专题02 平行线的性质与判定（考点清单，5考点&14题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题02 平行线的性质与判定 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行线的画法： 1）落：将三角尺一边落在已知直线上； 2）靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 3）推：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 4）画：沿三角尺过已知点的边画直线. 【注意】推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 清单02 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单03 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单04 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 清单05 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】平行公理及推论的应用（） 1．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【考点题型二】用直尺、三角尺画平行线（） 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    2．（21-22七年级下·湖北宜昌·期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，内部有一点，过点画交于点C，画交于点D． ． 【考点题型三】添加条件使两直线平行（） 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字． 4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是 ．（填写序号） ①；②；③；④；    【考点题型四】补充过程使两直线平行（） 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平分，，试说明． 证明：∵平分（ 　              　）， ∴　　 （ 　　                    ）， 又∵（ 　                  　）， ∴　　 （ 　　                  ）， ∴　　 （ 　　         ）． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 3．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【考点题型五】通过已知条件证明两直线平行（） 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 2．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，于点，，求证： 3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，平分交线段于点，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)当，且时，求的度数． 【考点题型六】旋转使两直线平行（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）大头针把3根平放在桌上的细直木条分别固定在M、N处，并使木条可以绕点M、N转动，若，只转动木条a使其与b平行，则木条a转动的度数至少是（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当的度数是 时，直线与直线互相平行． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【考点题型七】平行线判定的应用（） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向 （填“平行”或“不平行”）． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 3．（2025七年级下·全国·专题练习）你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】利用平行线的性质导角（） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点C在直线b上，已知，求的度数． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知，，，求证：． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，．    (1)若，平分，求的度数． (2)若平分，平分，试说明的理由． 4．（21-22七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，∥∥，，，求的度数． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 3．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：   　　   (1)如图1，如果，那么和之间的关系是： ； (2)如图2，如果，那么和之间的关系是： ； (3)拓展应用，如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 【考点题型十】根据平行线的性质与判定求角度（） 1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，平分，求的度数． 2．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图， 直线、被直线所截， 若，平分，， 求的度数． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【考点题型十一】根据平行线的性质与判定证明（） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． (1)若，，那么吗？说明理由． (2)若，，那么吗？说明理由． 2．（21-22七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知于D，点E为AC上一点，于F，点G为上一点，连接，若，求证：． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 4．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【考点题型十二】平行线的性质在生活中的应用（） 1．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．      2．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【考点题型十三】与平行线间的距离有关的计算（） 1．（24-25七年级上·吉林·开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是 ． 4．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)的面积为 ； (2)将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； (3)连接，则这两条线段之间的关系是 ； (4)点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点有 个． 【考点题型十四】通过添加辅助线求解平行线相关问题（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，若平分，平分，与的反向延长线交于点，试确定与的关系，并说明理由． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 3．（20-21八年级上·山西·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【命题预测】 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后反弹而滚向桌边，碰到上的点后反弹而滚向点．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于． (1)判断并直接写出和的位置关系； (2)猜想是否平行于？说明理由； (3)若，求的度数（用含的代数式表示）． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）平行直线与被直线所截． (1)如图1，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接，，若，，求的值； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接，，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的性质与判定 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行线的画法： 1）落：将三角尺一边落在已知直线上； 2）靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 3）推：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 4）画：沿三角尺过已知点的边画直线. 【注意】推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 清单02 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单03 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单04 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 清单05 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 【考点题型一】平行公理及推论的应用（） 1．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行． 【详解】解：在同一平面内，，， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 【考点题型二】用直尺、三角尺画平行线（） 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 2．（21-22七年级下·湖北宜昌·期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 【答案】(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短 (2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； （2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； 理由：点到直线，垂线段最短； （2）解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求． 这样的平行线有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，内部有一点，过点画交于点C，画交于点D． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本画图方法是解答本题的关键． 