第07讲 矩形【11个必考点】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第07讲 矩形【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 矩形的定义及性质】 1 【必考点1 利用矩形的性质求角度】 2 【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】 3 【必考点3 利用矩形的性质求面积】 4 【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】 5 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 6 【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】 7 【知识点3 矩形的判定】 8 【必考点6 矩形的判定条件】 8 【必考点7 证明一个四边形是矩形】 9 【必考点8 矩形的判定解动点问题】 11 【必考点9 矩形的判定与性质综合】 12 【必考点10 矩形中求最值问题】 13 【必考点11 矩形中多结论问题】 14 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【必考点1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A． B． C．α﹣45° D． 【变式1】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　） A．2α﹣90° B．45° C． D．90°﹣α 【变式2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BD，交BD于点M，若∠MAD＝5∠BAM，则∠MAO的度数为 　 　． 【变式3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF，若∠ADB＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝　 　． 【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】 【例1】如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（　　） A． B． C．18 D．19 【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（　　） A． B． C．3 D．2 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　） A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【必考点3 利用矩形的性质求面积】 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 【变式2】如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【变式3】已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】 【例1】数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） 甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求． 乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求． A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确 C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确 【变式1】如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　　． 【变式2】如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，得到线段B′E，折痕EC与BD相交于点M，若B′E∥BD，∠ADB＝36°，则∠EMD＝　 　． 【变式3】如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 　 　． 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD＝（　　） A．35° B．30° C．45° D．50° 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【变式1】如图，D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，点C是DE上的一点，∠ACB＝90°，，AB＝6，则BF的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【变式3】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【必考点6 矩形的判定条件】 【例1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 　 　． 【变式3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　 　时，四边形ACBD为矩形． 【必考点7 证明一个四边形是矩形】 【例1】如图，在▱ABCD中，点C是BE的中点． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）当△ABE满足　 　时，四边形ACED是矩形，并说明理由． 【变式1】已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形． 【变式2】如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【变式3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：AF＝CD； （2）若AF＝BD，当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【变式4】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【必考点8 矩形的判定解动点问题】 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．当t＝ 　 　s时，四边形ABQP是矩形． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s，当t＝　 　s时，四边形APQD是矩形． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由． 【变式3】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形； （2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 【必考点9 矩形的判定与性质综合】 【例1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长． 【变式1】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【变式2】如图，在▱ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝4，BD＝8，求OC的长． 【变式3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G在为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AD＝13，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长． 【必考点10 矩形中求最值问题】 【例1】如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．20 B．20 C．40 D．40 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，则四边形APQE周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【必考点11 矩形中多结论问题】 【例1】如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD 的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②OEDE；③HE＝DF；④BC﹣CF＝2EH；⑤AB＝FH．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论中正确的有（　　） ①△DOC是等边三角形； ②△BOE是等腰三角形； ③； ④∠AOE＝135°； ⑤S△AOE＝S△BOE． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式3】如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 矩形【11个必考点】 【人教版】 【知识点1 矩形的定义及性质】 1 【必考点1 利用矩形的性质求角度】 2 【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】 6 【必考点3 利用矩形的性质求面积】 11 【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】 14 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 18 【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】 18 【知识点3 矩形的判定】 22 【必考点6 矩形的判定条件】 22 【必考点7 证明一个四边形是矩形】 26 【必考点8 矩形的判定解动点问题】 31 【必考点9 矩形的判定与性质综合】 35 【必考点10 矩形中求最值问题】 41 【必考点11 矩形中多结论问题】 46 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【必考点1 利用矩形的性质求角度】 【例1】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A． B． C．