27.2.1 相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等）课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相似 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 第3课时 第二十七章 相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 第3课时 B' A' C' B A C 第二十七章 相似 1. 两个三角形全等有哪些判定方法？ 2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL (1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等） (2)平行于三角形一边的直线 (3)三边对应成比例 新知导入 第二十七章 相似 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？ 探究 新知导入 第二十七章 相似 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并且会运用. 2. 会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理. 学习目标 第二十七章 相似 知识点 1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 知识探究 利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′, 量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′, ∠C与∠C′是否相等?改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论? A B C A′ B′ C′ 第二十七章 相似 探索相似三角形的判定方法（边角边） 02 第二十七章 相似 知识探究 在△ABC和△A’B’C’中, ？ A′ B′ C′ A B C E D ∵ ∴ ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC 【证明】在△ABC的边AB，AC上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′， 连接DE，而∠A=∠A′，这样△ADE≌△A′B′C′ 第二十七章 相似 知识探究 三角形相似判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言： ∵ ∴△ABC∽△A’B’C’ A B C C′ B′ A′ 第二十七章 相似 知识探究 A B C A’ B’ C’ B A D B A C 在△ABC和△A’B’C’中, 相似吗？ 证明三角形全等时讨论过若已知条件SSA， 这两个三角形不一定全等。 所以△ABC不一定全等于△A’DE， 则相似 反例： 第二十七章 相似 归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 知识探究 第二十七章 相似 已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，并说明理由. ∵ 又 ∠A＝∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C' 素养考点 1 利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似 △ABC∽△A'B'C ' . 理由如下： 解： ∴ 知识探究 第二十七章 相似 1. 已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由. 解： ∴△ABC∽△A'B'C' △ABC∽△A'B'C' . 理由如下： ∴ ∠A=∠A' 又∵ ∵ 巩固练习 第二十七章 相似 解：∵ AE=1.5，AC=2， A C B E D 例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. ∴ 又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 素养考点 2 利用三角形相似求线段的长度 提示：解题时要找准对应边. 知识探究 第二十七章 相似 15 2.如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD． （1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个） （2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长． A B C D 解：（1）CD :CB＝BC :AC （2）设CD＝x,则CA＝x＋2． 当△CBD∽△CAB，且AD＝2， , 有CD:CB＝BC:AC，即 , 所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3． 但x２＝－3不符合题意,应舍去． 所以CD＝1． 巩固练习 第二十七章 相似 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. A B C D 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ：∠ACB=90°． ∵ 素养考点 3 利用三角形相似求角 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 知识探究 第二十七章 相似 3.如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC． 试问:DE 与AB 垂直吗? 为什么? A B C D E 证明：DE⊥AB．理由如下: ∵　AE：AD＝AB：AC, ∴ 　 ． 又　∠A＝∠A, ∴　△ABC∽△AED． ∴　∠ADE＝∠C＝90°． ∴　DE 与AB 垂直． 巩固练习 第二十七章 相似 1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 课堂检测 第二十七章 相似 19 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F E D 证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. ∴ 课堂检测 第二十七章 相似 3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ AD =AE，AB = AC， ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 课堂检测 第二十七章 相似 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5， ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ， ∴ 又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA， ∴ ， ∴ 课堂检测 第二十七章 相似 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下： 解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ∴这两个三角形不相似. 你同意他的判断吗？请说明理由. 课堂检测 解：他的判断是错误的. ∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ， ， ∴ ．又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ． 第二十七章 相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 第二十七章 相似 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 相似 $$