按照要求过点画交于点，画交于点即可． 【详解】解：如图，，即为所求， ． 【考点题型三】添加条件使两直线平行（） 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴，故符合题意； ②∵，∴，不能判断，故不符合题意； ③∵，∴，故符合题意； ④∵，∴，故符合题意； ⑤∴，不能判断，故不符合题意； 综上，①③④都能判定， 故选：B． 2．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以从直线的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断． 【详解】解：A、∵， ∴，不能证明，不符合题意； B、∵， ∴，符合题意； C、∵， ∴，不能证明，不符合题意； D、∵， ∴，不能证明，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字． 【答案】/ 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：需要添加的条件是， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是 ．（填写序号） ①；②；③；④；    【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③符合题意； ④，不能判断两直线平行，故④符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 【考点题型四】补充过程使两直线平行（） 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，平分，，试说明． 证明：∵平分（ 　              　）， ∴　　 （ 　　                    ）， 又∵（ 　                  　）， ∴　　 （ 　　                  ）， ∴　　 （ 　　         ）． 【答案】已知；3；平行线的定义；已知；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点，掌握“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再结合已知条件运用等量代换可得，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， 又∵（已知）， ∴（等量替换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；3；平行线的定义；已知；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】，，等量代换，同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是逻辑推理及其推理依据的理解；根据同角的补角相等可得，再根据等量代换可得，再利用平行线的判定方法可得． 【详解】证明：∵（已知），， ∴， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 3．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 4．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式的性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（ 角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角的平分线的定义）． ∴（ 等式的性质）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换）． ∴（ 同旁内角互补两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 【考点题型五】通过已知条件证明两直线平行（） 1．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，平分交线段于点，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)当，且时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平分可得，再根据，可得，可判断与平行； （2）根据角平分线的定义可得的度数，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解： ，理由是： 平分， ， ， ， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）平分，， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，． 【考点题型六】旋转使两直线平行（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【答案】70 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故答案为：70． 2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）大头针把3根平放在桌上的细直木条分别固定在M、N处，并使木条可以绕点M、N转动，若，只转动木条a使其与b平行，则木条a转动的度数至少是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数． 【详解】解：∵要使木条与平行，，      ∴木条旋转的度数至少是． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键． 3．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当的度数是 时，直线与直线互相平行． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，根据在左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：当在右边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当的度数是或时，直线与直线互相平行， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【考点题型七】平行线判定的应用（） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的性质是解题的关键，根据图形可知两次拐弯得到的角为同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向平行． 故答案为：平行． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为．若，，探究直线与是否平行？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据光线反射得到，，再利用平角的定义得到，，则，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线两直线平行． 【详解】解：．理由如下： 根据光的反射定律和等角的余角相等得到，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行．首先分别求出，的度数，然后根据平行线的判定定理进行判定即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图，其中能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的； B、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； C、∵，且与是同旁内角，不互补，且不是之间的同旁内角，∴不能说明，故该选项是错误的； D、∵，且与是同旁内角，，∴能说明，故该选项是正确的； 故选：D． 【考点题型八】利用平行线的性质导角（） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点C在直线b上，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得，根据可得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”可得，即可得的度数． 本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ． 又， ． 又， ． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，2两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】证明：如图． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，．    (1)若，平分，求的度数． (2)若平分，平分，试说明的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数； （2）根据平行线的性质，得到，再利用角平分线的定义，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ； （2）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 4．（21-22七年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，∥∥，，，求的度数． 【答案】16° 【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等求出∠BCD度数，再由EF与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补求出∠ECD度数，由∠BCD−∠ECD即可求出∠BCE的度数． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝54°， ∵EF∥CD， ∴∠CEF＋∠ECD＝180°， ∵∠CEF＝142°， ∴∠ECD＝38°， ∴∠BCE＝∠BCD−∠ECD＝54°−38°＝16°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合题意，得到，由，得到，即可求解； （2）如图所示，过点分别作的平行线，可得，设，结合题意得到，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴， ∴，设， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)65° (2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时， 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论； （2）分三种情况讨论：当在的上方时，当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，过作，依据，可得，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ，． 又， ∵，， ∴； （2）解：． 理由如下：当在的上方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 当在线段上时，由（1）可得：； 当在的下方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 3．