α﹣45° D． 【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，则OA＝OB，所以∠OBA＝∠BAC＝α，而BE＝AC＝BD，则∠BDE＝∠E，所以∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E＝90°﹣α，则∠E＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°， 故选：B． 【变式1】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（　　） A．2α﹣90° B．45° C． D．90°﹣α 【分析】延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，可证△ADE≌△GCE（ASA），根据全等三角形的性质可得AE＝GE，可知EF垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF＝GF，进一步可得∠G＝∠FAE，根据AD∥BC，可得∠DAE＝∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC＝90°，可得∠BAF的度数． 【解答】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示： 在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC， ∴∠ECG＝90°， ∵E为CD边中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（ASA）， ∴AE＝GE， ∵EF⊥AE， ∴EF垂直平分AG， ∴AF＝GF， ∴∠FAE＝∠G， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠G， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠DAE， ∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°， ∴∠FEC＝∠DAE， ∵∠FEC+∠EFC＝90°， ∴∠EFC＝90°α， ∴∠BAF＝2α﹣90°， 故选：A． 【变式2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BD，交BD于点M，若∠MAD＝5∠BAM，则∠MAO的度数为 　 　． 【分析】由矩形的性质可得OA＝OB，∠BAD＝90°，由∠MAD＝5∠BAM可求∠BAM＝15°，再由等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠BAD＝90°， ∴∠MAD+∠BAM＝90°， ∵∠MAD＝5∠BAM， ∴5∠BAM+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝15°， ∵AM⊥BD， ∴∠BMA＝∠AMO＝90°， ∴∠ABM＝90°﹣∠BAM＝75°， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABM＝75°， ∴∠AOM＝180°﹣∠ABM﹣∠BAO＝30°， ∴∠MAO＝90°﹣∠AOM＝60°， 故答案为：60°． 【变式3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF，若∠ADB＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝　 　． 【分析】根据题意画出图形，分点F在AB上和BC上两种情况讨论即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠ADO＝∠OAD， ∵∠ADB＝40°， ∴∠ADO＝∠OAD＝40° ∴∠AOB＝∠ADO+∠OAD＝80°， 如图所示，当F点在AB上时， ∵∠BOF＝30°， ∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝80°﹣30°＝50° 如图所示，当点F在BC上时， ∵∠BOF＝30°， ∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝80°+30°＝110°， 故答案为：50°或110°． 【必考点2 利用矩形的性质求线段长度】 【例1】如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO＝2，则长方形ABCD的周长为（　　） A． B． C．18 D．19 【分析】先由垂直平分线的性质得AE＝CE，∠AOE＝90°，∠OAE＝∠OCE，结合长方形的性质得AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°，因为AE平分∠BAC，故，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得EC＝AE＝4，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE，∠AOE＝90°， ∴∠OAE＝∠OCE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠DAB＝90°，∠ABE＝90°， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵AE平分∠BAC，∠AOE＝90°，∠ABE＝90°， ∴∠OAE＝∠BAE，BE＝EO＝2， 即， 在Rt△EAO中，AE＝2EO＝4，EC＝AE＝4， 在Rt△EAO中，， ∴， ∴长方形ABCD的周长为． 故选：A． 【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】证明△AOB是等边三角形，而CD＝AB＝1，则OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理得BC，由AE平分∠BAD交BC边于点E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，则∠BEA＝∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，则EC1，由三角形的中位线定理得FOEC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB， ∵AB＝OB＝1， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OC＝1， ∴AC＝2， ∴BC， ∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝45°， ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， ∴BE＝AB＝1， ∴EC＝BC﹣BE1， ∵点F是AE的中点，点O是AC的中点， ∴FOEC， 故选：D． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则AE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OB＝OD，由线段垂直平分线的性质得出DE＝BE，设AE＝x，则DE＝5﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC， ∵EF⊥BD， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2， 解得：x， 即AE． 故选：B． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，则BE8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因为AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，则EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6， ∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°， ∴BE8， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2， ∵AF⊥DE于点G，交CD于F， ∴AF垂直平分DE， ∴EF＝DF＝6﹣CF， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴22+CF2＝（6﹣CF）2， 解得CF， 故选：B． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【分析】根据线段中点的定义可得CH＝DH，然后利用“角边角”证明△DFH和△CEH全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝CE，FH＝EH，根据勾股定理得到EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，从而求出AD，于是得到结论． 