专题02 二次根式的运算（考点清单，7考点&15题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

专题02 二次根式的运算 （7个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 清单02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 清单03 最简二次根式与同类二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 清单04 二次根式的加减 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 清单05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 清单07 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【考点题型一】最简二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】化为最简二次根式（） 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列根式化简后不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【考点题型三】已知最简二次根式求参数（） 1．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 4．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【考点题型四】二次根式的乘除混合运算（） 1．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【考点题型五】将根号外的因式移到根号内求其结果（） 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 4．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【考点题型七】分母有理化（） 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【考点题型八】二次根式的加减运算（） 1．（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求得它的近似值为 ．（精确到0.01， ，） 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算： ． 【考点题型九】二次根式的混合运算（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算： （2）计算： 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简或计算： (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 1．（20-21八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【考点题型十一】已知字母的值，对二次根式进行化简求值（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 3（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【考点题型十二】已知条件式，对二次根式进行化简求值（） 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【考点题型十三】二次根式混合运算的实际应用（） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 3．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形．且正方形①、③的面积分别为24和3． (1)求图②的边长 (2)求图中阴影部分的面积． 【考点题型十四】与二次根式有关的新定义问题（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 4．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【考点题型十五】与二次根式有关的阅读理解问题（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 4．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）计算 (1)解方程组： (2)先化简，再求值：，其中 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话： 小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？ 老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即． 根据上述对话内容，解答下面的问题： 已知，其中是整数，且． (1)________；________； (2)求的值． 6．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 8．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简： (1)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (2)利用②中的结论，计算： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算 （7个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于积的中每个因式的算术平方根的乘积.即： 清单02 二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即 清单03 最简二次根式与同类二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】1）同类二次根式类似于整式中的同类项,如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同. 清单04 二次根式的加减 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 合并同类二次根式的方法：合并同类二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 清单05 二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 清单06 分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 清单07 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 化简二次根式的步骤: 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【考点题型一】最简二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中含有开的尽的因数9，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数中含有开的尽的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或分式，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中如果含有开方开的尽的因数或因式，也不是最简二次根式． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据被开方数不含分母、小数、开得尽方的因式，即为最简二次根式，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴属于最简二次根式的是 故选：A 【考点题型二】化为最简二次根式（） 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵，， ∴可以表示为；． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列根式化简后不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，先将各选项化简，再判断是否是和是同类二次根式可得答案． 【详解】因为和是同类二次根式，所以A能与合并，所以A不符合题意； 因为和是同类二次根式，所以B能与合并，所以B不符合题意； 因为和不是同类二次根式，所以C不能与合并，所以C符合题意； 因为和是同类二次根式，所以D能与合并，所以D不符合题意． 故选：C． 3．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 【考点题型三】已知最简二次根式求参数（） 1．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并是同类二次根式． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 【考点题型四】二次根式的乘除混合运算（） 1．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【考点题型五】将根号外的因式移到根号内求其结果（） 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， ， ，即 ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式和同类二次根式的知识，其中化成最简二次根式是解题的关键．先化成最简二次根式，再判断即可． 【详解】 解：A、，不能和合并，故本选项不符合题意； B、不能和合并，故本选项不合题意； C、，能和合并，故本选项符合题意； D、不能和合并，故本选项不合题意； 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同．若最简二次根式可以合并可知被开方数相同，由此可得x. 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A．16 B．0 C．2 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 4．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同是解题的关键． 【考点题型七】分母有理化（） 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可． 【详解】解； , 故答案为：． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 【答案】(1) (2)   (3) 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质是解题的关键． （1）根据，再由等式的性质求、的值即可； （2）根据，再由等式的性质求、的值即可； （3）根据完全平方公式可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）， ，， 古答案为：，； （3） ． . 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 【考点题型八】二次根式的加减运算（） 1．（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的运算，同类二次根式才能加减，所以加减运算之前先将二次根式化为最简二次根式，熟记“”是解题关键． 【详解】解： 故答案为： 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求得它的近似值为 ．（精确到0.01， ，） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简、然后再合并同类项，最后将相关数据代入计算，最后去近似数即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算： ． 【答案】 【分析】根据已知法则将原式化简进而求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了新定义运算，二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 【考点题型九】二次根式的混合运算（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先算括号内的，再算乘法，最后合并同类二次根式． 【详解】解：（1） ； （2） ． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查二根式加减混合运算．熟练掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先利用乘法法则展开并计算二次根式的除法，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）9；（2）6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和二次根式乘法进行计算，把各二次根式化简为最简二次根式，根据二次根式加减混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式． 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 1．（20-21八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【考点题型十一】已知字母的值，对二次根式进行化简求值（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把二次根式化成最简二次根式．把，的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， ． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)2024． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、求代数式的值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式配方变形后，然后再代入计算即可； （2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ， ∴ ． 3（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【考点题型十二】已知条件式，对二次根式进行化简求值（） 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 【答案】(1) (2)或1 【分析】本题考查了二次根式的应用： （1）根据非负数的性质求出、的值，再代入，计算； （2）根据腰或为腰，两种情况，分别求等腰三角形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ； （2）解：若为腰，为底，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为， 若为底，为腰，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 【考点题型十三】二次根式混合运算的实际应用（） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为，正方形团扇的边长为． 故答案为：，； （2）解：∵ 圆形团扇半径为，正方形团扇的边长为， ∴ 圆形团扇的周长为，正方形团扇的周长为 ∵， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 3．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长 ； （2）解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形．且正方形①、③的面积分别为24和3． (1)求图②的边长 (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，利用开方得出正方形①、正方形③的边长，利用线段的和差得出阴影的长、阴影的宽是解题关键． （1）根据算术平方根的性质，计算得正方形①和③的边长，从而得图②的边长； （2）结合（1）得阴影部分的长和宽，再根据二次根式混合运算的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形①的边长是， 正方形③的边长是， 正方形②的边长是， （2）阴影的宽是，阴影的长是， 则图中阴影部分的面积是：． 【考点题型十四】与二次根式有关的新定义问题（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 【答案】3 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 【考点题型十五】与二次根式有关的阅读理解问题（） 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 【答案】3 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握二次根式性质及相关运算法则是解决问题的关键． （1）由平方差公式直接展开，再由二次根式性质计算，最后根据有理数减法运算求解即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）计算 (1)解方程组： (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，以及分式的化简求值，二次根式的计算．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组以及分式的乘法法则是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先根据分式的乘法法则进行化简，然后将字母的值代入求解． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①式，得， 解得， ∴原方程组的解为． （2）解: ， 当时， 原式 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式混合运算等知识点，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键． （1）根据平方差公式以及二次根式加减运算计算即可； （2）将原式转换为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ． （2）由（1）知，． ． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下是小明与老师之间的对话： 小明：张老师，我们知道是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小数部分呢？ 老师：小明，因为的整数部分是2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即． 根据上述对话内容，解答下面的问题： 已知，其中是整数，且． (1)________；________； (2)求的值． 【答案】(1)10； (2)33 【分析】此题主要考查了二次根式的计算，估算无理数的大小，正确得出各无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据得出，得出，再求得y，即可得答案； （2）把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， 故答案为：10；； （2）解：原式， ， ． 6．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 本题考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：反复运用得 ． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 8．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简： (1)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (2)利用②中的结论，计算： 【答案】(1)3； (2)． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；探索数与式的规律．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解可得a的值，将a的值代入已知等式可得b的值，最后求a与b的和即可； （2）利用②中的结论直接化简各个二次根式，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴； （2）解： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$