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：   　　   (1)如图1，如果，那么和之间的关系是： ； (2)如图2，如果，那么和之间的关系是： ； (3)拓展应用，如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 【答案】(1) (2) (3)这两个角分别是或 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可得结论； （2）根据平行线的性质可得，进而可得结论； （3）设其中的一个角为x，则另一个角为，结合（1）（2）可得关于x的方程，解方程即得答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：   　　   （3）设其中的一个角为x，则另一个角为， 由（1）（2）可得： 当这两个角相等时，， 解得， ∴这两个角分别是； 当这两个角互补时，， 解得，则， ∴这两个角分别是； 综上，这两个角分别是或. 【点睛】本题考查了平行线的性质、补角的计算和一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键. 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 【答案】(1)直线与直线平行，理由见解析 (2)①；②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的计算，证明两个角的关系． (1)证明内错角相等即可． (2) ①根据平行线的性质，等腰三角形的性质，余角性质计算即可． ②仿照①，结合外角性质，将问题一般化计算即可． 【详解】（1）解：直线与直线平行，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）①∵，的平分线， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由如下： ∵是的外角，是的外角， ∴， 又∵平分，的平分线，， ∴，， ∴ ， 即． 【考点题型十】根据平行线的性质与判定求角度（） 1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角平分线的定义等知识，根据对顶角相等得出，再证明，然后由平行线的性质解答即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 2．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）如图， 直线、被直线所截， 若，平分，， 求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由对顶角相等可得，由两直线平行，同旁内角互补得出，再结合角平分线的定义，得到，最后利用两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【答案】(1) (2)①，是定值  ② 【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 【考点题型十一】根据平行线的性质与判定证明（） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． (1)若，，那么吗？说明理由． (2)若，，那么吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）先由得到，再由得到，即可得到； （2）先由得到，再由得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， ∵， （两直线平行，内错角相等）， ∵， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）； （2）解：，理由如下： ∵， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 2．（21-22七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知于D，点E为AC上一点，于F，点G为上一点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据，可得和之间的位置关系，，从而得出，最后根据平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由可得，进一步可推得； （2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案． 【详解】（1）与平行，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2），， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 4．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论； （2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十二】平行线的性质在生活中的应用（） 1．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    【答案】 【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解． 【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上， 则， 在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上， 则， ∴，又， ∴， ， ．    【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解． 2．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十三】与平行线间的距离有关的计算（） 1．（24-25七年级上·吉林·开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点，若的面积为，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离相等，三角形的面积，由可得点、点到的距离相等，即得，进而得到，求出即可求解，掌握平行线之间的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点、点到的距离相等， ∴， ∴， 即， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)的面积为 ； (2)将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； (3)连接，则这两条线段之间的关系是 ； (4)点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点有 个． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据网格的特点结合三角形面积公式即可求解； （2）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据网格的特点，找到过点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：． （2）解：如图所示，即为所求 （3）根据平移的特点，可知， 故答案为：． （4）如图，符合题意的点有个 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键． 【考点题型十四】通过添加辅助线求解平行线相关问题（） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，若平分，平分，与的反向延长线交于点，试确定与的关系，并说明理由． 【答案】，理由如下 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 方法一：过点作，过点作，根据平行线的性质，，，根据角平分线的性质，得，，根据等量代换，可得，推出，根据平行线的性质，得，，根据角之间的数量关系，可得，即可． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点，由平行线的性质得到，，根据角平分线的定义，三角形的外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：方法一：过点作，过点作， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 3．（20-21八年级上·山西·期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． 【命题预测】 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角性质、平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可． 【详解】（1），理由如下： 且， ， ， （2）且， ， ， 射线平分， ， 由（1）可知，， ， ． 2．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后反弹而滚向桌边，碰到上的点后反弹而滚向点．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于． (1)判断并直接写出和的位置关系； (2)猜想是否平行于？说明理由； (3)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据平行线的判定方法判断即可； （）由，得，再根据角平分线的定义得，根据平行线的判定方法判断即可； （）根据平行线的性质即可得出答案； 本题考查了生活中的轴对称现象，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【详解】（1）∵，，， ∴， （2），理由: ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∴ ∵， ∴． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①②③ 【分析】本题考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，关键是弄清角与角之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质； （2）利用角平分线的性质； （3）①利用角平分线的性质；②证明、、是的四等分线，③证明、、是的四等分线． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ∵平分 ， ． （3）解：①， ， 平分， ， ∵平分 ， ． ②， ， 平分， ， ∵平分 ， ∵平分 ． ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）平行直线与被直线所截． (1)如图1，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接，，若，，求的值； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接，，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 【分析】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟记平行线的性质并作出合理的辅助线． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，可得，再结合角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图1， ∵， ∴， ，， ，， ； （2）解：．理由如下： 过点作，如图2， ∵， ∴， ，， ， ，，平分，平分， ，， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$