【解答】解：矩形ABCD中，H是CD的中点，AB＝8， ∴CH＝DH8＝4， 在△DFH和△CEH中， ， ∴△DFH≌△CEH（ASA）， ∴DF＝CE＝3，FH＝EH， 在Rt△DEH中，FH5， ∴EF＝2FH＝10， ∵EH垂直平分BF， ∴BE＝EF＝10， ∴BC＝AD＝7． ∴AF＝AD﹣DF＝4， 故选：C． 【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　） A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，可求得OA＝OD＝5，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC10， ∴S△AODS矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF4.8． 故选：C． 【必考点3 利用矩形的性质求面积】 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF（ASA），得到S△AOE＝S△COF，从而S阴影＝S△AOB，进而即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴， ∵矩形面积为12， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∵MP＝AE＝2 ∴S△DFP＝S△PBE2×6＝6， ∴S阴＝6+6＝12， 故选：B． 【变式2】如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OC， ∠OAE＝∠OCF（两直线平行内错角相等）， 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴S△AOE＝S△COF ． 故答案为：． 【变式3】已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】如图，由于（35+x+49）+（13+y）＝长方形面积的一半＝x+S阴影+y，从而求解． 【解答】解：如图，由于（35+x+49）+（13+y）＝长方形面积的一半， 又∵长方形的面积＝x+S阴影+y， ∴S阴影＝35+49+13＝97． 故答案为：97． 【必考点4 利用矩形的性质解折叠问题】 【例1】数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） 甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求． 乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求． A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确 C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确 【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，根据对应角相等即可得出结论． 【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB∠EAD＝45°； 乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'（∠DAC+∠BAC）90°＝45°； 故选：A． 【变式1】如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为　　． 【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC∥AB， ∴∠ECA＝∠CAB， 根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴EC＝EA， ∵B（2，4）， ∴AD＝AB＝4， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（4﹣x）2＝x2+4， 解得：x， ∴OE， 故答案为：． 【变式2】如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，得到线段B′E，折痕EC与BD相交于点M，若B′E∥BD，∠ADB＝36°，则∠EMD＝　 　． 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质可得：∠BEC＝∠B′EC＝63°，然后利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°， ∵B′E∥BD， ∴∠AEB′＝∠ABD＝54°， 由翻折可知：∠BEC＝∠B′EC（180°﹣∠AEB′）（180°﹣54°）＝63°， ∵B′E∥BD， ∴∠B′EC+∠EMD＝180°， ∴∠EMD＝180°﹣63°＝117°， 故答案为：117°． 【变式3】如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 　 　． 【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图1，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45°，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图2，根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可． 【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°，△AD′E与△ADE关于直线AE对称， ∴， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝18； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， ∵，△AD′E与△ADE关于直线AE对称， ∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E， ∵△CD′E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， ∴， ∴CD′＝30﹣18＝12， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x， ∵D′E2+D′C2＝EC2， 即x2+144＝（24﹣x）2， 解得x＝9， 即DE＝9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【必考点5 直角三角形斜边上中线的性质】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD＝（　　） A．35° B．30° C．45° D．50° 【分析】根据题意先求出∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B＝67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE＝CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案． 【解答】解：∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣22.5°＝67.5°， 又∵E是斜边AB的中点， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝67.5°， ∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故选：C． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【分析】连接DF，DE，由等腰三角形的性质推出F是BC中点，由直角三角形斜边中线的性质得到EFBC12＝6，同理FDAB＝8，DEAB，由等腰三角形的性质推出DM⊥EF，FMEF＝3，由勾股定理即可求出DM． 【解答】解：连接DF，DE， ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴F是BC中点， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴EFBC12＝6， 同理：FDAB16＝8，DEAB， ∴DF＝DE， ∵M为EF的中点， ∴DM⊥EF，FMEF＝3， ∴DM． 故选：C． 【变式1】如图，D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点，点C是DE上的一点，∠ACB＝90°，，AB＝6，则BF的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝3，根据已知条件得出CE＝1，即可得出DE＝4，进而根据三角形的中位线的性质，即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝6， ∴， ∵， ∴， ∴DE＝CD+CE＝3+1＝4， 又∵D，E分别是三角形ABF的边AB和AF的中点， ∴BF＝2DE＝2×4＝8． 故选：C． 【变式2】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DFAB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论． 【解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点． ∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 【变式3】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 【分析】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD． 