专题01 二次根式（考点清单，3考点&9题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

清单01 二次根式 （3个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 解决二次根式有无意义的关键： 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 【考点题型一】二次根式的识别（） 1．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（21-22八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型二】二次根式有意义的条件（） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【考点题型三】求二次根式的值（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 2．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【考点题型四】由二次根式的非负性求字母的值（） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 3．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 4．（22-23 八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 6．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 【考点题型五】由二次根式的非负性求字母的取值范围（） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则x的取值范围是 ． 3．（20-21八年级上·上海闵行·期中）若，则x的取值范围是 ． 【考点题型六】由二次根式的值求参数（） 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 3．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【考点题型七】根据二次根式是整数求字母的值（） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 3．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 4．（21-22八年级下·湖北孝感·阶段练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【考点题型八】利用二次根式的性质化简（） 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1)(2)(3)(4)．(5)(6)；(7) 【考点题型九】复合二次根式的化简（） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【命题预测】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若是整数，则满足条件的自然数共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23九年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 6．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）若有意义，则字母的值可以是 （     ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 9．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则 ．（结果用含p的代数式表示） 10．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式 （3个考点梳理+9种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 清单02 二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 解决二次根式有无意义的关键： 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ①一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； ②当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 【考点题型一】二次根式的识别（） 1．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 2．（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式． 3．（21-22八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式． 【详解】解：是二次根式，符合题意， 是三次根式，不合题意， 是二次根式，符合题意， 不是二次根式，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 【考点题型二】二次根式有意义的条件（） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 【考点题型三】求二次根式的值（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【考点题型四】由二次根式的非负性求字母的值（） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 3．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 4．（22-23 八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质解出a值，然后代入b的代数式，求出b，即可得出答案 【详解】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2−1≥0且1−a2≥0， 解得a2＝1，即a＝±1， 又0做除数无意义，所以a-1≠0， 故a＝-1， 将a值代入b的代数式得b＝4， ∴a＋b＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质．求出a，b的值是解题关键． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故答案为：． 6．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 【考点题型五】由二次根式的非负性求字母的取值范围（） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】略 3．（20-21八年级上·上海闵行·期中）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得，再利用二次根式的性质得到，则，然后利用绝对值的意义得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 【考点题型六】由二次根式的值求参数（） 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 3．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 【考点题型七】根据二次根式是整数求字母的值（） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 4．（21-22八年级下·湖北孝感·阶段练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴n的最小正整数值是：3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键． 【考点题型八】利用二次根式的性质化简（） 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025八年级下·浙江·专题练习）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，从而可得，，，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1)(2)(3)(4)．(5)(6)；(7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 【考点题型九】复合二次根式的化简（） 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【命题预测】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，以及代数式求值，根据二次根式性质得到，进而求出值，再代入中求解，即可解题． 【详解】解：由题知， ，， 有，， 即， 当时，有， 解得， 则， 故选：A． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若是整数，则满足条件的自然数共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：，根据是整数，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是整数，n为自然数 ∴为完全平方数且 的最大值为 ∴或1或4或9 ∴或或或0． ∴满足条件的自然数共4个 故答案为：C． 4．（22-23九年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键； 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 6．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）若有意义，则字母的值可以是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义被开方数，求出的取值范围，再根据选项的值逐项判断即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：若有意义，则， ∴， ∴字母的值可以是， 故选：． 7．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则 ．（结果用含p的代数式表示） 【答案】 【分析】由条件可以知道是完全平方数，设，，，从而是平方数，设为，则，p是奇质数，，则，可以得到代入就可以求出k值． 【详解】解：设，，， 从而是平方数，设为，，则， ∵p是质数，， ∴， 解得： ∴， ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，完全平方公式，质数的性质，二次根式的性质及对相关概念的理解． 10．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 【答案】b 【分析】本题考查了考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， 原式 ． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$