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（　　） ①∠EOD＝90°； ②S△DFC＝2S△AEO； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024春•义乌市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE＝35°，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB＝（　　） A．100° B．110° C．115° D．145° 12．（2024春•拱墅区校级期中）如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q，过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFQD B．四边形FBNP C．四边形MNCD D．四边形ABCD 二．填空题（共7小题） 13．（2024春•萧山区校级期中）已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，则AB＝　 　． 14．（2024春•瑞安市校级期中）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A落到E处，交BC于点F，折痕为BD，若∠CBD＝∠CBE，∠E＝120°，则∠DFC的度数为 　 　． 15．（2021•新化县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝　 　． 16．（2024春•义乌市校级期中）如图，▱ABCD的面积为16，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 　 　． 17．（2024春•鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD中，将△ABE和△CDF分别沿着BE，DF折叠得到△BGE和△DHF，点G，H恰好落在对角线BD上，且，连结EH，若EH⊥BD，则 　 　． 18．（2024春•钱塘区校级期中）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片ABCD，∠A＝60°，对角线BD⊥AB，点E，F分别在边AD和BC上，EF交BD于点P．将纸片沿EF折叠，点A落在▱ABCD外的点A'处，B落在对角线BD上的点G处，A'G交AD于点H，连接FH．若PF＝GH，CD＝6，则FH＝　 　． 19．（2024春•苍南县校级期中）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若BD＝5，则B′D的长度为 　 　． 三．解答题（共11小题） 20．（2024春•长兴县期中）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长． 21．（2024春•海曙区校级期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取AO，CO的中点E，F 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积． 22．（2024春•宁波期中）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 23．（2024春•上城区校级期中）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． （3）在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为　 　． 24．（2024春•镇海区校级期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （1）如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD，要求点D在格点上； （2）如图2，在▱ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD＝DE，∠AFE＝∠B，请证明四边形ABEF是等邻边四边形； （3）如图3，在▱ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，M、N分别为CD、BC边上一点（N不与两端点重合），连结AM、AN，AM＝AB，DM＝3，当四边形ANCM是等邻边四边形时，请直接写出BN的长度． 25．（2024春•西湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5cm，AB＝12cm，CD＝6cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示：AP＝　 　，DQ＝　 　； （2）当四边形APQD是平行四边形时，求t的值； （3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值． 26．（2024春•温州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB上一点，AE＝2，BE＝6，作EF∥AC交BC于点F，取EF上一点H，以AB，BH为邻边向上作▱ABHD，交AC于点G， （1）求证：△ADG≌△HBE． （2）记▱ABHD面积为a，四边形GHFC面积为b， ①求a与b的关系式． ②连结CD，若△ACD为直角三角形时，求的值． 27．（2024春•奉化区校级期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝4cm，求△APF的面积． （3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 28．（2024春•龙湾区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，并交边AD，BC于点E，F．ED＝3，BE＝11.4，CF＝2BF＝8，FD＝10，G为DF中点，点P在射线BE上． （1）求证：BE∥DF． （2）当以点B，G，P，D为顶点的四边形为平行四边形时，求PE的长． （3）连结BG，GP，以BG，GP为邻边构造▱BGPH，当GH与四边形ABCD的某一条边平行时，求出所有满足条件的GH的长． 29．（2024春•萧山区校级期中）如图，▱ABCD中，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G． （1）若E为BC中点，求证：BF＝CG； （2）若AB＝5，BC＝10，∠B＝60°，当点E在线段BC上运动时，FG的长度是否改变？若不变，求FG；若改变，请说明理由； （3）在（2）的条件下，H为直线AD上的一点，设BE＝x，若A、B、E、H四点构成一个平行四边形，请用含x的代数式表示BH． 30．（2024春•苍南县校级期中）根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中∠F，∠A为直角，∠E＝30°，∠B＝45°，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，DE∥BC，连结BD，CE，发现四边形BCED是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段CD的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：　 　． （3）计算▱BCED的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$