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【必考点6 矩形的判定条件】 【例1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断． 【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴AB2+BC2＝62+82＝102， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形， D、正确，∵∠1＝∠2， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故选：C． 【变式1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【分析】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； 由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； 由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； 由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意 【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列条件①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB⊥BC，④∠ABD＝∠CBD，⑤∠ODC＝∠OCD中能判定四边形ABCD是矩形的是 　 　． 【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故①符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故②不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，故③符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，故④不符合题意； ∵∠ODC＝∠OCD， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故⑤符合题意； 故答案为：①③⑤． 【变式3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　 　时，四边形ACBD为矩形． 【分析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB＝CD，即可得出结论． 【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下： ∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OB＝OC＝OD， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 【必考点7 证明一个四边形是矩形】 【例1】如图，在▱ABCD中，点C是BE的中点． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）当△ABE满足　 　时，四边形ACED是矩形，并说明理由． 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∵点C是BE的中点， ∴BC＝CE， ∴AD＝CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）解：当△ABE满足AB＝AE时，四边形ACED是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵AB＝AE， ∴DC＝AE， 由（1）可知，四边形ACED是平行四边形， ∴平行四边形ACED是矩形． 【变式1】已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形． 【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，得EF∥AB，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得AD＝BE，进而得AD＝CE，再证明四边形AECD是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AE⊥BC，则∠AEC＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵点E、F分别是边BC、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形； （2）如图，由（1）可知，AD∥BC，四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴AD＝CE， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECD为矩形． 【变式2】如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可； （2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC＝ED． 【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD． 又∵AB＝BE， ∴BE＝DC， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD＝EC． 在△ABD与△BEC中， ， ∴△ABD≌△BEC（SSS）； （2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠BCD， 即∠A＝∠OCD． 又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴OC＝OD， ∴OC+OB＝OD+OE， 即BC＝ED， ∴平行四边形BECD为矩形． 【变式3】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：AF＝CD； （2）若AF＝BD，当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，由中点的定义，得到AE＝DE，证明△AFE≌△DCE（AAS），利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由：先证明四边形AFBD为平行四边形，再利用等腰三角形三线合一得到AD⊥BC，即可得证． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD； （2）解：当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形， 理由如下： ∵AF＝BD，AF∥BC即AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， 由（1）知：AF＝CD， ∴BD＝CD， 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∴平行四边形AFBD是矩形． 【变式4】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得∠ACE＝∠OEC，则OE＝OC，同理OC＝OF，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得EF的长，再结合（1）的结论可求得OC的长； （3）只要保证四边形AECF是平行四边形即可，则可知O为AC的中点时，满足条件． 【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠ECB＝∠OEC， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理可得OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF∠BCD180°＝90°， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5， 即OC的长为6.5； （3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC中点时，则OA＝OC， 由（1）可知，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF为矩形． 【必考点8 矩形的判定解动点问题】 【例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．当t＝ 　 　s时，四边形ABQP是矩形． 【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC＝8cm，AD∥BC，∠B＝90°，当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，得出方程8﹣t＝t，求出方程的解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8cm，AD∥BC，∠B＝90°， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即8﹣t＝t， 解得t＝4． 所以当t＝4s时，四边形ABQP是矩形． 故答案为：4． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s，当t＝　 　s时，四边形APQD是矩形． 【分析】根据题意和矩形的性质得到AP＝4t cm，DQ＝（20﹣t）cm，再由矩形的对边相等得到4t＝20﹣t，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意得，AP＝4t cm，CQ＝t cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝20cm， ∴DQ＝（20﹣t）cm ∵四边形APQD是矩形， ∴AP＝DQ， ∴4t＝20﹣t， 解得t＝4， 故答案为：4． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由． 【分析】（1）利用30°的直角三角形进行证明即可； （2）利用有三个角是直角的四边形是矩形进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝30°， ∵CD＝4t，AE＝2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°， ∴， ∴DF＝AE； （2）∵∠B＝90°，DF⊥BC， ∴当∠EDF＝90°时，四边形DEBF是矩形 ∴DF＝BE ∵AC＝60cm，∠C＝30°， ∴AB＝30cm， ∵DF＝AE＝2t， ∴BE＝30﹣2t 即30﹣2t＝2t， 解得：， 即当时，四边形DEBF是矩形． 【变式3】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形； （2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 【分析】（1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论； （2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠GAF＝∠HCE， ∵G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG＝BG，CH＝DH， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在△AFG与△CEH中， ∴△AFG≌△CEH（SAS）， ∴GF＝HE， 同理：GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴AC5， 由（2）可知四边形EGFH是平行四边形， 连接GH， ∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点， ∴AG＝DH，AG∥DH， ∴四边形AGHD是平行四边形， ∴GH＝BC＝4， ∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①如图1，AE＝CF＝t， 则EF＝5﹣2t＝4， 解得：t＝0.5； ②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4， 解得：t＝4.5； 综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形． 【必考点9 矩形的判定与性质综合】 【例1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD为矩形； （2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长． 【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论； （2）由矩形的性质得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝BC＝EF， 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD为矩形； （2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形， ∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4， ∵AB＝3，DE＝4，BF＝5， ∴AB2+AF2＝BF2， ∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°， ∴S△ABF， ∴AB×AF＝BF×AE， 即3×4＝5AE， ∴AE， ∴DF＝AE． 【变式1】如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC＝90°，即可得证； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后根据OD＝OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20， ∵AB＝12，BC＝16， ∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【变式2】如图，在▱ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝4，BD＝8，求OC的长． 【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明∠BDE＝90°，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形ABDE是矩形． （2）过点O作OF⊥DE于点F．根据矩形的性质可得OD＝OE，根据“等腰三角形三线合一”可得．再证明OF为△BDE的中位线，则可得．再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝4，则可得CF＝6，在Rt△OCF中，根据勾股定理即可求出OC的长． 【解答】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，，，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴， ∴OF为△BDE的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理，得， 即OC的长为． 【变式3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G在为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若AD＝13，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长． 【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥CD，再证四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论； （2）证△ODG是等腰直角三角形，得，则，过D作DM⊥AB于点M，则△BDM是等腰直角三角形，得DM＝BM＝12，然后由勾股定理得AM＝5，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵点E为BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥CD， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）解：如图，过D点作DM⊥AB，交AB于M， ∵∠ABD＝45°， ∴△BDM是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD， ∴∠ODG＝∠ABD＝45°， ∴△ODG是等腰直角三角形， ∴， ∴BD＝2OD＝12， ∴， ∴MB＝DM＝12， ∴， ∴AB＝AM+MB＝5+12＝17． 【必考点10 矩形中求最值问题】 【例1】如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．20 B．20 C．40 D．40 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【解答】解，∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OCCG，ODDH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∵OA＝OA， ∴△ACO≌△ADO， ∴∠OAB＝∠CAO60°＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OBAB40， 即OB的最小值为， 故选：A． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1． ∴BP1． ∴PB的最小值是． 故选：C． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】依据题意，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，由四边形ABCD是矩形，从而AD∥BC，，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°，先证△DGF≌△BDE，进而FG＝DE，故DE+CF＝FG+CF，所以当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°． ∴∠GDF＝∠DBE． ∵DF＝BE，DG＝BD， ∴△DGF≌△BDE（SAS）． ∴FG＝DE， ∴DE+CF＝FG+CF， ∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG． ∴DE+CF最小值为CG． ∵∠BAD＝90°， ∴． 在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°， ∴． ∴DE+CF最小值为， 故选：D． 【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】先根据矩形的性质，证明∠BEC＝90°，故可得E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值，利用勾股定理算出，即可算出AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4． 【解答】解：∵∠BCE＝∠ABP，四边形ABCD为矩形， ∴∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBP＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴E在以BC的中点O为圆心，OB为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接OA交弧于点E，此时AE取最小值， ∵AB＝8，AD＝BC＝12， ∴， ∴， ∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4，即AE的最小值为4， 故选：A． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，则四边形APQE周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'，当A'、P、M三点共线时，AP+QE的最小值为A'M，于是得到结论． 【解答】解：过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'， 当A'、P、M三点共线时，四边形APQE的周长最小， 由对称性可知，AP＝A'P， ∵四边形PMEQ为平行四边形， ∴PM＝QE， ∵四边形APQE的周长＝AP+PQ+QE+AE＝AE+PQ+A'P+PM＝AE+PQ+A'M， 此时四边形APQE的周长最小值为AE+PQ+A'M， ∵AB＝4，BC＝10，E为CD边的中点， ∴CE＝BN＝2，NE＝BC＝10，A'B＝4， ∵PQ＝2， ∴ME＝2， ∴MN＝8， ∴A'N＝6， ∴AE2， 在Rt△A'MN中，A'M10， ∴四边形APQE周长的最小值为10+2+212+2， 故选：C． 【必考点11 矩形中多结论问题】 【例1】如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD 的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②OEDE；③HE＝DF；④BC﹣CF＝2EH；⑤AB＝FH．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB， ∵ADAB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED， ∴ED平分∠AEC，故①正确； ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH， OEDE，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； 由上述①、⑤、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD﹣DF， ∴BC﹣CF＝（CD+HE）﹣（CD﹣HE）＝2HE，故④正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故⑤错误； 故选：C． 【变式1】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论中正确的有（　　） ①△DOC是等边三角形； ②△BOE是等腰三角形； ③； ④∠AOE＝135°； ⑤S△AOE＝S△BOE． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得S△AOE＝S△COE可判断⑤；即可求解． 【解答】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°， ∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； ∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB， ∴，，故③正确； ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④正确； ∵AO＝CO， ∴由面积公式可得S△AOE＝S△COE， ∵∠BOE＝75°，∠COE＝180°﹣135°＝45°，OB＝OC， ∴∠BOE≠∠COE， 即BE≠CE， ∴S△BOE≠S△COE， ∴S△AOE≠S△BOE，故⑤错误； 综上，①②③④正确； 故选：B． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对；由DE＝BF，DE∥BF，得四边形BEDF是平行四边形，得BE∥DF，得CP⊥DF由PF＝CF，得CP垂直平分DF，得PD＝CD＝3，得△DPF≌△DCF（SSS），得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对；由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF，得△GPF≌△GBF（HL），得BG＝PG＝x，得PG的长，故③对． 【解答】解：连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P， 得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对； 由DEADBC＝BF，DE∥BF， 得四边形BEDF是平行四边形， 得BE∥DF， 得CP⊥DF， 由PF＝CF， 得CP垂直平分DF， 得PD＝CD＝3， 得△DPF≌△DCF（SSS）， 得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对； 由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF， 得△GPF≌△GBF（HL）， 得BG＝PG＝x， 由AG2+AD2＝GD2， 得（3﹣x）2+52＝（3+x）2， 得PG＝x，故③对． 故选：D． 【变式3】如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据BFEF，BE＝12可求出BF的长，进而可对①进行判断； ②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，证△ABH为等边三角形，得∠ABH＝60°，进而得∠EBC＝30°，则∠BCE＝∠BEC＝75°，由此可求出∠DCE的度数即可对②进行判断； ③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，证△BCE和△EGH均为等边三角形，然后再Rt△ABG中求出AG，同理DH，则GHDH，进而得∠ADE≠∠DEH，然后根据∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°可对③进行判断； ④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，先求出DM＝10，证△BME和△BFC全等得ME＝CF，则DE+CF＝DE+ME，根据“两点之间线段最短”得DE+ME≥DM，由此可得出DE+ME的最小值，进而可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵BFEF， ∴EF＝2BE， ∴BE＝BF+EF＝3BF， ∵BE＝12， ∴BF＝4， 故①正确； ②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，如图1所示： ∵四边形ABCD为矩形，AB＝6， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝6， 在Rt△ABE中，点H为斜边BE的中点，BE＝12， ∴AH＝BH＝EHBE＝6， ∴∠AB＝BH＝AH＝6， ∴△ABH为等边三角形， ∴∠ABH＝60°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∵BC＝BE＝12， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣∠EBC）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣75°＝15°， 故②正确； ③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，如图2所示： ∵∠EBC＝60°，BC＝BE＝12， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠EBC＝∠ECB＝60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝BC＝12， ∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠EHG＝∠ECB＝60°， ∴△EGH为等边三角形， ∴EG＝GH＝EH， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∠DCH＝∠BCD﹣∠ECB＝30°， 在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，AB＝6， ∴BG＝2AG， 由勾股定理得：BG2﹣AG2＝AB2， 即（2AG）2﹣AG2＝62， ∴AG， 同理DH， ∴GH＝AD﹣AG﹣DHDH， ∴∠ADE≠∠DEH， ∴∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°， ∴∠ADE≠30°， 故③不正确； ④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，如图3所示： 则CM＝BC﹣BM＝12﹣4＝8， 在Rt△DCM中，由勾股定理得：DM10， 在△BME和△BFC中， ， ∴△BME≌△BFC（SAS）， ∴ME＝CF， ∴DE+CF＝DE+ME， 根据“两点之间线段最短”得：DE+ME≥DM， ∴当点D，M，E在同一条直线上时，DE+ME为最小，最小值为线段DM的长， 即DE+ME的最小值为10， ∴DE+CF的最小值为10． 综上所述：正确有①②④，共3个． 故选：C． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$